Виды эквивалентных преобразований пассивных элементов цепи

Преобразование линейных пассивных электрических цепей

Эквивалентное преобразование части пассивной электрической цепи состоит в такой ее замене другой пассивной цепью, при которой остаются неизменными токи и напряжения остальной цепи, не подвергшейся преобразованию. Простейшее преобразование – замена последовательно и параллельно соединенных потребителей эквивалентным потребителем.

При последовательном соединении роль эквивалентного сопротивления (или сопротивления эквивалентного потребителя) играет сумма сопротивлений всех потребителей (рис. 1.12).

(1.11)

Это следует из II закона Кирхгофа:

(1.12)

При двух последовательно соединенных потребителях:

(1.13)

При параллельном соединении роль эквивалентной проводимости (или проводимости эквивалентного потребителя) играет сумма проводимостей всех потребителей (рис. 1.13).

. (1.14)

Это следует из I закона Кирхгофа:

При двух параллельно соединенных потребителях:

(1.15)

Таким образом, для расчета цепей с последовательно включенными потребителями целесообразно их свойства выражать значениями сопротивлений, а для параллельно включенных – значениями проводимостей.

Определение эквивалентного сопротивления при смешанном соединении потребителей выполняется путем постепенного упрощения (сворачивания) исходной цепи.

Пример. Для цепи на рис. 1.14 определим общее сопротивление относительно выводов a и b.

.

2. Последовательное соединение R ₁₂ и R ₃:

_.

3. Последовательное соединение R ₄ и R ₅:

_.

4. Параллельное соединение R ₁₂₃ и R ₄₅:

.

.

Таким образом, эквивалентное сопротивление

Более сложными являются взаимные преобразования потребителей, соединенных звездой или треугольником. К таким преобразованиям следует обращаться в тех случаях, когда в цепи, подлежащей упрощению, нельзя выделить параллельное или последовательное соединения потребителей.

В узлах a, b, c и треугольник, и звезда на рис. 1.15 соединяются с остальной частью схемы. Преобразование треугольника в звезду должно быть таковым, чтобы при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды притекающие к этим точкам токи были одинаковы, тогда вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.

Выразим U_ab треугольника через параметры потребителей и притекающие к этим узлам токи. Запишем уравнения Кирхгофа для контура и узлов a и b.

Заменим в первом уравнении токи I ₃ и I ₂ на соответствующие выражения:

По закону Ома напряжение U_ab для соединения потребителей треугольником:

. (1.16)

Теперь получим выражение для этого же напряжения при соединении потребителей звездой:

(1.17)

Для эквивалентности данных цепей при произвольных значениях токов I_a и I_b необходимо равенство напряжений U_ab для соединения потребителей треугольником и звездой. Это возможно только при одинаковых коэффициентах уравнений (1.16) и (1.17), т.е.

. (1.18)

Аналогично можно получить выражения для определения :

. (1.19)

Таким образом, сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.

Формулы обратного преобразования можно вывести независимо либо как следствие соотношений (1.18) и (1.19) через проводимости:

(1.20)

(1.21)

Следовательно, сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Источник

§ 1.8. Эквивалентные преобразования пассивных участков электрических цепей

В зависимости от назначения электрической цепи ее элементы (ис­точники, приемники, вспомогательные элементы) могут соединяться различным образом. Существуют четыре основных вида соединений элементов: последовательное, параллельное, треугольником и звездой*

•? ЛенинЙ» Й, Поли» собр* соч,*%18] I» 306*

Последовательнымназывают соединение, при котором ток в каждом элементе один и тот же. При последовательном соеди? ненииппассивных элементов цепи схема замещения опрезистив^» ными элементами (рис. 1.18, а) может быть заменена эквивалентной схемой с одним резистивным элементом (рис. 1.18, б). Для этих схем по второму закону Кирхгофа можно написать уравнения

Рис. 1.18. Схема замеще­ния цепи с последова­тельным соединением пас­сивных элементов (а) и ее эквивалентная схема (б)

+ . + U_n == U (1-11)

Последовательное соединение приемни­ков используют обычно только в случае, когда напряжения, на которые они рассчи­таны, меньше напряжения источника электрической энергии.

Рис. 1.19. Схема замещения це­пи с параллельным соединением пассивных элементов (а) и ее эк­вивалентная схема (б)

Недостатком последовательного соединения приемников явля­ется то, что напряжение на каждом из них зависит от сопротивлений других приемников. Поскольку напряжение источника равно сумме напряжений на последовательно включенных элементах цепи, после­довательное соединение элементов применяют часто в качестве дели­телейнапряжения и для регулирования напряжений на прием­нике. Так, при использовании двигателей постоянного тока последо­вательно с цепью якоря включают рео­статы для ограничения пускового то­ка (пусковые реостаты) и регулирования частоты вращения (регулировочные рео­статы).

В практике электрических измере­ний из последовательно соединенных резисторов образуют измерительные магазины сопротивлений, последователь­ным включением добавочных резисторов к измерителю напряжения добивают­ся расширения пределов измерения на­пряжения и т. п.

Параллельнымназывают соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, т. е. находятся под воздействием одного и того же напряжения. На рис. 1.19,апоказана схемас ппассивными ветвями, присоединенными к одним и тем же узлам, разность потенциалов между которыми равна напряжениюU источника. Поэтому ток в каждой ветви определяется этим напряже-

нием и сопротивлением либо проводимостью соответствующей ветви:

Схема замещения с ппараллельно включенными резистивными элементами может быть заменена эквивалентной схемой с одним ре­зистивным элементом (рис. 1.19,6). Условия эквивалентности будут соблюдены, если ток эквивалентной схемы будет равен токуIв не- разветвленной части цепи, т. е.

Подставляя в это уравнение значения токов из (1.14), получим выражение

из которого можно получить формулу для эквивалентного сопротив­ления

или для эквивалентной проводимости

Так как наибольшей проводимостью обладает ветвь с наименьшим сопротивлением, то эквивалентная проводимость не может быть мень­ше проводимости ветви с наименьшим сопротивлением. Эквивалент­ное сопротивление параллельно соединенных элементов обратно пропорционально ее эквивалентной проводимости /?эк == 1^эк> по

этому оно всегда меньше наименьшего из сопротивлений ветвей.

При подключении нового приемника параллельно другим парал­лельно включенным приемникам общая проводимость их увеличива­ется, а эквивалентное сопротивление уменьшается. Если параллельно соединены пветвей с одинаковыми сопротивлениями /?, то их экви­валентное сопротивление будет впраз меньше сопротивления каждой ветви, т. е.R_9K—R/n.

При параллельном соединении двух пассивных элементов с со­противлениями Ri иR₂ эквивалентная проводимость

а эквивалентное сопротивление

Токи двух ветвей при их параллельном соединении равны:

При расчете цепей удобно пользоваться последней частью выра­жения (1.19), когда ток в одной из ветвей определяется по извест­ному току / в неразветвленной части цепи.

Параллельное соединение обеспечивает одинаковое напряжение на всех включенных приемниках, что является важным преимущест­вом, благодаря которому это соединение нашло широкое применение. Как правило, все приемники электрической энергии подключают параллельно к источнику, например к электрической сети.

Параллельное соединение можно рассматривать и как делитель тока, что, в частности, нашло применение в виде шунтов, подклю­чаемых к измерительным приборам.

В некоторых сложных электрических цепях встречаются соеди­нения элементов, которые нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному. Типичным примером подобной сложной цепи

Рис. 1.20, Схема замещения мостовой цепи (а) и ее эквивалентная

является мостовая цепь (рис. 1.20, а).В этом случае часть цепи об­разуеттреугольник,вершинами которого являются три узла (например, а, Ь, с), а сторонами — три ветви с сопротивлениямиR_ab> R_bc, R_ca,включенные между этими узлами. Расчет такой цепи удобно проводить, используя эквивалентную замену трех ветвей, соединен­ных треугольником, тремя ветвями, соединенными трехлучевойзвез­дой.При замене соединенных треугольником ветвей с сопротивле­ниямиR_ab,R_bcy R_ca(рис. 1.20,а)ветвями с сопротивлениямиR_a,Rb, R с (рис.1.20, б), соединенными звездой, мостовая цепь преобра­зуется в цепь с последовательным и параллельным соединением эле­ментов.

Для определения сопротивлений R_a, R_bиR_cветвей, соединенных звездой, необходимо найти соотношения, связывающие их с сопротивлениями ветвей, соеди­ненных треугольником. С этой целью воспользуемся общим условием эквивалентности, по которому напряжения и токи в ветвях, не подвергнутых преобразованию, должны оставаться без изменения в любых режимах, в том числе при размыкании ветвей, присоединенных к узлам а,b,с.

При отсоединении ветви с сопротивлением R_a(fот узлаатокиl_b,1 _с>а также на­пряжениеUbc в схеме рис.1.20,аравны соответственно токамI_b, I_си напряжениюVlf_C ъсхеме рис. 1.20, б. Это означает, что сопротивления между точкамиbисдля

При отсоединении ветви Я_сдот узлассопротивления между точкамиаиЪдля обеих схем по условию эквивалентности должны быть также одинаковы!’

Аналогично можно получить равенство^сопротивлений между точками а и с для схем рис. 1.20,а,б:

(Rab+Rbc)Rca/(Rab+Rbc + Rca) = Ra+Rc- (\Щ

Решая полученную^систему из трех уравнений относительно сопротивлений ветвей, соединенных звездой (рис. 1.20, б), получим

В ряде случаев схему соединения ветвей звездой целесообразно преобразовывать в схему соединения ветвей треугольником. При эквивалентной замене ветвей, соединенных трехлучевой звездой, ветвями, соединенными треугольником, сопротивления ветвей тре­угольника можно определить, зная сопротивления ветвей звезды.

Формулы для определения Rb_Ct R_caможно получить из системы уравнений (1.23) — (1.25). Для этого можно перемножить попарно (1.23) на (1.24), (1.24) на (1.25), (1.25) на (1.23) и сложить эти произведения, после чего получим

Разделив это уравнение поочередно на (1.25), (1,24) и (1.23), найдем соответ­ствующие формулы:

Нетрудно видеть, что в случае замены трех одинаковых ветвей, соединенных треугольником, тремя ветвями, соединенными звездой, сопротивления новых ветвей будут в три раза меньше сопротивлений прежних ветвей, т. е.

Источник