Расчет передаточной функции электрической цепи

Руководство по расчету электрических цепей: получение комплексной передаточной функции H(jw)

Введение

Комплексная передаточная функция H(jw) — это один из ключевых инструментов при проектировании и анализе электрических цепей. Она представляет собой отношение комплексного выходного сигнала к комплексному входному сигналу и может быть использована для определения амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик цепи.

Шаги расчета H(jw)

Для расчета комплексной передаточной функции H(jw) необходимо выполнить следующие шаги:

Составить схему электрической цепи и определить все элементы цепи. Элементы могут быть резисторами, конденсаторами, катушками индуктивности и другими.

Провести анализ цепи, чтобы определить порядок ее дифференциального уравнения. Для линейных цепей порядок дифференциального уравнения соответствует числу конденсаторов и катушек индуктивности.

Выразить уравнение цепи в виде линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Это уравнение может быть получено с помощью законов Кирхгофа и законов Ома.

Применить преобразование Лапласа, чтобы получить передаточную функцию в комплексной форме. Преобразование Лапласа может быть применено ко всем частям линейного дифференциального уравнения.

Выразить передаточную функцию в виде H(jw) — функции комплексного аргумента jw.

Пример расчета H(jw)

Для наглядности рассмотрим пример расчета комплексной передаточной функции H(jw) для простой RC-цепи.

Схема RC-цепи состоит из резистора и конденсатора.

Для RC-цепи порядок дифференциального уравнения равен 1.

Уравнение цепи можно записать как:

где V_i — входное напряжение,

Решив это уравнение, можно получить выражение для разности напряжений на резисторе и конденсаторе:

где V_o — выходное напряжение.

Применяем преобразование Лапласа:

H(s) = 1 / (sRC + 1) = 1 / (RC * (s + 1/RC))

Окончательно, получаем комплексную передаточную функцию H(jw) для RC-цепи:

Заключение

Получение комплексной передаточной функции H(jw) позволяет анализировать поведение электрической цепи на различных частотах. Она может быть использована для расчета фильтров, усилителей и других электронных устройств. Рассмотренный пример RC-цепи является простым, но принципы расчета H(jw) применимы для более сложных электрических цепей.

Источник

Методы расчета передаточных функций

При расчете передаточных функций используются законы Ома и Кирхгофа в операторной и комплексной форме обычно при нулевых условиях в зависимости от характеристики. Для сложных цепей приминаются некоторые специальные методы: метод контурных токов, метод узловых напряжений и т.п в операторном виде.

Временные характеристики электрических цепей

Под ними понимают функции времени численно равные реакции электрической цепи на стандартное воздействие на цепь. Применяются обычно для линейных цепей при нулевых условиях (без запаса энергии в цепи).

Единичная ступенчатая функция или функция Хевисайда. Определяется следующим способом:

Единичная импульсная функция или функция Дирака.

Ее можно рассматривать как предел импульсного сигнала такого вида:

t_U=Δt, U_u=1/Δt, Δt→0

В соответствии с испытательными (стандартными) сигналами используются две характеристики:

Переходная характеристика — это функция времени, численно равная реакции электрической цепи на единичное ступенчатое воздействие.

Различают в зависимости от типа воздействия и реакции четыре вида переходных характеристик: по напряжению, по току, по сопротивлению и по проводимости.

Размерность переходной характеристики определяется отношением размерности реакции цепи к размерности воздействия.

по напряжению и по току — безразмерные.

по проводимости — См (сименс).

Импульсная характеристика — это функций времени, численно равная реакции электрической цепи на единичное импульсное воздействие.

Существует также четыре вида импульсных характеристик: по напряжению, по току, по сопротивлению и по проводимости.

Размерность определяется отношением размерностей реакций цепи к размерности площади воздействия. Все импульсные характеристики имеют размерности.

Например, по напряжению — с -1 .

Методики расчета временных характеристик

Можно рассчитать классическим методом, подключая ко входу цепи (t=0) источник напряжения (1В) или тока (1А) и рассчитывать ток или напряжение на выходе.

Можно операторным методом. Аналогично рассчитывать ток или напряжение.

Можно рассчитать через коэффициент передачи.

Если найдем оригинал U₂(p) получим переходную характеристику.

Применяя какие-либо программные средства.

Экспериментальным путем (по осциллографу).

Классический метод не пригоден, т.к. воздействие бесконечно.

Операторный метод использовать можно. Здесь изображение воздействия 1.

Через переходную характеристику. Импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции, соответственно и импульсная является производной переходной.

Источник

Методы расчета передаточных функций

При расчете передаточных функций используются законы Ома и Кирхгофа в операторной и комплексной форме в зависимости от характеристики. Для сложных цепей приминаются некоторые специальные методы: метод контурных токов, метод узловых напряжений и т.п.

Временные характеристики электрических цепей

Под ними понимают функции времени численно равные реакции электрической цепи на стандартное воздействие на цепь. Применяются обычно для линейных цепей при нулевых условиях (без запаса энергии в цепи).

Единичная ступенчатая функция или функция Хевисайда. Определяется следующим способом:

Единичная импульсная функция или функция Дирака.

Ее можно рассматривать как предел импульсного сигнала такого вида:

t_U=Δt,U_u=1/Δt,Δt→0

В соответствии с испытательными (стандартными) сигналами используются две характеристики:

Переходная характеристика— это функция времени, численно равная реакции электрической цепи на единичное ступенчатое воздействие.

Различают в зависимости от типа воздействия и реакции четыре вида переходных характеристик: по напряжению, по току, по сопротивлению и по проводимости.

Размерность переходной характеристики определяется отношением размерности реакции цепи к размерности воздействия.

по напряжению и по току — безразмерные.

по проводимости — См (сименс).

Импульсная характеристика— это функций времени, численно равная реакции электрической цепи на единичное импульсное воздействие.

Существует также четыре вида импульсных характеристик: по напряжению, по току, по сопротивлению и по проводимости.

Размерность определяется отношением размерностей реакций цепи к размерности площади воздействия. Все импульсные характеристики имеют размерности.

Например, по напряжению — с -1 .

Методики расчета временных характеристик

Можно рассчитать классическим методом, подключая ко входу цепи (t=0) источник напряжения (1В) или тока (1А) и рассчитывать ток или напряжение на выходе.

Можно операторным методом. Аналогично рассчитывать ток или напряжение.

Можно рассчитать через коэффициент передачи.

Если найдем оригинал U₂(p) получим переходную характеристику.

Применяя какие-либо программные средства.

Экспериментальным путем (по осциллографу).

Классический метод не пригоден, т.к. воздействие бесконечно.

Операторный метод использовать можно. Здесь изображение воздействия 1.

g(t)K(p) Удобно для стандартных цепей.

Через переходную характеристику. Импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции, соответственно и импульсная является производной переходной.

g(t) =h / (t) +h(0)· δ(t), еслиh(0) не равна 0.

Источник

1. Краткие теоретические свдения.

1.1.Особенности формирования узловых уравнений электрической цепи с идеальными усилителями.

Расчет передаточной функции фильтра производится путем формирования и решения узловых уравнений в операторной форме. Формирование уравнений электрической цепи с идеальными усилителями имеет следующие особенности:

— при формировании уравнения для входного узла влияние усилителя не учитывается, так как ток во входной ветви идеального усилителя равен нулю;

— для выходного узла узловое уравнение не может быть составлено, так как при нулевом выходном сопротивлении идеального усилителя его выходная проводимость равна бесконечности;

— систему узловых уравнений необходимо дополнить уравнением связи входного и выходного напряжений усилителя в результате получим систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных.

Напряжение на входе и выходе усилителя с конечным коэффициентом усиления связаны уравнением:

, где

-операторное напряжение на входе ;

-операторное напряжение на выходе;

-коэффициент усиления.

Если коэффициент усиления задан равным бесконечности, то при конечной величине напряжения систему узловых уравнений необходимо дополнить уравнением:

=

При анализе цепей с дифференциальным операционным усилителем с бесконечным коэффициентом усиления система узловых уравнений должна быть дополнена уравнением:

=, где

— операторное напряжение на неинвертирующем входе усилителя;

-операторное напряжение на инвертирующем входе усилителя.

1.2.Операторная передаточная функция и ее частотные характеристики.

Операторной передаточной функцией называется отношение изображений выходного и входного напряжений (или токов). Для рассматриваемой в курсовой работе электрического фильтра передаточная функция имеет вид:

, где

-передаточная функция фильтра;

-передаточная функция по напряжению первого звена фильтра;

-передаточная функция по напряжению второго звена фильтра.

Рассмотрим порядок расчета передаточной функции одного звена электрического фильтра, например, первого.

Принципиальная схема электрической цепи звена представлена на рис.1.

Запишем узловые уравнения 1-го звена в общем виде. Для расчета передаточной функции достаточно записать уравнения для узлов (3) и (4):

(1)

(2)

Как было отмечено, в электрических цепях, содержащих идеальные усилители, узловое уравнение для выходного узла не составляют. Вместо этого рекомендуется использовать уравнение:

(3)

Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1) и (2):

, , , ,

Расчёт правой части уравнений:

,

С учётом найденных коэффициентов, уравнения ( 1) и (2) примут вид:

.

В результате решения уравнений найдем передаточную функцию звена:

(4)

Преобразуем выражение для передаточной функции. С этой целью разделим числитель и знаменатель на коэффициент при операторе :

(5)

Знаменатель передаточной функции звена содержит характеристический полином второго порядка, формально совпадающий с характеристическим полиномом резонансного колебательного контура.

,

где и — резонансная частота и добротность контура соответственно.

Аналогичные коэффициенты знаменателя передаточной функции звена называются добротностью и частотой полюса :

В таком же порядке производится расчет передаточной функции второго звена фильтра (рис. 2).

Передаточная функция второго звена:

(6)

— частота полюса второго звена;

— добротность второго звена.

Передаточная функция фильтра при каскадном соединении звеньев:

(7)

При анализе процессов преобразования сигналов электрическими фильтрами представляет интерес исследования передаточной функции фильтра от частоты. График зависимости модуля передаточной функции от частоты называется амлитудночастотной характеристикой (АЧХ), а график зависимости аргумента – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Обе зависимости, построенные в широком диапазоне частот, определяют характер преобразования сигналов и тип фильтра: фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ), заграждающий фильтр (ЗФ) и другие типы фильтров с более сложным видом частотных характеристик.

Выражения для частотных характеристик передаточной функции фильтра получим на основании (7), подставив в него

(8) ,

H(j) – комплексная передаточная функция фильтра.

Расчет выражений для АЧХ и ФЧХ передаточной функции H(j производится в обычном порядке, как расчет модуля и аргумента комплексного числа.

График АЧХ передаточной функции изображают как в линейном, так и в логарифмическом масштабах. На оси ординат графика АЧХ , построенной в

линейном масштабе указывают модуль |H(j|. На оси ординат графика АЧХ,

построенной в логарифмическом масштабе, принято откладывать значение 20lg|H(j|. Эта величина оценивается в децибелах.

Фазовый сдвиг на фазочастотных характеристиках откладывают в линейном масштабе.

На рис.3 и рис.4 представлены графики АЧХ передаточной функции фильтра соответственно в линейном и логарифмическом масштабах. Фазочастотная характеристика передаточной функции приведена на рис.5.

По графикам можно сделать вывод, что АЧХ и ФЧХ передаточной функции при каскадном соединении первого и второго звена соответствуют частотным характеристикам полосового фильтра.

Источник