Закон Ома в комплексной форме
Для анализа электрических цепей синусоидального тока удобнее применять закон Ома в комплексной форме. Цепи синусоидального тока – линейные цепи с установившимся режимом работы, когда после окончания в них переходных процессов, падения напряжений на участках, токи в ветвях и ЭДС источников являются синусоидальными функциями времени. В обратном случае закон в такой форме неприменим.
В отличие от обычной формы закона Ома, в комплексной форме напряжение, токи, сопротивления и ЭДС записываются как комплексные числа. Данное нововведение основано на том, что в цепях переменного тока существуют активные и реактивные значения напряжений, токов и сопротивлений, что требует определенных корректив.
Итак, вместо активного сопротивления R, которое используется в основном в цепях постоянного тока, запишем полное (комплексное) сопротивление цепи Z. Падение напряжения, ток и ЭДС тоже становятся комплексными величинами. При практических расчетах удобнее пользоваться действующими значениями. Запишем формулу закона Ома в комплексной форме:
где
- Z – комплексное (полное) сопротивление,
- Y – комплексная (полная) проводимость.
где
- r – активное сопротивление,
- x – реактивное сопротивление,
- z – полное сопротивление,
- g – активная проводимость,
- b – реактивная проводимость,
- y – полная проводимость,
- j – комплексная единица, j=√(-1).
По заданной схеме определить полное сопротивление цепи, токи (I_1 ) ̇, (I_2 ) ̇, (I_3 ) ̇. U = 120 В, xC1 = 100 Ом, xL2 = 50 Ом, xC3 = 50 Ом, r1 = 25 Ом, r2 = 20 Ом.
Источник
Закон Ома в комплексной форме
Поскольку синусоидальные токи и напряжения изображаются векторами, то, совместив начало каждого вектора с началом координат 0 комплексной плоскости, можно утверждать, что конец вектора (точка) является комплексным числом, а длина вектора (модуль комплексного числа) с учетом масштаба представляет собой величину соответствующего тока или напряжения.
Принято обозначать комплексы токов, напряжений и мощностей соответствующими буквами с точками наверху ( 
), а комплексы сопротивлений и проводимостей, которые не являются гармоническими функциями времени, – подчеркиванием внизу (Z, Y).
Рассмотрим переход от параметрического метода расчета к символическому на примере закона Ома для цепи с последовательным соединением активного r, индуктивного xL и емкостного xC сопротивлений. Закон Ома в параметрическом методе (43) записывается в виде:
,
где – полное сопротивление цепи (гипотенуза треугольника сопротивлений), r и соответственно x = xL − xC – активное и реактивное сопротивления цепи как катеты треугольника сопротивлений (рис.23б).
Угол в треугольнике сопротивлений 
– угол сдвига по фазе между током I и напряжением U на входе цепи (рис. 23б).
Предположим, что цепь имеет индуктивный характер (xL > xC) и перенесем векторную диаграмму напряжения и тока в комплексную плоскость, совместив начала векторов напряжения 
и тока 
с началом 0 координат +1, +j. Очевидно концы векторов и (точки) представляют собой комплексы действующих значений напряжения и тока (рис. 33).
Умножив вектор тока на вещественное число (скаляр) z, получим вектор 
, равный по длине вектору , но сонаправленный с вектором тока . Чтобы получить истинное положение вектора на диаграмме (рис. 33), необходимо умножить вектор на оператор поворота e j на угол в положительном направлении (против часовой стрелки). Таким образом можно записать:
– комплексное сопротивление цепи,
Из равенства (68) следует: 
– закон Ома для последовательной цепи.
Введем понятие об эквивалентной комплексной проводимости, устранив мнимую единицу j в знаменателе
где 
– активная проводимость;
– реактивная проводимость;
– полная (кажущаяся) проводимость эквивалентной параллель-
Очевидно закон Ома для разветвленной (параллельной) цепи имеет вид:
Сделаем обратный эквивалентный переход от параллельной цепи к последовательной
где 
– активное сопротивление;
– реактивное сопротивление;
– полное (кажущееся) сопротивление эквивалентной последо-
Следует обратить внимание, что при эквивалентных переходах от последовательной цепи к параллельной и наоборот знак реактивной составляющей изменяется на противоположный.
Законы Кирхгофа в комплексной форме
При использовании комплексных чисел возникает полная аналогия записей уравнений по законам Ома и Кирхгофа, а также методов расчета цепей синусоидального тока с цепями постоянного тока, рассмотренных в [2].
В цепях постоянного тока в уравнения входят действительные значения E, U, I, r, а в цепях синусоидального – комплексные значения 
.
Ранее были получены выражения для закона Ома в комплексной форме
– для последовательной цепи;
– для последовательной цепи;
– для параллельной цепи.
По аналогии с цепями постоянного тока [2] запишем в комплексной форме законы Кирхгофа:
I закон: 
– алгебраическая сумма комплексов действующих значений
II закон: 
– алгебраическая сумма комплексов действующих
значений э.д.с. в замкнутом контуре равна алгебраи-
ческой сумме комплексов падений напряжения в вет-
вях, образующих этот контур.
Приведем в качестве примера, как правильно читается первый закон Кирхгофа для простейшего электрического узла (рис. 11) при использовании аналитического метода, метода векторных диаграмм (графического) и символического метода:
– алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле
– геометрическая сумма векторов действующих значений
– алгебраическая сумма комплексов действующих значений
Источник