Векторная диаграмма электрической цепи это

Векторные диаграммы.

Применение векторных диаграмм наглядно представляет рассматриваемые процессы и упрощает расчеты. Векторные диаграммы являются совокупностью векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС и токи или их амплитудные значения. Гармонически изменяющееся напряжение определяется выражением:

Под углом относительно оси Х изобразим вектор U_m, длина которого в масштабе равна амплитуде гармонической величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против вращения часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке.

Предположим, вектор U с момента t = 0 вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной частотой вращения ω, равной угловой частоте функции. В момент t. U_m повернется на угол ωt и будет расположен под углом ωt + ψ_u по отношению оси абсцисс.

Рис. 8. Векторная диаграмма.

Его проекция на ось ординат равна мгновенному значению изображаемой функции u = U_m sin (ωt + ψ_u). Следовательно, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором.

График зависимости любой переменной величины от времени называется временной диаграммой.

При расчетах требуются действующие ЭДС, напряжения и токи или амплитуды и их сдвиг по фазе. Поэтому рассматриваются неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирается так, чтобы диаграмма была наглядной – векторная диаграмма.

Сложение Е, I или U одной и той же частоты можно осуществить аналитически и графически с помощью векторов Е_m = Е_1m + Е_2m.

Тема: Электрические цепи синусоидального переменного тока.

В состав простых цепей переменного тока входят резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы и элементы, соединенные магнитной или емкостной связью с другими цепями.

В резисторах электроэнергия полезно преобразуется в другие виды энергии или рассеивается как тепловая. Резистивный элемент характеризуется сопротивлением. Любой из них обладает некоторой индуктивностью и емкостью. Влиянием L и С можно иногда пренебречь. Если влиянием L пренебречь нельзя, то на схеме изображается последовательное соединение сопротивления и индуктивности. Реальный L-элемент обладает кроме L и R. Иногда надо учитывать влияние емкости. Индуктивность L линейного элемента в генри (Гн) определяется отношением потокосцепления Ψ в веберах (Вб) к току I в амперах (А):

Взаимная индуктивность М в генри между цепями 1 и 2 определяется отношением потокосцепления Ψ₁₂ или Ψ₂₁ цепи 1 или 2 в веберах к току цепи 2 или 1 соответственно:

В реальной емкости имеются некоторые потери энергии. Поэтому С элемент надо изображать в виде параллельного соединения емкости С с проводимостью g. Потери энергии чаще всего невелики, поэтому С элемент изображается в виде идеальной емкости. Емкость С в фарадах определяется отношением заряда Q в кулонах к напряжению U:

Процессы в цепях переменного тока принципиально отличаются от процессов в цепях постоянного тока, I и U которых неизменны, при этом не изменяются электрические и магнитные поля, связанные с цепью. В цепях переменного тока при изменениях U и I изменяются магнитные и электрические поля, связанные с цепью. Возникают ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции, протекают зарядные и разрядные токи.

Основные физические законы сформулированы применительно к цепям постоянного тока. Но они справедливы и к цепям переменного тока, но только для реально существующих в каждый момент мгновенных значений величин. На основе выражений, составленных по этим законам для мгновенных значений, составляются уравнения и формулируются законы для векторов и изображений напряжений, ЭДС и токов в символическом виде. В цепях переменного тока также показываются условные положительные направления ЭДС, U и I.

1. Электрическая цепь переменного тока с активным сопротивлением R. Пренебрегаем очень малой L и С проводов цепи. Сопротивление переменному току будет больше сопротивления постоянному току за счет неравномерного распределения тока в проводе и потерь энергии в окружающей среде. Поэтому в отличие от сопротивления постоянного тока сопротивление в цепи переменного тока называется активным.

Рис. 9. Электрическая схема, векторные и временные диаграммы напряжения и тока для электрической цепи с активным сопротивлением.

Действующие напряжение и ток меньше амплитудных значений в √2 раз; следовательно I = U/r и I = U/r

Ток и напряжение для цепи только с R совпадают по фазе. (Реостаты, электрические лампы, нагревательные приборы и др.).

2. Электрическая цепь переменного тока с индуктивностью L. Рассмотрение элемента цепи с сосредоточенными параметрами, обладающего только L, является научной абстракцией.

Рис. 10. Электрическая схема, векторные и временные диаграммы напряжения и тока для электрической цепи с индуктивным сопротивлением.

Изменение тока в цепи с L вызывает возникновение ЭДС самоиндукции е , которая по закону Ленца противодействует изменению тока. При увеличении тока е действует навстречу току, а при уменьшении — в направлении тока, противодействуя его уменьшению.

ЭДС самоиндукции отстает по фазе от тока на угол π/2. Чтобы в цепи протекал ток, требуется иметь на зажимах напряжение, уравновешивающее ЭДС самоиндукции, равное ей по значению и противоположное по знаку:

где U_Lm = ω L I_m — амплитуда напряжения. Для действующих тока и напряжения получаем выражения, аналогичные по форме закону Ома: U_L=ωLI и I = U_L/(ωL).

Величина ωL измеряется в Омах и называется индуктивным сопротивлением. Оно пропорционально частоте:

3. Электрическая цепь переменного тока с емкостью С. Рассмотрение элемента цепи только с С также является научной абстракцией.

В цепи с идеальной С, включенной на напряжение переменного тока, происходит непрерывное перемещение электрических зарядов.

При увеличении напряжения ток в цепи конденсатора будет зарядным, а при уменьшении — разрядным. Мгновенный ток i равен скорости изменения заряда конденсатора:

где Q — заряд конденсатора, С — емкость конденсатора.

Рис. 11. Электрическая схема, векторные и временные диаграммы напряжения и тока для электрической цепи с емкостным сопротивлением.

Напряжение Uс на зажимах определяется отношением заряда Q к емкости С:

Величина 1/ωC измеряется в Омах и называется емкостным сопротивлением X_c = 1/ωC = 1/2πfC и оно обратно пропорционально частоте приложенного напряжения. Действующее значения:

В цепи с конденсатором ток опережает напряжение на угол π/2.

4. Электрическая цепь с последовательным соединением активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С. Рассматриваем идеализированную цепь с сосредоточенными параметрами.

Рис. 12. Электрическая схема и векторные диаграммы напряжения и тока для электрической цепи с последовательным соединением R,L,C.

По 2-му закону Кирхгофа i r = u + E_L + E_c = u — L di/dt + ∫i dt/C, т. е.

Это уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение 2-го порядка, частным решением которого является выражение синусоидального тока i = I_m sin (ωt + ψ_i), для которого надо найти:

Если ток изменяется по гармоническому закону, то и напряжения на участках цепи изменяются по этому же закону. Тогда: U = U_q + U_L + U_c — из векторной диаграммы. Из ∆ ОВF: U 2 = (rI) 2 + (X_L — X_c ) 2 I 2 и получаем:

Сопротивление цепи называется полным сопротивлением цепи. X = (X_L — X_c) называется реактивным сопротивлением цепи. Если в цепи преобладает индуктивное сопротивление, то Х положительно и φ > 0 и напряжение цепи опережает ток. Если в цепи преобладает емкостное сопротивление, то Х — отрицательно и φ 2 ) U = g U;

Источник

Векторные диаграммы электрических цепей

При исследовании электрических цепей и моделировании часто пользуются векторными диаграммами токов и напряжений. Под векторной диаграммой понимается совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции времени [1].

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Представление синусоидальных функций в виде комплексных чисел

Векторная диаграмма – это удобный инструмент представления синусоидальных функций времени, коими являются, к примеру, напряжения и токи электрической цепи переменного тока.

Рассмотрим, например, произвольный ток, представленный в виде синусоидальной функции

$$ i(t) = 10 \sin(\omega t + 30 \degree). $$

Данный синусоидальный сигнал можно представить в виде комплексной величины

$$ \underline = 10 \angle 30 \degree. $$

Для формирования комплексного числа используются модуль и фаза синусоидального сигнала.

Закон Ома в комплексной форме

Известно [1], что напряжение $ \underline $ на сопротивлении $ \underline $ связано с током $ \underline $, протекающим через это сопротивление, согласно закону Ома:

$$ \underline = \underline \cdot \underline. $$

Кроме того, известны соотношения, определяющие активное сопротивление резистора, индуктивное сопротивление катушки и ёмкостное сопротивление конденсатора:

где $ X_ = \omega L $, $ X_ = \frac<1> <\omega C>$, $ R $ – сопротивление резистора, $ L $ – индуктивность катушки, $ C $ – ёмкость конденсатора, $ \omega = 2 \pi f $ – циклическая частота, $ f $ – частота сети, $ j $ – мнимая единица.

Векторная диаграмма при последовательном соединении элементов

Для построения векторных диаграмм сперва составляют уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1, и нарисуем для неё векторную диаграмму напряжений. Обозначим падение напряжение на элементах.

Рис. 1. Последовательное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по второму закону Кирхгофа:

$$ \underline_ + \underline_ + \underline_ = \underline. $$

По закону Ома падение напряжений на элементах определяется по следующим выражениям:

$$ \underline_ = \underline \cdot R, $$

$$ \underline_ = \underline \cdot jX_, $$

$$ \underline_ = -\underline \cdot jX_. $$

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости. Обычно вектора токов и напряжений отображаются в своих масштабах: отдельно для напряжений и отдельно для токов.

Из курса математики известно, что $ j = 1 \angle 90 \degree $, $ -j = 1 \angle -90 \degree $. Отсюда при построении векторной диаграммы умножение какого-либо вектора на мнимую единицу $ j $ приводит к повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки, а умножение на $ -j $ приводит к повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке.

При построении векторной диаграммы напряжений на комплексной плоскости сперва отобразим вектор тока $ \underline $, после чего относительного него будем отображать вектора падений напряжений (рис. 2) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Падение напряжения на резисторе $ \underline_ $ совпадает по направлению с током $ \underline $ (т.к. $ \underline_ = \underline \cdot R $, а $ R $ – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Падение напряжения на индуктивном сопротивлении опережает вектор тока на 90° (т.к. $ \underline_ = \underline \cdot jX_ $, а умножение на $ j $ приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Падение напряжения на ёмкостном сопротивлении отстаёт от вектора тока на 90° (т.к. $ \underline_ = -\underline \cdot jX_ $, а умножение на $ -j $ приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке).

Рис. 2. Векторная диаграмма напряжений при последовательном соединении элементов цепи

Векторная диаграмма при параллельном соединении элементов

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 3, и нарисуем для неё векторную диаграмму токов. Обозначим направление токов в ветвях.

Рис. 3. Параллельное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по первому закону Кирхгофа:

$$ \underline— \underline_— \underline_— \underline_ = 0, $$

$$ \underline = \underline_ + \underline_ + \underline_ = 0. $$

Определим по закону Ома токи в ветвях по следующим выражениям, учитывая, что $ \frac<1> = -j $:

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости.

При построении векторной диаграммы токов на комплексной плоскости сперва отобразим вектор ЭДС $ \underline $, после чего относительного него будем отображать вектора токов токов (рис. 4) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Ток в резисторе I_R совпадает по направлению с ЭДС $ \underline $ (т.к. $ \underline_ = \frac<\underline> $, а $ R $ – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Ток в индуктивном сопротивлении отстаёт от вектора ЭДС на 90° (т.к. $ \underline_ = -j \frac<\underline>> $, а умножение на $ -j $ приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке). Ток в ёмкостном сопротивлении опережает вектор ЭДС на 90° (т.к. $ \underline_ = j \frac<\underline>> $, а умножение на $ j $ приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Результирующий вектор тока определяется после геометрического сложения всех векторов по правилу параллелограмма.

Рис. 4. Векторная диаграмма токов при параллельном соединении элементов цепи

Для произвольной цепи алгоритм построения векторных диаграмм аналогичен вышеизложенному с учётом протекаемых в ветвях токов и прикладываемых напряжений.

Обращаем ваше внимание, что на сайте представлен инструмент для построения векторных диаграмм онлайн для трёхфазных цепей.

Список использованной литературы

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие…

При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов…

Источник

Читать так же:  Как точить цепь бензопилы с победитовыми напайками