Ток в последовательной цепи синусоидального тока

1. Последовательное соединение элементов r,l,c в цепи синусоидального тока.

П о второму закону Кирхгофа: U = U_R + U_L + U_C

Реактивное сопротивление в зависимости от знака может иметь индуктивный (>0) или емкостный (

Тема №4. Резонансные явления в электрических цепях.

1.Резонанс в последовательном контуре.

Рассмотрим последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов. Такую цепь часто называют последовательным контуром или RLC-цепью. Если сопротивление r – мало, а индуктивное и емкостное сопротивления на частоте ω₀ равны (₀L = 1/₀C), то в такой цепи возникают резонансные явления

При ₀L = 1/₀C значения противоположных по фазе

напряжений на индуктивности и емкости равны, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений.

Напряжение на индуктивности и емкости при резонансе могут значитенльно превышать напряжение на входных выводах цепи, которое равно напряжению на активном сопротивлении. Полное сопротивление цепи при резонансе равно активному сопротивлению контур R_k:

А ток I при заданном напряжении U достигает наибольшего значения U/r.

Из условия L=1/C следует, что резонанса можно достичь, изменяя либо частоту напряжения питания, либо параметры цепи: индуктивность или емкость. Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой

; ;

Если подставить значение резонансной угловой частоты в выражение индуктивного (ωL), или емкостного (1/ωC) сопротивления, то получим значение характеристического сопротивления контура:

Отношение напряжения на индуктивном или емкостном элементе к напряжению питания при резонансе обозначают буквой Q и называют добротностью контура или коэффициентом резонанса.

Добротность контура Q указывает, во сколько раз напряжение на индуктивном или емкостном элементе при резонансе больше, чем напряжение питания, когда Q>1, если >R_K.

Для исследования зависимости параметров контура от частоты (т.е. частотных характеристик) введем специальную функцию, которая будет учитывать резонансные свойства контура и расстройку (уход) частоты от резонансной:

тогда, входное сопротивление контура в зависимости от расстройки можно записать:

2.Резонанс в параллельном контуре.

Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями: параметры одной — сопротивление r₁ и индуктивность L, а другой — сопротивление r₂ и емкость С. Сопротивление r₁ представляет собой сопротивление индуктивной катушки R_K и в реальном резонансном контуре имеет небольшую величину, а сопротивление r₂ – потери в диэлектрике конденсатора С, которые очень малы и ими можно пренебречь.

Такую цепь называют параллельным контуром. Если учесть, что сопротивления r₁ и r₂ малы, то векторная диаграмма (теоретическая) будет иметь вид рис.2. Резонанс наступает тогда, когда реактивные сопротивления в контуре будут равны (L=1/C). В этом случае токи I₁ и I₂ тоже равны и противоположные по фазе, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи получил название резонанса токов. Из векторной диаграммы видно, что при резонансе ток I на входных выводах контура может быть значительно меньше токов в ветвях I₁ и I₂. В теоретическом случае при r₁ = r₂ = 0 токи I₁ и I₂ сдвинуты по фазе на углы +90 0 и -90 0 и суммарный ток I = I₁+I₂ = 0.

Добротность контура Q и характеристическое (волновое ) сопротивление контура ρ определяется аналогично контуру с последовательным соединением LC.

В контуре при резонансе возникает обмен энергией между конденсатором и катушкой индуктивности, при этом ток в контуре I_K значительно возрастает:

Эквивалентное сопротивление контура для внешнего источника определяется его волновым сопротивлением и добротностью:

В реальном контуре можно достичь Q=200 – 400, а ρ=100 – 500, поэтому эквивалентное сопротивление контура при резонансе велико, а ток I, поступающий в контур, мал.

Зависимость входного сопротивления контура от частоты внешнего сигнала определяется выражением:

Резонансные кривые для определения полосы пропускания параллельного контура строят по значению входного сопротивления, нормированному относительно его максимального значения, т.е. R_Э