Учебник. RLC-контур. Свободные колебания
В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис. 2.2.1).
Последовательный RLC-контур
Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения ℰ. После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер.
Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде J R + U = — L d J d t , где U = q C – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, J = d q d t – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q (t), уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду: q ċċ + R L q ˙ + 1 L C q = 0 .
Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда q ċċ + ω 0 2 q = 0 .
Здесь принято обозначение: ω 0 2 = 1 L C . Уравнение (*) описывает свободные колебания в LC-контуре в отсутствие затухания. По виду оно в точности совпадает с уравнением свободных колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения (ч. I, § 2.2). Рис. 2.2.2 иллюстрирует аналогию процессов свободных электрических и механических колебаний. На рисунке приведены графики изменения заряда q (t) конденсатора и смещения x (t) груза от положения равновесия, а также графики тока J (t) и скорости груза υ (t) за один период T = 2 π ω 0 колебаний.
Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний
Сравнение свободных колебаний груза на пружине и процессов в электрическом колебательном контуре позволяет сделать заключение об аналогии между электрическими и механическими величинами. Эти аналогии представлены в таблице 1.
| Электрические величины | Механические величины | ||
|---|---|---|---|
| Заряд конденсатора | q (t) | Координата | x (t) |
| Ток в цепи | J = d q d t | Скорость | υ = d x d t |
| Индуктивность | L | Масса | m |
| Величина, обратная электроемкости | 1 C | Жесткость | k |
| Напряжение на конденсаторе | U = q C | Упругая сила | kx |
| Энергия электрического поля конденсатора | q 2 2 C | Потенциальная энергия пружины | k x 2 2 |
| Магнитная энергия катушки | L I 2 2 | Кинетическая энергия | m υ 2 2 |
| Магнитный поток | LI | Импульс | mυ |
В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону q(t) = q0 cos(ωt + φ0).
Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний ω 0 = 1 L C .
Амплитуда q0 и начальная фаза φ0 определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рис. 2.2.1) после переключения ключа K в положение 2, q0 = Cℰ, φ0 = 0.
При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии Wэ, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию Wм катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной: W = W э + W м = q 2 2 C + L J 2 2 = const.
Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 2.2.3).
Затухающие колебания в контуре
Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: Fтр = – βυ. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R электрического контура. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид q ċċ + 2 δ q ˙ + ω 0 2 q = 0
Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция q ( t ) = q 0 e — δ t cos ( ω t + φ 0 ) , которая содержит множитель exp (–δt), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени τ = 1 δ , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.
Свободные колебания в RLC-контуре —>
В § 2.4 части 1 было введено понятие добротности Q колебательной системы: Q = π N = π τ T , где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение: Q = 2 π Запас энергии в колебательной системе Потеря энергии за 1 период .
Для RLC-контура добротность Q выражается формулой Q = 1 R L C .
Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.
Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω0 идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5÷10) этим различием можно пренебречь.
Источник
Учебник. RLC-контур. Свободные колебания
В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис. 2.2.1).
Последовательный RLC-контур
Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения ℰ. После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер.
Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде J R + U = — L d J d t , где U = q C – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, J = d q d t – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q (t), уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду: q ċċ + R L q ˙ + 1 L C q = 0 .
Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда q ċċ + ω 0 2 q = 0 .
Здесь принято обозначение: ω 0 2 = 1 L C . Уравнение (*) описывает свободные колебания в LC-контуре в отсутствие затухания. По виду оно в точности совпадает с уравнением свободных колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения (ч. I, § 2.2). Рис. 2.2.2 иллюстрирует аналогию процессов свободных электрических и механических колебаний. На рисунке приведены графики изменения заряда q (t) конденсатора и смещения x (t) груза от положения равновесия, а также графики тока J (t) и скорости груза υ (t) за один период T = 2 π ω 0 колебаний.
Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний
Сравнение свободных колебаний груза на пружине и процессов в электрическом колебательном контуре позволяет сделать заключение об аналогии между электрическими и механическими величинами. Эти аналогии представлены в таблице 1.
| Электрические величины | Механические величины | ||
|---|---|---|---|
| Заряд конденсатора | q (t) | Координата | x (t) |
| Ток в цепи | J = d q d t | Скорость | υ = d x d t |
| Индуктивность | L | Масса | m |
| Величина, обратная электроемкости | 1 C | Жесткость | k |
| Напряжение на конденсаторе | U = q C | Упругая сила | kx |
| Энергия электрического поля конденсатора | q 2 2 C | Потенциальная энергия пружины | k x 2 2 |
| Магнитная энергия катушки | L I 2 2 | Кинетическая энергия | m υ 2 2 |
| Магнитный поток | LI | Импульс | mυ |
В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону q(t) = q0 cos(ωt + φ0).
Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний ω 0 = 1 L C .
Амплитуда q0 и начальная фаза φ0 определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рис. 2.2.1) после переключения ключа K в положение 2, q0 = Cℰ, φ0 = 0.
При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии Wэ, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию Wм катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной: W = W э + W м = q 2 2 C + L J 2 2 = const.
Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 2.2.3).
Затухающие колебания в контуре
Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: Fтр = – βυ. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R электрического контура. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид q ċċ + 2 δ q ˙ + ω 0 2 q = 0
Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция q ( t ) = q 0 e — δ t cos ( ω t + φ 0 ) , которая содержит множитель exp (–δt), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени τ = 1 δ , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.
Свободные колебания в RLC-контуре —>
В § 2.4 части 1 было введено понятие добротности Q колебательной системы: Q = π N = π τ T , где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение: Q = 2 π Запас энергии в колебательной системе Потеря энергии за 1 период .
Для RLC-контура добротность Q выражается формулой Q = 1 R L C .
Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.
Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω0 идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5÷10) этим различием можно пренебречь.
Источник