Смешанное соединение элементов электрической цепи переменного тока

1.5. Последовательное , параллельное и смешанное соединения элементов

Приведенные ниже формулы справедливы для резистивных элементов цепей постоянного и переменного тока. Для цепей синусоидального тока, содержащих реактивные элементы (индуктивный и емкостной), формулы записываются в других обозначениях, см. раздел 3.

1. Последовательное соединение резистивных элементов, рис.1.16.

При последовательном соединении элементов по ним течет один и тот же ток. Левая и правая схемы рис. 1.16 эквивалентны.

При этом должны выполняться соотношения:

U_ав = U₁ + U₂ + U₃ ; U_ав = E ; I = .

В общем виде при к-последовательно соединенных элементах эквивалентное сопротивление находится по формуле

.

2. Параллельное соединение резистивных элементов, рис 1.17.

При параллельном соединении элементов на них одно и то же напряжение (в нашем случае U_ав = E ). Левая и правая схемы эквивалентны. При этом должны выполняться соотношения:

или G = G₁ + G₂ + G₃ ,

где  эквивалентная проводимость;

— проводимости параллельных ветвей (для нашего примера=1,2,3);

В случае к-параллельных ветвей общая (эквивалентная) проводимость параллельных ветвей находится по формуле

.

Найти эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей схемы рис. 1.18 при заданных R₂, R₃ и R₄.

Находим сопротивление первой ветви R₁ = R₃ + R₄, затем определяем общее сопротивление цепи:

, 2) , 3) .

Последняя формула часто используется самостоятельно (при этом эквивалентное сопротивление должно быть по величине меньше меньшего из параллельных сопротивлений).

Пример 2. Найти сопротивление между точками цепи , рис. 1.19 .

3. Смешанное соединение резистивных элементов.

Рассмотрим пример расчета электрической цепи с использованием закона Ома, рис. 1.20 .

1) Найдем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи:

.

Тогда схему рис. 1.20 можно упростить, рис. 1.21.

Согласно схемы рис. 1.21, резисторы R₁ и R₂₃ включены последовательно, поэтому общее сопротивление найдем по формуле

Схему рис. 1.21 преобразуем в схему рис. 1.22.

Используя схему рис.1.22, найдем общий ток:

.

По схеме рис.1.21 определим падения напряжения:

Недостающие токи параллельных ветвей найдем по исходной схеме, рис.1.20:

_, .

Проверим найденные токи по первому закону Кирхгофа. Должно соблюдаться соотношение (с определенной степенью точности)

1.6. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно

Приведем формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 1.23) в эквивалентную звезду (рис. 1.24):

R_a = , R_b = , R_с = ,

Формулы обратного преобразования из звезды в треугольник имеют следующий вид:

, , .

Если использовать проводимости ветвей, то последнее преобразование можно осуществить по формулам:

G_аb = , G_bс = , G_ca = , где G_n = G_a + G_b + G_c.

Найти: эквивалентное сопротивление R заданной электрической цепи, рис.1.25.

Преобразуем треугольник сопротивлений авс в эквивалентную звезду. Тогда схема примет вид, рис. 1.26 . Дальнейший расчет сводится к вычислениям по формулам:

R_c2 = R_c + R₂ , R_b3 = R_b + R₃ , , R = R₁ + R_a + R_{c2, b3}.

Источник

Смешанное соединение элементов.

Смешанным соединением элементов называют все возможные

сочетания последовательного и параллельного соединений. В такой цепи может быть различное число узлов и ветвей. Один из примеров смешанного соединения представлен на схеме (рис. 1.3, а).

Рис.1.3 Схема смешанного соединения элементов (а) и ее эквивалентные схемы (б, в)

Для расчета такой схемы необходимо сначала определить эквивалентные сопротивления тех частей схемы, которые представляют собой только последовательное или только параллельное соединение. В предложенной схеме элементы R₁ и R₂ соединены между собой последовательно, а элементы R₃ и R₄ – параллельно. Используя приведенные ранее соотношения (1.7) и (1.13), можно заменить R₁ и R₂ эквивалентным сопротивлением R₁₂, а элементы R₃ и R₄ –эквивалентным сопротивлением R₃₄:

R₃₄ = (1.19)

В результате такой эквивалентной замены получится схема, изображенная рис.1.3 (б), в которой элементы R₁₂ и R₃₄ соединены между собой последовательно. Для этой схемы эквивалентное сопротивление

В результате такой эквивалентной замены получим схему, изображенную на рис.1.3 (в). Определим ток, протекающий в этой цепи:

(1.21)

Это ток источника питания и ток в элементах R₁ иR₂ реальной цепи. Найдем напряжения на участке цепи с сопротивлением R₁₂ и на участке цепи с сопротивлением R₃₄:

U₁₂ = I · R ₁₂; U₃₄ = I · R ₃₄ (1.22)

Токи I₃ и I₄ можно найти по закону Ома:

(1.23)

Для проверки правильности расчета схемы смешанного соединения элементов можно воспользоваться 1-м и 2-м законами Кирхгофа, а также законом баланса мощности. Должны выполняться соотношения:

Здесь Р₁ = · R₁ ; Р₂ = · R₂ ; Р₃ = · R₃ ; Р₄ = · R_4.

Подобным образом можно рассчитать и другие, более сложные схемы электрических цепей со смешанным соединением элементов.

Существуют и другие схемы эквивалентных преобразований, так как не все схемы сводятся к комбинации последовательно и параллельно соединенных элементов. Такие схемы будут рассмотрены в следующем подразделе.

1.3.4 Преобразование «треугольник» — «звезда».

На рис. 1.5 показана одна из разновидностей мостовых схем, называемая четырехплечий мост или мост Уитстона. Ни одну пару сопротивлений в этой схеме нельзя квалифицировать как последовательно или параллельно включенные. Следовательно, к ней неприменимы основные правила нахождения эквивалентных сопротивлений. Расчет эквивалентного сопротивления схем такого типа осуществляется методом эквивалентных преобразований.

При эквивалентном преобразовании часть цепи заменяется новыми элементами с другим их соединением. При этом сопротивления новых элементов должны быть такими, чтобы проведенная замена не привела к изменению распределения токов и напряжений в участках цепи, не подвергшихся изменениям. В этом случае новую цепь можно считать эквивалентной старой.

Рассмотрим одно из широко распространенных эквивалентных преобразований — преобразование «треугольник — звезда». Участок цепи .,ограниченный узлами В, С, D (рис. 1.4, слева), заменяется новыми элементами соединенными по схеме

«трехлучевая звезда» и подключенными к тем же точкам исходной цепи В, С, D (рис. 1.4, справа); при этом в новой схеме, называемой схемой замещения, добавляется еще один узел — Е.

Применим это преобразование для расчета эквивалентного сопротивления четырехплечего моста. Заменим резисторы R₃, R₄и R₅, включенные «треугольником» между узлами В, С и D (выделенная область на рис. 1.5), новыми резисторами R_B,R_C,R_D, соединенными в трехлучевую звезду (выделенная область на рис. 1.6. В результате замены элементов ток, вытекающий из узла В, и токи, втекающие в узлы С и D (токи I_B, I_Cи I_Dсоответственно), не должны измениться. Это значит, что не должна измениться проводимость схемы между узлами В-С, B-D и C-D.

Рассмотрим проводимость обеих схем между узлами В-С. В исходной схеме эта проводимость осуществляется по двум каналам протекания тока: через резистор R_A (его проводимость равна ) и через цепочку резисторов (её проводимость равна ).

Суммарная проводимость обоих каналов составляет . В схеме замещения проводимость между этими же узлами осуществляется по цепочке резисторов R_B R_C и равна . Проводимости в обеих схемах должны быть равными.

Аналогично рассматриваются проводимости в обеих схемах между узлами B-D и C-D. В итоге получаем систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными, которую можно разрешить относительно R_B, R_C, R_D, т.е. выразить последние через R₃, R₄,R₅:

=> (1.24)

Рассчитанная таким образом схема замещения по своим свойствам эквивалентна исходной схеме. Расчет эквивалентного сопротивления схемы замещения не представляет труда.

Заменим последовательную цепочку R₁R_C на один резистор R_1C, сопротивление которого равно сопротивлению этой цепочки, т.е.R₁+Rc. Аналогично заменим цепочку R₂R_D один резистор R_2D, сопротивление которого равно R₂+R_D. В схеме теперь можно выделить два параллельных элемента: R_1Cи R₂R_D. Заменим этот фрагмент схемы одним резистором R _{1C2D .} Эквивалентное сопротивление находится из уравнения

(1.25)

т.е. . (1.26)

Теперь наша схема свелась к последовательному соединению элементов R_B и R_1C2D.

(1.27)

2. ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

Предварительные сведения. Параметры переменного тока.

В электрических цепях, электро-, радио- и других установках

широко применяются периодически изменяющиеся электродвижущие силы (э.д.с.), напряжения и токи. В электротехнике переменным током принято называть ток, изменяющий по закону:

Аналогично, переменным напряжением называют напряжение, изменяющееся по закону:

Здесь I_max и U_max – максимальные (или амплитудные) значения тока и напряжения соответственно, i и u – их мгновенные значения, φ_0u, φ_0i – начальная фаза колебания напряжения и тока,

— циклическая частота,

=2 f,

f — частота переменного тока, равная числу полных колебаний в 1с.

f = (2.3)

Здесь Т – период колебания.

В европейских странах в качестве стандарта частоты принята частота f = 50 Гц, в США и Японии стандарт частоты f = 60 Гц. Такие частоты обеспечивают получение оптимальных частот вращения электродвигателей переменного тока и отсутствие заметного для глаза мигания осветительных ламп накаливания. Следует отметить, что иногда бывает оправданным применение электротехнических устройств повышенной или пониженной частоты.

Графики переменного тока и переменного напряжения изображены на рис. 2.1.

Синусоидальный ток, так же как и постоянный, используется для совершения какой-либо работы, при этом электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии (механическую, тепловую, и т.д.). Для того чтобы количественно оценить синусоидальный ток, используют значение постоянного тока, эквивалентного синусоидальному по совершаемой работе. Таким образом, вводится понятие действующего значения переменного тока.

Действующим значением переменного синусоидального тока называется значение такого постоянного тока, при прохождении которого в одном и том же резисторе сопротивлением R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты, сколько и при прохождении синусоидального тока.

При синусоидальном токе i = I_maxsinωt количество теплоты, выделяемое в резисторе R за время Т, согласно закону Джоуля-Ленца

= , (2.4)

При постоянном токе количество теплоты, выделяемое за время Т

(2.6)

(2.7)

Подставив (2.7) в (2.6), получим: = ,

или: действующее значение синусоидального переменного тока

(2.8)

Аналогично, действующее значение синусоидального напряжения

(2.9)

Таким образом, действующие значения синусоидальных величин в раз меньше их амплитудных значений.

Электроизмерительные приборы всегда показывают действующие значения тока и напряжения. Зная их, всегда можно вычислить амплитудные значения. Так, например, если вольтметр показывает 220В синусоидального напряжения, то амплитуда такого напряжения равна 220 = 311 В.

Источник