Лекция III.
Ознакомившись с данной лекцией, студенты должны знать:
Цель преобразования электрических цепей.
Четко различать участки с последовательным и параллельным соединениями при рассмотрении смешанного соединения проводов.
Уметь преобразовывать соединение треугольник в эквивалентную звезду и обратно.
Уметь преобразовать источник напряжения в источник тока и обратно.
Преобразование схем электрических цепей.
Целью преобразования электрических цепей является их упрощение, это необходимо для простоты и удобства расчета.
Одним из основных видов преобразования электрических схем является преобразование схем со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов – это совокупность последовательных и параллельных соединений, которые и будут рассмотрены в начале данной лекции.
На рис. 3-1 изображена ветвь электрической цепи, в которой последовательно включены сопротивления R1, R2,…,Rn. Через все эти сопротивления проходит один и тот же ток I. Напряжения на отдельных участках цепи обозначим через U1, U2,…, Un.
Рис. 3-1 Последовательное соединение.
По ЗНК напряжение на ветви
Сумма сопротивлений всех участков данной ветви
Называется эквивалентным последовательным сопротивлением.
Поскольку напряжения, которые падают на отдельных сопротивлениях, пропорциональны этим сопротивлениям, можно сказать, что последовательно включенные сопротивления образуют «делитель напряжения». Понятие делителя напряжения широко используется в технике.
На рис. 3-2 изображена схема электрической цепи с двумя узлами, между которыми включено n параллельных ветвей с проводимостями G1, G2,…, Gn. Напряжение между узлами U, оно одинаково для всех ветвей.
Рис.3-2 Параллельное соединение (показать преобразованное).
По ЗТК общий то равен сумме токов отдельных ветвей:
Сумма проводимостей всех ветвей, соединенных параллельно
называется эквивалентной проводимостью.
В случае параллельного сопротивления двух ветвей (n=2) обычно пользуются выражениями, в которые входят сопротивления 
и 
.
Эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных ветвей равно:
. (3)
Поскольку общий ток делится на отдельные токи ветвей пропорционально проводимостям этих ветвей (или, что тоже самое, обратно пропорционально сопротивлениям этих ветвей), можно сказать, что параллельно включенные сопротивления образуют «делитель токов». Понятие делителя токов используется в технике.
Часто при использовании «ручного» расчета электрических цепей необходимо определить, как ток разделяется по отдельным ветвям параллельно соединенных ветвей.
Из формулы (2) следует, что токи ветвей, соединенных параллельно, пропорциональны проводимостям этих ветвей, т.е. токи делятся по ветвям пропорционально сопротивлениям этих ветвей, или, что тоже самое, обратно пропорционально сопротивлениям этих ветвей.
В случае двух параллельно соединенных сопротивления их общее сопротивление (2) равно:
, тогда суммарный ток I, протекающий по этому эквивалентному сопротивлению, создаст напряжение U, равное:
, чтобы найти ток I1 в сопротивлении R1, необходимо разделить выражение на R1 , а чтобы найти ток I2 в сопротивлении R2 найти разделить выражение на R2:
Полученные выражения для токов иногда называют «правилом плеч», которое гласит: ток делится между параллельно включенными сопротивлениями (в делителе токов) обратно пропорционально этим сопротивлениям.
(4)
На рис.3-3 показано смешанное соединение электрической цепи:
Рис.3-3 Смешанное соединение.
Эта схема легко приводится к одноконтурной. Сопротивления R5 и R6 включены параллельно, поэтому необходимо вычислить эквивалентное сопротивление данного участка по формуле
Для понимания полученного результата можно изобразить промежуточную схему (рис. 3-4).
Сопротивления R3, R4 и R / экв. соединены последовательно, и эквивалентное сопротивление участка c-e-f-d равно:
После этого этапа преобразований схема приобретает вид рис. 3-5.
Затем находим эквивалентное сопротивление участка c-d и суммируем его с сопротивлением R1. Общее эквивалентное сопротивление равно:
.
Полученное сопротивление эквивалентно сопротивлению (рис. 3-6) исходной схемы со смешанным соединением. Понятие “эквивалентно” означает, что напряжение U на входных зажимах и ток I входной ветви остаются неизменными на протяжении всех преобразований.
Преобразование треугольника в эквивалентную звезду.
Преобразованием треугольника в эквивалентную звезду называется такая замена части цепи, соединенной по схеме треугольником, цепью, соединенной по схеме звезды, при которой токи и напряжения в остальной части цепи сохраняются неизменными.
Т.е., под эквивалентностью треугольника и звезды понимается то, что при одинаковых напряжениях между одноименными зажимами токи, входящие в одноименные выводы, одинаковы.
Рис. 3-7. Преобразование треугольника в звезду.
Пусть R12; R23; R31— сопротивления сторон треугольника;
I12; I23; I31— токи в ветвях треугольника;
I1; I2; I3— токи, подходящие к зажимам 1, 2, 3.
Выразим токи в ветвях треугольника через подходящие токи I1, I2, I3.
По закону напряжений Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре треугольника равна нулю:
По закону токов Кирхгофа для узлов 1 и 2
При решении этих уравнений относительно I12 получим:
Напряжение между точками 1 и 2 схемы треугольника:
Напряжение между этими же точками схемы звезды равно:
Т.к. речь идет об эквивалентном преобразовании, то необходимо равенство напряжений между данными точками двух схем, т.е.
(5)
Третье выражение получено в результате круговой замены индексов.
Исходя из выражения (5) формулируется следующее правило:
Сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений сторон треугольника, прилегающих к этому лучу, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.
Преобразование звезды в эквивалентный треугольник.
При переходе от звезды к треугольнику известными являются сопротивления R1, R2, R3 лучей звезды. Значения сопротивлений треугольника определяются в результате совместного решения уравнений (5):
(6)
Сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.
Источник