Симметричная трехфазная электрическая цепь при соединении звездой

3.3 Соединение звездой. Трехпроводная система трехфазного тока.

В четырехпроводной системе трехфазного тока, включенной по схеме звезда, при симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе равен нулю. Следовательно, в этом случае от нейтрального провода можно отказаться, и четырехпроводная система при этом превращается в трехпроводную систему трехфазного тока (рис. 3.7.)

Рис. 3.7 Трехпроводная трехфазная система «звезда».

Топографическая векторная диаграмма, токов и напряжений в трехпроводной системе «звезда» при симметричной нагрузке аналогична соответствующей диаграмме четырехпроводной системы (рис. 3.6.а).

При несимметричной нагрузке в трехфазной системе действующие значения токов I_А, I_В, I_C не будут равны между собой, однако, в соответствии с первым законом Кирхгофа, их геометрическая сумма должна быть равна нулю. Поэтому токи в этом случае не будут представлять собой симметричную трехфазную систему. Следовательно, изменятся и фазные напряжения на нагрузке, т.е. симметричные фазные напряжения станут несимметричными, их действующие значения не будут равны между собой, а сдвиги фаз между ними будут отличаться от 120 0 . Между нулевыми точками генератора N и нагрузки n появится напряжение U_Nn, называемое напряжением смещения.

Топографическая векторная диаграмма трехпроводной системы «звезда» при несимметричной активной нагрузке представлена ни рис. 3.8.

Рис.3.8. Топографическая векторная диаграмма трехпроводной трехфазной системы «звезда» при несимметричной активной нагрузке

Анализ векторной диаграммы позволяет сделать следующие выводы:

Напряжения между линейными проводами остаются равными по величине (U_AB = U_BC = U_CA) и взаимно сдвинутыми по фазе на 120 о как при симметричной, так и при несимметричной нагрузке фаз. Фазные же напряжения в трехпроводной сети одинаковы по величине только в случае симметричной нагрузки фаз. При нарушении симметричности нагрузки напряжения между линейными проводами и нулевой точкой, т.е. фазные напряжения потребителей U_А, U_В и U_C будут неодинаковы. Поэтому соотношение U_Л=U_ф в трехпроводной сети справедливо только при симметричной нагрузке фаз.

Электрические сети выполняются трехпроводными только для питания таких потребителей, которые обеспечивают симметричную нагрузку фаз (например, электрические двигатели).

3.4. Соединение по схеме «треугольник».

Если конец первой фазы трехфазного генератора соединить с началом второй, конец второй фазы с началом третьей, конец третьей фазы с началом первой, то получится соединение треугольником. По такому принципу могут быть соединены и сопротивления нагрузки. Одноименные вершины фаз генератора и фаз нагрузки соединяются между собой линейными проводами (рис. 3.9)

По сопротивлениям нагрузки проходят фазные токи I_AB, I_BC и I_СА, а по линейным проводам линейные I_A, I_B и I_C. Принятые положительные направления фазных и линейных токов обозначены стрелками. Напряжения, приложенные к сопротивлениям нагрузки Z_AB, Z_BC и Z_СА называются фазными напряжениями.

Таким образом, при соединении потребителей трехфазного тока треугольником фазные напряжения равны линейным U_ф= U_Л

Рис.3.9 Система трехфазного тока при соединении треугольником.

По первому закону Кирхгофа для узловых точек А, В, и С имеем

В действующих значениях токов система (3.4) справедлива в векторной форме:

_A = _AB – _CA

_B = _BC – _AB (3.5)

_C = _CA – _BC

Из системы уравнений (3.5) следует:

1. Каждый линейный ток в трехфазной цепи при соединении треугольником равен геометрической разности двух прилегающих к узловой точке фазных токов;

2. При любых значениях фазных токов геометрическая сумма линейных токов равна нулю, как при симметричной, так и при несимметричной нагрузке.

На основании системы уравнений (3.5) построим векторную диаграмму фазных и линейных токов при соединении треугольником при симметричной нагрузке (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Векторная диаграмма трехпроводной системы «треугольник» при симметричной нагрузке.

Из треугольника OEМ найдем связь между фазными и линейными токами, применив рассуждения, аналогичные рассмотренным для напряжений при соединении звездой (см. раздел 3.2), получаем

I_Л = 2 I_ф cos30 0 =.

Таким образом, при симметричной нагрузке системы, соединенной в треугольник, линейные токи больше фазных в раз, а линейные напряжения равны фазным.

Соединение треугольником применяется только для питания потребителей, обеспечивающих симметричную нагрузку.

Источник

4.3. Трехфазные цепи при соединении приемников звездой

Соединение звездой при симметричной нагрузке. При соединении приемников звездой концы фаз приемника соединены в общий узел N’. При этом концы всех фаз генератора соединены в общий узел N, а начала фаз — с нагрузкой — звездой сопротивлений.

Если узлы N и N’ соединить проводом, называемым нейтральным, с сопротивлением Z_N, то получим четырехпроводную цепь (рис. 4.7, а). Сопротивления проводов, связывающих источник с нагрузкой, можно учесть в сопротивлениях нагрузки Z_a ,Z_b ,Z_c.

Так как при соединении звездой фазы генератора соединены последовательно с фазами нагрузки, линейные токи одновременно являются и фазными токами как в фазах генератора, так и в фазах нагрузки:

(4.8)

За условные положительные направления линейных токов I_А, I_В, I_С принимают направления от источника к нагрузке, а за положительное направление тока в нейтральном проводе — от нагрузки к источнику.

Согласно первому закону Кирхгофа, ток в нейтральном проводе

(4.9)

При симметричной нагрузке поэтому токи в фазах приемника равны по значению и сдвинуты по фазе на один и тот же угол относительно соответствующих напряжений, т. е. φ_A = φ_B = φ_C = φ. Векторная диаграмма напряжений и токов для симметрич­ной нагрузки представлена на рис. 4.7, б. Из диаграммы видно, что ток в нейтральном проводе равен нулю (I_N = 0), так как . Таким образом, если нагрузка равномерная, то необходимость в нейтраль­ном проводе отпадает. Трехфазная цепь без нейтрального провода яв­ляется трехпроводной.

Рассмотрим четырехпроводную цепь (рис. 4.7, а) более подробно. Найдем для этой цепи напряжение между нейтральными точками N и N’, или смещение нейтрали, по методу двух узлов:

(4.10)

где — комплексы проводимостей фаз приемника;Y_N = 1/Z_N -комплекс проводимости нейтрального провода. Так как при симметрич­ной нагрузке Ya = Yb = Yc, то (4.10) можно переписать в виде

(4.11)

При симметричной системе напряжений имеем

а значит, согласно (4.11), U_NN =0. Так как ток в нейтральном проводе то при симметричной нагрузкеI_N = 0. Следовательно, еще раз можно подчеркнуть, что при симметрич­ной нагрузке напряжение между нейтральными точками N и N’ и ток в нейтральном проводе равны нулю.

Согласно второму закону Кирхгофа, для контуров (см. рис. 4.7, а) NAaN’N, NBbN’N, NCcN’N находим

(4.12) Так как при симметричной нагрузке U_N’N =0, то из (4.12) следует, что

Итак, зная фазные напряжения и сопротивления нагрузки, находим токи в каждой фазе приемника:

(4-13)

Так как при симметричной нагрузке токи в фазах приемника равны, то достаточно определить ток только в одной из фаз трехфазной цепи.

Соединение звездой при несимметричной нагрузке. При несимметрич­ной нагрузке сопротивления приемника не одинаковы, т. е. Z_a ≠ Z_b ≠ Z_c. Для несимметричных нагрузок применяют четырехпроводные цепи, так как между точками N и N’ появляется напряжение U_N’N и напряжения на фазах нагрузки различны. При этом нарушается соотношение между фазными и линейными напряжениями причем на одних фазах нагрузки напряжение становится большим, а на других — меньшим, чем

Наличие нейтрального провода в цепи с несимметричной нагрузкой позволяет выравнивать напряжение на фазах приемника и поддержи­вать их неизменными, равными фазным напряжениям источника U_л /, т. е. нейтральный провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника. Иначе говоря, при наличии нейтрального провода, когда Z_N = 0, даже при несимметричной нагрузке фазные напря­жения приемника равны друг другу и соблюдается соотношение между фазными и линейными напряжениями .

Если нагрузка несимметрична (Z_a ≠ Z_b ≠ Z_c) и нейтральный провод имеет конечное сопротивление Z_N, то напряжение U_N’N между нейтраль­ными точками N’ и N определяется по формуле (4.10), а напряжения на фазах нагрузки — по формулам (4.12). Тогда токи в схеме рис. 4.7, а

Если напряжения источника U_A, U_B, U_C образуют симметричную систему, то при отсутствии нейтрального провода и при U_N’N ≠ 0 напря­жения на фазе нагрузки U_a, U_b и U_c несимметричны, что видно из век­торной топографической диаграммы, приведенной на рис. 4.8. Особен­ностью этой диаграммы является то, что каждой точке электрической цепи А, В, С, N и N’ соответствует определенная точка на диаграмме.

При этом расположение этих точек на диаграмме должно быть таким, чтобы отрезок, соединяющий любые точки на диаграмме, по длине и фазе определял напряжение между соответствующими точками цепи.

Напряжения на фазах нагрузки тем больше отличаются друг от друга, чем больше напряжение U_N‘N. Из выражения (4.10) и из топографи­ческой диаграммы (рис. 4.8) следует, что напряжение между нейтраль­ными точками U_N‘N будет изменяться при изменении нагрузки в любой фазе, при этом с изменением U_N‘N будет изменяться напряжение всех фаз приемника.

Чтобы напряжения на фазах нагрузки были одинаковыми, необхо­димо иметь U_N‘N = 0, что может быть получено двумя способами. Во-первых, выравниванием нагрузки в фазах приемника, когда Y_A = Y_B = Y_C = = Y_ф, а значит, согласно (4.10),

так как

Во-вторых, если имеется нейтральный провод с сопротивлением Z_N’N = 0 (или Y_N’N = ∞ ), то напряжение U_N‘N, согласно (4.10), также при­нимает нулевое значение независимо от нагрузки фаз. Для этого случая построена векторная диаграмма (рис. 4.9). При обрыве нейтрального провода (Z_N = ∞) и несимметричной на­грузке напряжение U_N‘N станет максималь­ным.

В фазах нагрузки могут возникнуть перенапряжения, поэтому в нейтральный провод плавкий предохранитель не ставят. Приемники электрической энергии мож­но подразделить на трехфазные и одно­фазные. К числу трехфазных относятся трехфазные электрические двигатели, имею­щие симметричные обмотки и обеспечиваю­щие равномерную нагрузку фаз. Такие электродвигатели включают в трехфаз­ную цепь звездой без нейтрального провода Однофазные приемники, к которым относятся электрические лампы, нагревательные приборы и ряд других приемников, всегда подключают к четырехпроводной цепи. Эти приемники подключаются на фазное напряжение, которое в раз меньше линейного напряжения сети.

Пример 4.1. К трехфазной линии напряжением Uл=380 В подключен несимметричный трехфазный приемник, соединенный звездой с нейтральным проводом (рис. а)). Активные и реактивные сопротивления фаз приемника соответственно равны: R_a = 19 Ом, X_a = 0 Ом, R_b= 8 Ом, Х_b = 6 Ом, R_с = 24 Ом, Х_c = 18 Ом. Сопротивлениями проводов можно пренебречь. Определить ток в фазах приемника, в линейных проводах и в нейтральном проводе.

Решение. Токи в линейных проводах и фазах приемника одинаковы и рассчитываются по закону Ома:

—

Комплексные фазные напряжения:

Комплексные сопротивления фаз:

Токи в фазах приемника и проводах линии:

Ток в нейтральном проводе

Для построения топографической диаграммы напряжений выберем масштаб напряжений. В выбранном масштабе строим топографическую диаграмму напряжений. При построении векторной диаграммы токов учтем, что токи в фазах сдвинуты относительно фазных напряжений на разные углы сдвига фаз: φ_а = 0 — нагрузка чисто активная (Х=0), φ_b = 36°52′ — нагрузка активно-индуктивная, φ_c = — 36 0 52’— нагрузка активно-емкостная.

Действующее значение тока в нейтральном проводе равно 16,14 А, а его начальная фаза ψ_N = 201 0 . На диаграмме (рис. б) строим векто­ры токов

с учетом углов сдвига фаз. Вектор тока в нейтральном прово­де можно построить двумя способами: или как сумму векторов или непосредственно отложить вектор I_N в соответствии с расчетными данными.

Пример 4.2. К трехпроводной трехфазной сети с линейным напряже­нием Uл=220 В подключен приемник, фазы которого соединены звез­дой, (рис.а)). Заданы сопротивления R_а = 10 Ом, R_b = 5 Ом, Х_b = 9,66 Ом, Х_с = 10 Ом. Определить токи в ветвях, построить совмещенную топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Решение. Фазные напряжения источника образуют симметричную систему

Комплексные сопротивления фаз приемника:

их комплексные подводимости

Фазные напряжения приемника:

Фазные токи и токи в линии:

Для построения векторных диаграмм выбираем масштабы напря­жения и тока. Строим симметричную топографическую диаграмму на­пряжений генератора ( рис. б)) и вектор смещения нейтрали U_nN = 84e j 205 ° В. Векторы, соединяющие точку n и точки а, b, с, соот­ветственно будут векторами фазных напряжений приемника U_a, U_b, U_c. Из точки n строим векторы токов I_a, I_b, I_с учетом сдвига фаз относи­тельно напряжений φ_a= 0°, φ_b= 60°, φ_c= — 90°.

Топографическая диаграмма напряжений показывает, что из-за смещения нейтрали симметрия фазных напряжений приемника наруша­ется: U_a = 206 В вместо U_ф = 127 В; U_c = 145,6 В; U_b=75,5 В.

Источник