Резистивные элементы цепях синусоидального тока

Законы Кирхгофа для цепи синусоидального тока

Законы Кирхгофа, рассмотренные ранее для цепей постоянного тока, справедливы и для мгновенных значений синусоидального тока.

Первый закон Кирхгофаприменяется к узлам электрической цепи и гласит:алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле электрической цепи равна нулю, т.е.

i_k = 0,

где i_k— токk-й ветви, присоединенной к данному узлу;n— число ветвей, подключенных к данному узлу.

Токи, направленные к узлу, записываются со знаком “+”, а направленные от узла — со знаком “–” (или наоборот).

Второй закон Кирхгофаприменяется к контурам электрической цепи. Контур — любой путь вдоль ветвей электрической цепи, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же точке. Второй закон Кирхгофа формулируется следующим образом:алгебраическая сумма мгновенных значений падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС, действующих в этом контуре:

u_k = e_k,

где u_k— напряжение на к-м сопротивлении контура;e_k — к-я ЭДС, входящая в данный контур;n — число сопротивлений в контуре;m — число ЭДС в контуре.

Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа направление обхода контура выбирается произвольно. ЭДС и падения напряжения, направления которых совпадают с направлением обхода контура, считаются положительными.

Законы Кирхгофамогут быть представлены в векторной или комплексной формах:

_k = 0, _k = _k,

Расчет электрических цепейпо законам Кирхгофа в цепях синусоидального тока проводится в том же порядке, что и для цепей постоянного тока.

Резистивный элемент в цепи синусоидального тока

Рассмотрим цепь, содержащую только резистивный элемент (резистор) с сопротивлением R. Мгновенное значение тока в цепи с резистором (рис. 3,а) определяется по закону Ома:

если u_R = U_m sin t, получимi_R= (U_m /R) sint = I_m sin t, гдеI_m= U_m/R, разделив левую и правую части на, получим закон Ома для цепи с резистором, выраженный через действующие значения напряжения и тока в нем:

Сравнивая выражения для тока i_R и напряженияu_Rможно сделать вывод о том, чтона резистивном элементе фазы напряжения и тока совпадают. Для цепи с резистором закон Ома в комплексной форме имеет вид:

, .

Мгновенная мощность произвольного участка цепи может быть определена как произведение мгновенных значений напряжения и тока этого участка и представляет собой скорость изменения энергии в данный момент времени. Учитывая отсутствие фазового сдвига между напряжением u_Rи токомi_Rна резистивном элементе, а также принимая значения начальных фаз напряжения и тока равными нулю, получим для мгновенной мощности резистивного элементаp_R:

Мгновенная мощность p_Rсодержит две составляющие: постоянную, равную произведению действующих значений напряжения и тока, и переменную, частота изменения которой в два раза больше, чем частота напряжения (или тока). Мгновенная мощность резистора никогда не принимает отрицательных значений. Физически это означает, что имеет место только односторонняя передача энергии: от источника энергии к резистору. В резисторе энергия не накапливается, а преобразуется в другие виды энергии (например, в тепловую).

Векторная диаграмма цепи (рис. 3, а) изображена на рис. 3,б, а графики мгновенных значений токаi_R, напряженияu_Rи мощностиp_Rрезистивного элемента представлены на рис. 3,в.

Источник

Цепь с резистивным элементом

Р езистором называется элемент электрической цепи, предназначенный для ограничения величины тока, и параметром которого является электрическое сопротивление (l – длина проводника, S – площадь его поперечного сечения, γ – удельная электропроводность материала [2], из которого выполнен резистор). В резисторе (резистивном элементе) происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую.

На электрических схемах резистивные элементы показываются в виде прямоугольников (рис. 13).

В цепях постоянного тока электрическое сопротивление обычно обозначают большой буквой R и иногда называют омическим в отличие от цепей переменного тока, где сопротивление резистора r называют активным. Это объясняется тем, что с увеличением частоты тока ƒ активное сопротивление r становится больше омического R из-за поверхностного эффекта, причины появления которого будут рассмотрены в следующем разделе.

На рисунке 13 показана простейшая замкнутая цепь однофазного синусоидального тока, состоящая из идеального источника э.д.с. e и резистивного элемента с активным сопротивлением r. Идеальным называется такой источник, у которого отсутствует внутреннее сопротивление [2], а, следовательно, и внутреннее падение напряжения, что позволяет считать справедливым равенство e = u, где u – выходное напряжение источника, подаваемое на вход рассматриваемой цепи. Поэтому при формулировании второго закона Кирхгофа напряжение u, подаваемое на входные зажимы цепи, должно рассматриваться в качестве э.д.с.

В дальнейшем, показанная пунктиром на рисунке 13 замыкающая часть схемы с идеальным источником э.д.с., как правило, будет опускаться, но всегда должна предполагаться существующей.

Предположим, что напряжение u на входе цепи изменяться по закону

то есть начальная фаза синусоиды напряжения равна нулю (ψ_U = 0), и на векторной диаграмме (рис. 14а) вектор амплитуды напряжения U_m расположен так, что при его вращении синусоида напряжения (9) в момент времени t = 0 проходит через нулевое значение в область положительных значений (рис. 14б). Поскольку закон Ома, сформулированный для цепей постоянного тока [2], справедлив для мгновенных значений, то можно с учетом равенства (9) записать

где – амплитуда синусоиды тока.

Сравнивая правые части равенств (9) и (10) можно утверждать, что напряжение и ток в рассматриваемой цепи совпадают по фазе, поскольку их синусоиды одновременно проходят фазы положительных и отрицательных амплитуд, нулевых значений и т.п.

На рисунке 14а показана векторная диаграмма амплитудных значений напряжения U_m и тока I_m для момента времени t = 0, а на рисунке 14б – развертка соответствующих синусоид в зависимости от времени t и фазового угла ωt. Равенство

представляет собой закон Ома для амплитудных значений. Разделив обе части этого равенства на , получим выражение закона Ома для действующих (среднеквадратичных за период Т) значений тока и напряжения

Введем понятие о мгновенной и средней за период (активной) мощности.

гновенной мощностью р называется произведение мгновенных значений напряжения u и тока i на входе цепи.

Из выражения (13) следует, что мгновенная мощность пульсирует с двойной (по отношению к частоте сети) частотой 2ω относительно среднего значения UI, оставаясь все время положительной, как это следует из графика (рис. 14в).

Средней за период (активной) мощностью называется выражение

то есть средняя (активная) мощность равна произведению действующих значений напряжения U и тока I.

Таким образом, в цепи с резистивным элементом r:

Напряжение и ток совпадают по фазе.

Закон Ома справедлив для мгновенных, амплитудных и действующих значений напряжения и тока.

Мгновенная мощность пульсирует с двойной частотой относительно среднего значения P = UI, оставаясь положительной. Это означает, что электрическая энергия все время поступает из питающей сети и необратимо преобразуется в тепловую в резисторе с сопротивлением r. Активная мощность .

Источник