примеры решений задач / 2.2 Трехфазные цепи / 1.3.2 Решение типовых задач
Примеры решения типовых задач
Задача 1.3.1 Трехфазный асинхронный двигатель включен в сеть 380 В по схеме «звезда». Параметры обмоток следующие: Rф = 2 Ом, Хф = 8 Ом.
Требуется: изобразить схему включения двигателя в сеть; определить фазные и линейные токи; определить потребляемую активную мощность; построить векторную диаграмму токов и напряжений; рассмотреть два аварийных режима – обрыв и короткое замыкание фазы А.
Т
рехфазный асинхронный двигатель является симметричной активно-индуктивной нагрузкой, поэтому включается в сеть по схеме «звезда» без нейтрального провода. Его схема замещения представлена на рис. 1.3.8
Номинальное напряжение сети является линейным напряжением, т. е. 
, тогда фазное напряжение
Поскольку нагрузка симметричная, то расчет можно проводить для одной фазы.
Полное сопротивление фазы
.
Для схемы «звезда» линейный ток 
. Потребляемая активная мощность
г
де — фазовый угол,
.
Векторная диаграмма токов и напряжений показана на рис. 1.3.9. Для построения векторной диаграммы необходимо выбрать масштабы напряжений 
и токов 
.
Рассмотрим аварийный режим работы– обрыв фазы А (рис.1.3.10).
В этом случае трехфазная цепь превращается в однофазную 
, причем фазы b и с оказываются включенными последовательно на линейное напряжение 
, т. е. на каждую из этих фаз падает напряжение 
.
Как видно из расчета, потребляемая мощность снизилась почти в два раза.
Если обрыв фазы произошел внутри самого двигателя (обрыв обмотки), то эта обмотка оказывается под повышенным напряжением 
, что видно из векторной диаграммы (рис.1.3.11). Неповрежденные обмотки находятся под пониженным напряжением, что не опасно для них.
Рассмотрим аварийный режим работы – короткое замыкание фазы «а» (рис. 1.3.12, а, б).
При коротком замыкании фазы нейтральная точка оказывается связана с питающей точкой А, значит, неповрежденные фазы b и с окажутся включенными на линейное напряжение 
, что видно из векторной диаграммы.
Токи в неповрежденных фазах
.
Ток в фазе а равен геометрической сумме токов 
и 
( по векторной диаграмме составляет примерно 69 А).
Задача 1.3.2. Три однофазных приемника включены в трехфазную сеть с напряжением 380 В по схеме “звезда с нейтральным проводом”. Сопротивления приемников: 
Ом; 
Ом; 
Ом.
Требуется изобразить схему включения приемников; определить токи в проводах сети; построить векторную диаграмму токов и напряжений; вычислить активную, реактивную и полную (кажущуюся) мощности.
Схема включения приемников принципиальная и расчетная представлены на рис. 1.3.13, а,б.
Наличие нейтрального провода обеспечивает симметричную систему фазных напряжений на приемниках. Напряжение сети – линейное напряжение
В.
Система фазных напряжений в комплексной форме
Для схемы “звезда“ фазные и линейные токи равны между собой и составляют
Ток в нейтральном проводе
При построении векторных диаграмм фазные и линейные напряжения и токи строятся относительно комплексных осей откладываются с учетом начальных фаз. Ток в нейтральном проводе – это результат геометрического сложения векторов фазных токов, и его расположение и длина должны соответствовать расчетному значению 
(рис. 1.3.13).
Задача 1.3.3. К трехфазной системе напряжением 380 В подключены три одинаковых приемника (RФ = 3 Ом, XLФ = 4 Ом), соединенные по схеме “треугольник“ (рис.1.3.14). Определить токи в фазных и линейных проводах и потребляемую мощность (активную, реактивную, полную). Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Рассмотреть аварийные режимы – обрывы фазного и линейных проводов.
Нагрузка фаз одинакова, поэтому расчет проводится для одной фазы.
Напряжение сети — это линейное напряжение, в схеме “треугольник “ Uф = Uл = 380 В.
Комплексное сопротивление фазы:
где
линейные токи (только для симметричной нагрузки):
Активная мощность, потребляемая нагрузкой:
Векторная диаграмма может быть построена в двух вариантах в зависимости от изображения системы напряжений (рис.1.3.15 ). Предварительно выбирают масштабы тока и напряжения.
Фазные токи отстают от соответствующих напряжений на угол Ф = 53. Линейные токи находятся из соотношений:
Рассмотрим обрыв фазы “аb” (рис.1.3.16,а). Определим токи в неповрежденных фазах и в линии, построим векторную диаграмму токов и напряжений.
Рис. 1.3.16
Токи в неповрежденных фазах не изменяются, так как не изменяются напряжения:
Линейные токи по первому закону Кирхгофа (с учетом 
):
.
Из этих уравнений следует, что действующие значения линейных токов 
и 
равны действующим значениям фазных токов 
, а у линейного тока действующее значение не изменяется 
Векторная диаграмма токов и напряжений строится аналогично симметричному режиму и приведена на рис.1.3.16,б.
Рассмотрим обрыв линейного провода А (рис.1.3.17,а). Определим фазные и линейные токи и построим векторную диаграмму токов и напряжений.
К приемнику подводится только напряжение
Сопротивление фазы “bс” включено на полное напряжение 
, а равные сопротивления фаз “аb” и ”са” включены последовательно друг с другом, причем к каждому из них подведена половина напряжения 
.
Сеть становится аналогичной однофазной с двумя параллельными ветвями:
Ток фазы “bс” не изменяется:
линейные токи ( при 
) :
Векторная диаграмма токов и напряжений представлена на рис. 1.3.17,б.
Задача 1.3.4 В трехфазную сеть напряжением 380 В, частотой f = 50 Гц включен трехфазный асинхронный двигатель по схеме “треугольник“. Потребляемая активная мощность P = 1,44 кВт, коэффициент мощности cos = 0,85. Определить потребляемый двигателем ток, токи в обмотках двигателя, активное и индуктивное сопротивления, индуктивность катушек, полную и реактивную потребляемые мощности.
Двигатель является симметричной нагрузкой, поэтому расчет ведем на фазу.
Сеть маркируется линейным напряжением, поэтому UЛ = 380 В.
При соединении по схеме “треугольник“ UЛ = UФ= 380 В.
Активная мощность, потребляемая нагрузкой,
отсюда фазный ток, протекающий в обмотках двигателя:
Потребляемые двигателем токи — линейные токи:
Полное сопротивление фазы обмотки двигателя:
Ом,
Ом,
Ом.
Индуктивность обмотки определяется из выражения
,
Гн.
Полная потребляемая мощность:
кВА;
Задача 7.3 К трехпроводной трехфазной линии с напряжением 380 В подключены три однофазных приемника с параметрами: R1= 5 Ом, R2= 6 Ом, XL2= 8 Ом, R3=4 Ом, XC3= 3 Ом. Определить токи в фазах и линейных проводах, активную, реактивную и полную мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Однофазные приемники к трехпроводной сети подключаются по схеме “треугольник“ (рис.1.3.18).
Нагрузка несимметричная, ток каждой фазы нужно считать отдельно. Исходная система напряжений:
Комплексные сопротивления фаз:
Ом;
Рис. 1.3.18
Ом;
Ом;
Сумма линейных токов должна равняться нулю, и действительно,
здесь знак “минус” показывает, что преобладает емкостная нагрузка.
Векторные диаграммы токов и напряжений в двух вариантах (для разного представления исходной системы напряжений) приведены на рис.1.3.19.
Предварительно выбирают масштабы тока и напряжения. Векторы фазных токов 
откладывают относительно векторов соответствующих напряжений под углами 
, 
, 
или в соответствии с полученными их начальными фазами 
; 
; 
. Затем по первому закону Кирхгофа строят векторы линейных токов 
, длина и направление которых должны соответствовать расчетным данным.
Рис.1.3.19 Векторные диаграммы токов и напряжений несимметричной нагрузки
Источник