Расчет цепей переменного тока

Использование комплексных чисел при расчете электрических цепей переменного тока, которые заменяют графические действия над векторами алгебраическими действиями над комплексными числами. Описание аналогии записей уравнений по законам Ома и Кирхгофа.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В практике расчета цепей переменного тока широко используются комплексные числа.

Комплексными числами и векторами на комплексной плоскости изображаются изменяющиеся синусоидально ЭДС, ток и напряжение, а также полные сопротивление и проводимость, полная мощность и некоторые другие параметры цепи. электрический ом кирхгоф ток

Использование комплексных чисел при расчете электрических цепей переменного тока позволяет заменить графические действия над векторами алгебраическими действиями над комплексными числами. Кроме того, при использовании комплексных чисел возникает полная аналогия записей уравнений по законам Ома и Кирхгофа и методов расчета цепей переменного тока с цепями постоянного тока.

В цепях постоянного тока в уравнения входят действительные значения Е, U, I, r, в цепях переменного тока — комплексные значения U, E, I, Z.

Для расчета и анализа разветвленных электрических цепей с несколькими источниками используются различные методы.

Метод эквивалентных преобразований

При расчете методом эквивалентных преобразований используются правила взаимных преобразований источников тока и ЭДС и замены последовательно или параллельно включенных сопротивлений эквивалентными, что позволяет получить простую схему электрической цепи, расчет которой производится с применением закона Ома. Метод законов Кирхгофа

Используя первый и второй законы Кирхгофа, можно для любой разветвленной электрической цепи составить необходимое число независимых уравнений и путем их совместного решения найти все подлежащие определению величины.

Перед составлением уравнений необходимо показать на схеме положительные направления токов. Сначала следует составить уравнения по первому закону Кирхгофа, максимальное число которых должно быть на единицу меньше числа узловых точек. Недостающие уравнения следует составить по второму закону Кирхгофа.

Метод контурных токов дает возможность упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом законов Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений, которые приходится решать совместно.

Любая разветвленная электрическая цепь состоит из нескольких смежных контуров. В каждом контуре имеется некоторый контурный ток, одинаковый для всех элементов контура. Положительные направления контурных токов могут быть выбраны произвольно, через них легко определять и токи всех ветвей.

Токи несмежных ветвей следует определять так: если выбрать положительное направление тока несмежной ветви совпадающим с контурным током, то ток ветви должен быть равен контурному току; если же направить ток несмежной ветви против контурного тока, то он должен быть равен контурному току со знаком «-».

Контурные токи могут быть определены путем совместного решения системы уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, в которые вместо падений напряжения от токов ветвей следует ввести падения напряжения от контурных токов с соответствующими знаками.

Метод узлового напряжения

Метод узлового напряжения дает возможность достаточно просто произвести анализ и расчет электрической цепи, содержащей несколько параллельно соединенных активных и пассивных ветвей.

Формула узлового напряжения в общем случае имеет вид

Со знаком « + » в уравнение должны входить ЭДС, направленные между точками а и b встречно напряжению и со знаком « — » напряжения ветвей.

Затем находим токи по закону Ома.

Метод наложения основан на том, что в линейных электрических цепях ток любой ветви может быть определен как алгебраическая сумма токов от каждого источника в отдельности.

Расчет электрических цепей методом наложения производят в таком порядке. Из электрической цепи удаляют все источники ЭДС и напряжения, кроме одного. Сохранив в электрической цепи все резистивные элементы, в том числе и внутренние сопротивления источников, производят расчет электрической цепи. Внутренние сопротивления источников с указанными напряжениями полагают равными нулю. Подобным образом поступают столько раз, сколько имеется в цепи источников.

Результирующий ток каждой ветви определяют как алгебраическую сумму токов от всех источников. Для того чтобы результирующие токи совпадали с действительными направлениями, целесообразно выбирать положительные направления результирующих токов после определения токов от всех источников.

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора дает возможность упростить анализ и расчет электрических цепей в том случае, когда требуется определить ток лишь одной ветви:

В соответствии с уравнением электрическая цепь может быть заменена эквивалентной цепью, в которой и следует рассматривать как ЭДС и внутреннее сопротивление некоторого эквивалентного генератора. В результате возможности такой замены и возникло название изложенного метода.

Рассмотрим более подробно

Теоретическая база метода контурных токов — 2-ой закон Кирхгофа в сочетании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает «свой» контурный ток Ik, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их алгебраические суммы. В качестве неизвестных величин, подлежащих определению, в данном методе выступают контурные токи.

Общее число неизвестных составляет m (n 1).

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 1. Параметры отдельных элементов схемы заданы.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями контурных токов в контурах-ячейках схемы(Iк1, Iк2, Iк3). Контуры-ячейки следует выбирать так, чтобы они не включали в себя ветви с источниками тока. Ветви с источниками тока J образуют свои контуры с заданными токами (J1, J2).

2) Составляются m (n 1) уравнений по 2-му закону Кирхгофа для выбранных контуров ячеек с контурными токами Iк1, Iк2, Iк3. В уравнениях учитываются падения напряжений как от собственного контурного тока, так и от смежных контурных токов.

Ниже приведена система контурных уравнений для схемы рис. 1:

В обобщенной форме система контурных уравнений имеет вид:

Ik1R11 Ik2R12 Ik3R13 K IknR1n E₁₁Ik1R21 Ik2R22 Ik3R23 K IknR2n E₂₂

Ik1R31 Ik2R32 Ik3R33 K IknR3n E₃₃

Ik1Rn1 Ik2Rn2 Ik3Rn3 K IknRnn E_nn

Здесь введены следующие обозначения:

R₁₁= R₁ + R₄; R₂₂ = R₃ + R₄ + R₅ и т. д. — собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений всех элементов контура;

R₁₂ = R₂₁ = R₄; R₂₃ = R₃₂ = R₅ и т. д. — взаимные сопротивления между двумя смежными контурами, они положительны — если контурные токи в ветви совпадают, и отрицательны — если контурные токи в ветви направлены встречно, и всегда отрицательны — если все контурные токи ориентированы одинаково (например, по часовой стрелке), равны нулю — если контуры не имеют общей ветви, например, R₁₃ = R₃₁ = 0;

E₁₁ = E₁ + J₁R₄, E₂₂ = E₂, E₃₃ = E₃ + J₂R₃ и т. д. — контурные ЭДС, равные алгебраической сумме слагаемых E_nn = E + JR от всех источников контура. Система контурных уравнений в матричной форме:

R21 R22 R KR R31 R32 R KR

матрица контурных сопротивлений,

3) Система контурных уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения систем линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами, в результате чего определяются неизвестные контурные токи I_к1, I_к2, I_к3.

4) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы (рис. 1) (I₁, I₂, I₃, I₄, I₅). Токи ветвей определяются по принципу наложения как алгебраические суммы контурных токов, протекающих в данной ветви.

5) При необходимости определяются напряжения на отдельных элементах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и мощности приемников энергии (P_k = I_k 2 R_k).

Для расчета сложных цепей гармонического тока можно применять все методы расчета цепей постоянного тока.

В практике расчета цепей переменного тока широко используются комплексные числа.

Запишем комплексное число в виде

Допустим, что вектор комплексного числа I_m вращается с постоянной угловой частотой щ и угол б = щt + ш. Тогда

Слагаемое I_mcos (щt + ш) представляет собой действительную часть комплексного числа и обозначается

Слагаемое I_msin (щt + ш) есть коэффициент при мнимой части комплексного числа и обозначается

Легко видеть, что коэффициент при мнимой части комплексного числа представляет собой выражение мгновенного значения синусоидального тока

и является проекцией вращающегося вектора I_m на мнимую ось комплексной плоскости.

Синусоидально изменяющиеся по времени величины изображаются на комплексной плоскости для момента времени t = 0. Тогда комплексная амплитуда I_m записывается в виде

где I_m— комплексная амплитуда; I_m— ее модуль, а ш — угол между вектором I_m, и действительной осью. Таким образом, комплексная амплитуда изображает синусоидальный ток на комплексной плоскости для момента времени t = 0. Допустим, что в электрической цепи мгновенные значения напряжений и тока имеют выражения

Комплексные амплитуды напряжения и тока должны быть записаны в виде

U m = U m ejш 1 ; I m = I m ejш 2 ;

Где U_mиI_m— соответственно модули комплексных амплитуд напряжений и тока; ш₁и ш₂— начальные фазы U_mиI_m относительно действительной оси (углы начальных фаз).

Обычно принято выражать в виде комплексных чисел не амплитуды, а действующие значения напряжений и токов:

2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Методом контурных токов рассчитать мгновенные токи в ветвях и напряжения на элементах заданной сложной линейной электрической цепи. Проверку правильности расчетов произвести на основе выполнения условия баланса мощностей. Построить векторные и временные диаграммы рассчитанных токов и напряжений. Частоту колебаний ЭДС принять равной f = 1200 Гц.

Источник