Расчеты переходных процессов в цепях первого порядка

Примеры расчётов переходных процессов в цепях первого порядка.

Пример 1. Включение дросселя на постоянное напряжение.

Записываем решение как сумму свободной и установившейся составляющих

.

Находим установившуюся составляющую

.

Находим свободную составляющую.

Методом входного операторного сопротивления составляем характеристическое уравнение цепи после коммутации.

По виду корня характеристического уравнения определяем общий вид свободной составляющей

Определяем постоянную интегрирования. Из цепи до коммутации получим ННУ i(0_—)=0, A. По первому закону коммутации получим ток в индуктивности в t=0₊ . Тогда после подстановки в уравнение п. 1, получим

Ответ: , где . При записи ответа используют величину постоянной времени переходного процесса, которая имеет размерность времени и характеризует скорость затухания свободной составляющей. Здесь  равна времени в течении которого величина уменьшается в е=2.71… раз. На практике принято ожидать время окончания переходного процесса в пределах (3-5). Строим график тока:

Пример 2. Включение дросселя на синусоидальное напряжение.

-фаза коммутации

1. Записываем решение как сумму свободной и установившейся составляющих

.

2. Установившийся ток находим комплексным методом.

Находим свободную составляющую.

3.1. Определение общего вида свободной составляющей смотри в примере 1.

3.2. Определяем постоянную интегрирования.

По первому закону коммутации имеем ток в цепи при t=0₊ равным 0. Тогда

,

.

4. Записываем ответ и строим график:

Здесь следует заметить, что интенсивность переходного процесса зависит ещё и от фазы коммутации. Для параметров, приведённых на графике имеет место близость к максимально возможному переходному процессу при фазе коммутации 180 о . При слабом затухании с увеличением постоянной времени () угол сопротивления90 о , тогда при 180 о будет иметь место максимальная интенсивность переходного процесса и ток дросселя может достигать ударного значения, равного удвоенной амплитуде установившейся величины.

Пример 3. Разряд конденсатора на резистор.

Записываем решение как сумму свободной и установившейся составляющих

.

Находим установившуюся составляющую

.

Находим свободную составляющую.

Методом входного операторного сопротивления составляем характеристическое уравнение цепи после коммутации

По виду корня характеристического уравнения определяем общий вид свободной составляющей

Определяем постоянную интегрирования. Из цепи до коммутации получим ННУ , В. По второму закону коммутации получим напряжение на ёмкости вt=0₊. Тогда уравение п.1 для t=0₊ примет вид

Ответ: , где . Строим график напряжения и тока в ёмкости:

Источник

Расчет переходного процесса в электрических цепях первого порядка

Эксперт по предмету «Электроника, электротехника, радиотехника»

преподавательский стаж — 5 лет

С нами работают 108 689 преподавателей из 185 областей знаний. Мы публикуем только качественные материалы

Цепи первого порядка и переходные процессы в них

Электрическая цепь первого порядка – это электрическая цепь, в которой содержится только один реактивный элемент: емкость или индуктивность.

Вся электрическая цепь по отношению к реактивному элементу можно считать резистивным активным двухполюсником. Примеры схем цепей первого порядка изображены на рисунке ниже

Рисунок 1. Примеры схем цепей первого порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

а — цепь с емкостью; б — цепь с индуктивностью.

Переходные процессы – это процессы, которые возникают в электрических цепях при различных воздействиях, переводящих их из одного стационарного состояния в другое.

Переходный процесс в электрической цепи первого порядка описывается дифференциальным уравнением первого порядка, решение которого для Uc и IL будет иметь следующий вид:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где: р — корень характеристического уравнения; А — постоянная интегрирования; Ucпр и ILпр — принужденные составляющие; т — постоянная времени для свободной составляющей режима.

Корень характеристического уравнения является отрицательной и вещественной величиной, которая исполняет роль коэффициента затухания. Обратное отношение т = 1/р (измеряется в секундах) определяет скорость переходного процесса. Принято считать, что скорость переходного процесса может быть определена следующим образом:

Учитывая выше представленное выражение, получается, что решение дифференциального уравнения расчета переходного процесса в цепи первого порядка может быть записано следующим образом:

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Таким образом, для расчета Uc и IL, необходимо определить следующие величины

1. Постоянную интегрирования.
2. Принужденную составляющую.
3. Постоянную времени для свободной составляющей.

Расчет переходного процесса в электрических цепях первого порядка

Рассмотрим электрическую цепь, которая изображена на рисунке ниже.

Рисунок 4. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Данная цепь питается от источника постоянного напряжения Е, также в ней происходит замыкание ключа S. Необходимо определить закон изменения тока в индуктивности. Схема после коммутации выглядит следующим образом.

Рисунок 5. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

При анализе данной цепи становится понятно, что сопротивление r3 не участвует в переходном процессе, который развивается за счет источника Е, а также энергии магнитного поля. Система уравнений по закону Кирхгофа после коммутации выглядит следующим образом:

Подставляем компонентные соотношения, которые связывают напряжения и токи в отдельных составляющих цепи и получаем следующую систему уравнений

Теперь подставляем третье и первое уравнение во второе и таким образом получаем одно уравнение относительно первой составляющей iL

$((r1 + r2) / r2) * L * (diL / dt) + r1iL = E$

Чтобы получить уравнение для свободной составляющей режима работы приравняем правую часть к нулю

$((r1 + r2) / r2) * L * (diLсb / dt) + r1iLсb = E$

Переход к характеристическому уравнению осуществляется посредством замены d/dt на р, а iLcb на единицу

Постоянная времени в данном случае является обратной по отношению к коэффициенту затухания:

где, Rэ — эквивалентное резистивное сопротивление

Анализ последних двух выражений показывает, что постоянная времени пропорциональна индуктивности и обратно пропорциональна эквивалентному резистивному сопротивлению. Его величина совпадает с входным сопротивлением рассматриваемой цепи. Данный вывод распространяется на любую электрическую цепь первого порядка, в которой содержатся одна индуктивность и неограниченное количество резистивных элементов и источников энергии. Получается, что определить конечное выражение для постоянной времени можно и без составления систем уравнения — достаточно определить входное сопротивление цепи со стороны реактивного элемента и воспользоваться формулой для постоянной времени. Входное сопротивление определяется в три этапа:

1. Изображается схема после процесса коммутации
2. Реактивный элемент заменяется на разомкнутые зажимы, по отношению к которым потом определяется входное сопротивление. После этого исключаются источники энергии: источники электрического тока разрываются, а источники напряжения замыкаются накоротко.
3. Производится последовательное упрощение рассматриваемой электрической цепи, посредством объединения параллельно и последовательно соединенных резистивных элементов, из-за чего цепь сводится к эквивалентному сопротивлению, являющемуся искомым входным сопротивлением.

Для рассматриваемой цепи преобразованная схема будет выглядеть следующим образом

Рисунок 6. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На этой схеме вместо индуктивности изображены разомкнутые зажимы, со стороны которых определяется входное сопротивление, а вместо источника напряжения показана короткозамкнутая перемычка. Для определения тока в индуктивности также рассчитываются постоянная интегрирования и принужденная составляющая.

Источник