Расчет цепи третьего порядка

«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

по дисциплине «Теоретические основы электротехники»

Студенты гр. 0584: Подсевалов Ю.В.

Преподаватель: Евдакова Е. Г.

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Цель работы: изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением ее собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости; экспериментальное определение собственных частот и добротности RLС-контура по осциллограммам.

В работе предлагается исследовать свободные процессы в цепях. Цепи возбуждаются короткими импульсами тока i_o (t), заряжающими конденсатор С. В паузах между импульсами конденсатор разряжается; цепь находится в свободном режиме, так как в это время источник возбуждения отключен (i₀ = 0). Напряжения на элементах цепи осциллографируются.

Поведение линейных цепей описывается линейными дифференциальными уравнениями; при этом вид свободного процесса определяется корнями p_k характеристического уравнения (собственными частотами цепи).

При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно рассчитать как нули входной проводимости цепи Y (р ), т. е. как корни уравнения Y (р) = 0.

У цепи первого порядка одна собственная частота р, вещественная и отрицательная; свободный процесс описывается затухающей экспонентой:

где u — напряжение на каком-либо элементе цепи; t — время; α — постоянная

затухания; т — постоянная времени; А — постоянная интегрирования.

У цепи второго порядка две собственные частоты р_1,2 могут быть вещественными (простыми или кратными) или комплексно-сопряженными.

В случае вещественных простых собственных частот:

свободный процесс описывается суммой двух экспонент:

и называется апериодическим. Временная диаграмма процесса для случая

А — — А . и г, > т 2 приведена на рис. 3.1, б; штрихами показаны отдельные

В случае комплексно-сопряженных собственных частот

и называется колебательным; частота затухающих колебаний .

Временная диаграмма процесса приведена на рис. 3.1, в.

В случае вещественных кратных собственных частот

свободный процесс описывается выражением

и называется критическим (предельным апериодическим). Временная диаграмма процесса для случая A₁ = 0 приведена на рис. 3.1, г, где t_m – момент достижения максимума.

ГС, расположенный на приборном стенде, переведите в режим генера-

ции напряжения прямоугольной формы. Выполните предварительную на-

стройку осциллографа: рабочий канал — I, масштаб по вертикали — 2 В/дел,

синхронизация — внутренняя по каналу I, масштаб по горизонтали — 0,2

мс/дел. Используя осциллограф, установите амплитуду и период сигнала ГС

соответственно Um = 8 В и Гс = 1,2 мс. Подключите ГС ко входу генератора

импульсов на лабораторной плате.

3.2.1. Исследование свободных процессов в цепи первого порядка

Соберите схему, показанную на рис. 3.1, а (С = 0,02 мкФ, R = 5 кОм, источником тока i₀ (t) является генератор импульсов). Снимите осциллограмму напряжения на конденсаторе, зафиксировав на ней один полный полупериод сигнала мс (ручку временной развертки осциллографа рекомендуется установить при этом в положение 0,1 мс/дел).По снятой осциллограмме определите собственную частоту цепи.

3.2.2. Исследование свободных процессов в цепи второго порядка

Соберите схему, показанную на рис. 3.1, б (С = 0,02 мкФ, L = 25 мГн). Снимите осциллограмму напряжения на резисторе при значениях R = 0,5 кОм (колебательный режим) R = 3 кОм (апериодический режим). Затем найдите такое значение R₁, при котором в цепи будет наблюдаться критический режим, т. е. режим, граничный между колебательным и апериодическим. Снимите осциллограмму процесса и запишите полученное значение сопротивления R₁=R_1кр . В заключение установите R₁ = 0 и снимите осциллограмму напряжения на конденсаторе. По осциллограммам, снятым при R₁ =0,5 кОм и R1 = R_1кр определите собственные частоты цепи. Найдите также согласно (3.10) добротность контура при R₁ = 0 и R₁ = 0,5 кОм.

Осциллограмма напряжения на конденсаторе (R = 0 кОм)

Осциллограммы свободных процессов в цепи второго порядка в апериодическом режиме (R = 3 кОм)

Осциллограммы свободных процессов в цепи второго порядка в колебательном режиме (R = 0,5 кОм)

Осциллограммы свободных процессов в цепи второго порядка в критическом режиме (R = 1,5 кОм)

3.2.3. Исследование свободных процессов в цепи третьего порядка

Соберите схему, показанную на рис. 3.1, в (С=0,02мкФ, R= 5 кОм, R₁= 1 кОм, L = 25 мГн). Снимите осциллограмму напряжения на входе цепи.

Ответы на контрольные вопросы

1. Каким аналитическим выражением описывается переходный процесс в цепи первого порядка?

где А – постоянная, α – постоянная затухания.

2. Как по осциллограмме определить собственную частоту цепи первого порядка? Соответствует ли она теоретическому расчету по (3.1)?

Либо по формуле 𝛼=1𝜏=ln𝑈1𝑈2∆𝑡, (U1, U2, Δt = t2-t1 определяем по осциллограмме), либо используя метод подкасательной (проводим подкасательную и находим ее проекцию на ось Х, найденное значение – τ ). Как видно из пункта 1 обработки результатов экспериментальное значение примерно равно теоретическому.

3. Какими аналитическими выражениями (в общем виде) описываются графики процессов во всех исследуемых цепях второго порядка? Как определить по осциллограмме, снятой при R1 = 0,5 кОм, собственные частоты цепи второго порядка?

Чтобы определить собственные частоты второго порядка по осциллограмме нужно найти значения U1, U2, Δt = Т. Далее по формулам находим w0 и Q:

Используя полученные значения найти собственные частоты по формуле

4. Каким аналитическим выражением описывается полученный график свободного процесса в цепи третьего порядка? 𝑢(𝑡)= 𝐴1𝑒−𝛼1𝑡+𝐴2𝑒−𝛼2𝑡+𝐴3𝑒−𝛼3𝑡

5. Каковы теоретические значения собственных частот цепи третьего порядка? Соответствует ли им осциллограмма и почему?

Источник

Лабораторная работа №32(1)

Государственный Электротехнический Университет

Лабораторная работа №3

«Исследование свободных процессов в электрических цепях»

Выполнили: Зуев И. Проверил: Гончаров В.Д.

Санкт-Петербург

Цель работы: изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости; приближенная оценка собственных частот и добротности RLC – контура по осциллограммам.

П одготовка к работе. В работе предлагается исследовать процессы в цепях, схемы которых представлены ниже на рисунке. Цепи возбуждаются очень короткими импульсами тока i₀(t), заряжающими емкость С. В паузах между импульсами емкость разряжается, цепь находится в свободном режиме, так как в это время источник возбуждения отключен (i₀=0).

В линейных цепях свободный процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями и его вид определяется корнями характеристического уравнения (собственными частотами цепи p_k).

При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно рассчитать как нули входной проводимости Y(p):

а) для цепи первого порядка (первый рисунок),, откуда (1)

б) для цепи второго порядка (второй рисунок), , откуда

(2)

в) для цепи третьего порядка, третий рисунок:

, откуда

, (3)

Общий вид решения для напряжения любого элемента цепи

где А_к – постоянные интегрирования, n – порядок цепи.

У цепи первого порядка одна собственная частота (1), вещественная и отрицательная, свободный процесс имеет вид

; (4)

процесс экспоненциальный, причем  — постоянная затухания, а  — постоянная времени экспоненты. Временная диаграмма свободного процесса показана на рисунке ниже, а, причем  — интервал времени, соответствующий любой подкасательной к экспоненте.

В цепи второго порядка две собственные частоты (2) могут быть вещественными (апериодический режим, рисунок б) или комплексно-сопряженными. Комплексно-сопряженным частотам соответствует качественно новый характер свободного процесса – колебательный:

(5)

где  — постоянная затухания,  — частота затухающих колебаний (). Временная диаграмма колебательного процесса представлена на рисунке ниже в.

В цепи второго порядка возможен также критический режим (, кратные собственные частоты); вид процесса близок к диаграмме, показанной на рисунке б, причем момент достижения максимума , если .

Д альнейшее увеличение порядка цепи к качественно новым явлениям не приводит. Так, согласно (3), в схеме изображенной на 3 рисунке выше, собственные частоты могут быть либо все три вещественные, либо одна – вещественная и две – комплексно-сопряженные. Временная диаграмма свободного процесса представлена на рисунке ниже, г –это сумма экспоненты и затухающей синусоиды.

В некоторых случаях собственные частоты относительно просто рассчитываются по осциллограммам. Например, согласно (4) по рисунку а, можно рассчитать постоянную затухания

Для случая рисунка в, постоянная затухания  также может быть определена на основании (6), но при этом обязательно выполнено условие , что вытекает из (5).

В случае рисунка б и г, найти собственные частоты можно лишь приближенно, выделив, как показано пунктиром, отдельные составляющие процесса.

Особый интерес представляет определение добротности Q RLC – контуров по виду свободного процесса. Для последовательного RLC – контура

где — частота незатухающих колебаний в идеальном контуре (R₁=0). Согласно (2) собственные частоты последовательного RLC – контура можно записать следующим образом:

причем Q 0,5 — колебательный режим, а Q= — незатухающий колебательный режим.

При Q>10 с высокой степенью точности можно считать

С учетом (6) формула, позволяющая в этом случае определить добротность по осциллограмме рисунка в, имеет вид

Для повышения точности можно брать отношение напряжений за n периодов колебаний:

Исследование свободных процессов в цепи первого порядка.

Осциллографируемый процесс описывается аналитической формулой: .

Собственная частота определяется по осциллограмме, определяется по формуле , где =1 мс, тогда =10 000. Что соответствует теоретическому расчету .

Исследование свободного процесса в цепи второго порядка

Графики процессов описываются следующим выражением .

Для того, чтобы определить по осциллограмме собственную частоту цепи нужно найти период импульса , где Т_с= 1 мс – длительность сигнала, 3/10 – доля периода в этом сигнале. Тогда воспользуемся формулой . . Результат выглядит следующим образом:

, отличается от теоретического расчета:

.

Возможно здесь ошибка из-за неточности измерения или неверности зарисовки диаграммы.

Найдем теоретические значения формуле (2):

Этим данные соответствуют осциллограммы, т.к. известно. Что при одинаковых корнях график имеет вид выше рисунка б.

Рассчитаем добротность контура по формуле , тогда для R₁=0,5 кОм: Q=2,236. Для воспользуемся последней формулой: R₁=0: Q=6,14

Исследование свободных процессов в цепи третьего вопроса

Аналитическое выражение .

Значение собственных частот цепи согласно формуле (3):

Что соответствует полученным осциллограммам, т.к. идет сложение 3 колебаний и рисунок похож на рисунок в, что еще раз подтверждает верность проделанного эксперимента.

Заключение: В результате выполненной работы было изучены свободные процессы в электрических цепях, результаты показали, что все опыты верны, с небольшой погрешностью.

Источник