4.2. Численные методы анализа нелинейных цепей
Для большинства относительно сложных цепей аналитического решения НФУ может и не существовать. Тогда приходится прибегать к численным методам решения. Наиболее простой алгоритм имеют методы последовательных приближений, т.е. итерационные методы. Среди них самым быстрым по сходимости является метод Ньютона-Рафсона.
НФУ (i) = 0 в окрестностях некоторого приближенияikраскладывают в ряд Тейлора:
Необходимо найти такую поправку на очередном шаге расчета, чтобы
(ik+1) 
0.
Подставив i=ik+1в ряд и ограничившись двумя его первыми членами, получим
Откуда расчетная формула метода Ньютона-Рафсона
(16.10)
Алгоритм расчетасодержит выполнение следующих операций:
1) аппроксимация ВАХ нелинейных элементов;
2) составление системы уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа;
3) исключение из системы уравнений состояния цепи промежуточных переменных и получение нелинейного функционального уравнения
4) определение первой производной полинома НФУ ’(i);
5) определение первого приближения на основании выражения (16.10) при нулевом приближении i0=0; если полученное первое приближение противоречит физическому смыслу, нулевое приближение определяют повторно на основании приближенного графического расчета;
6) выполнение последующих шагов итерации по формуле (16.10); проверка сходимости итерационного процесса между шагами по условию
Иллюстрация метода
Пример 3. Решить НФУ примера 1.
Имеем (i) = 6,7i 3 – 30i 2 + 3,3i + 40 = 0.
Считая нулевым приближением i0= 0, получим на основании (16.10) первое приближение
Поскольку в рассматриваемой цепи (рис.16.1) ток i > 0, прекращаем итерацию и выбираем новое значениеi0= 1.
Тогда на первом шаге расчета
Следующий шаг итерационного расчета дает значение
i2= 1,55 – (6,71,55 3 — 301,55 2 + 3,31,55 + 40) :
: (20,11,55 2 — 601,55 + 3,3) = 1,502,
что практически соответствует данным аналитического расчета в примере 1.
Как видим, при численном расчете большое значение имеет удачный выбор исходного приближения. В относительно простых задачах нулевое приближение часто определяют в результате приближенного графического расчета.
Алгоритм расчета методом Ньютона-Рафсона имеется в математическом обеспечении ЭВМ.
5. Метод линеаризации цепи
Метод используется, если в заданном (рабочем) диапазоне изменений напряжений (токов) ВАХ элементов цепи можно заменить эквивалентными прямыми линиями, т.е. ВАХ могут быть аппроксимированы прямыми. При этом нелинейный элемент может быть представлен эквивалентным линейным участком, а вся нелинейная электрическая цепь – эквивалентной линейной схемой замещения.
Алгоритм расчета.Метод приведения нелинейной электрической цепи к эквивалентной линейной предполагает выполнение следующих операций:
1) составление исходной схемы замещения цепи;
2) линеаризация вольтамперных элементов на избранных участках и аналитическую запись уравнений линеаризированных кривых;
3) составление схемы замещения эквивалентной линейной электрической цепи;
4) аналитический расчет токораспределения в линейной эквивалентной цепи обычными методами.
Идею, суть, алгоритм расчета рассмотрим на примере конкретной нелинейной цепи (рис.16.3), которая содержит вилитовый разрядник FVи лампу накаливанияHL. Необходимо рассчитать токораспределение в заданной нелинейной цепи.
Рисунок 16.3 – Принципиальная Рисунок 16.4 – Схема замещения
1. Составляем расчетную схему замещения цепи (рис.16.4).
2. Вольтамперные характеристики нелинейных элементов (рис.16.5, 16.6) имеют участки, близкие к прямым линиям, что позволяет аппроксимировать их прямыми в диапазоне токов I1иI2. Вычерчиваем заданные вольтамперные характеристики элементов цепи (рис.16.5, 16.6), производим линеаризацию рабочих участков (участки А-В).
Рисунок 16.5 – ВАХ лампы Рисунок 16.6 – ВАХ разрядника
3. Производим аналитическую запись линеаризированных участков ВАХ (уравнения пунктирных прямых).
В соответствии с соотношением (16.3) определяем дифференциальные сопротивления элементов Rд1иRд2по вольтамперным характеристикам (рис.16.5, 16.6):
Уравнениям (16.11) и (16.12) соответствуют эквивалентные схемы замещения (рисунки 9 и 10)
Рисунок 16.7 – Эквивалентная схема Рисунок 16.8 – Эквивалентная схема
замещения лампы замещения разряд-
4. Вычерчиваем схему замещения эквивалентной линейной цепи (рис.16.9)
Рисунок 16.9 – Эквивалентная схема замещения цепи
5. Токораспределение в полученной схеме рассчитывается обычными методами.
Источник
Численные методы расчета нелинейных цепей постоянного тока
Суть метода: сначала задаются произвольными значениями тока или напряжения и производят расчет цепи. По полученным результатам производят уточнение значения тока и напряжения на нелинейном элементе и повторяют расчет цепи. По результатам расчета делают следующее уточнение тока и напряжения на нелинейном элементе и производят расчет цепи. Расчет выполняется до тех пор пока не будет достигнута требуемая точность.
Пример: предположим, что в цепи кроме линейной части представленной источником ЭДС и линейным сопротивлением, есть нелинейное сопротивление R = f(I). Решение ищем по ВЗК.
[1] – внешняя характеристика цепи.
Нелинейный элемент для мгновенных значений можно описать законом Ома:
Эта формула дает потери в единице объема за один цикл. Поэтому мощность потерь на гистерезис будет равна:
При промышленной частоте 50 Гц можно разделить потери на вихревые токи и на гистерезис. Для этого необходимо измерить потери в сердечнике при двух известных частотах (f1 и f2).
Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными
Умножим (3) на f2, а (4) на f1 и вычтем одно из другого. При вычитании первые слагаемые правых частей уничтожатся. В результате Pв будет равна:
Затем (3) умножаем на, а (4) на, после находим их разность. В результате все члены содержащие B взаимно уничтожатся. И мощность потерь на гистерезис будет равна:
Такое разделение потерь можно сделать только в диапазоне промышленной частоты (50Гц), при высоких частотах потери на вихревые токи и гистерезис будут сильно зависеть друг от друга.
14 Уравнение катушки с ферромагнитным сердечником и её схема замещения.
Рассматриваем установившийся режим.
Выбираем стержневой сердечник.
После появления тока в обмотке создается магнитный поток. Часть его полностью замыкается по сердечнику.Ф0 – рабочий магнитный поток (выполняет полезную работу). Другая часть магнитного потока замыкается частично по воздуху Фδ (как правило, носит паразитный характер).
Если катушка спроектирована правильно, то. Магнитный поток пройдя через сечение витков обмотки (пусть их будет w) приводит к появлению потокосцепления. Если линии проходят в основном по воздуху, у которого => Rм = const. Эта часть потокосцепления может считаться линейной.
Lδ – индуктивность рассеяния = const, следовательно рассеяние не искажает синусоидальность напряжения и тока.
Ψ0 – нелинейно, т.к. его линии проходят целиком по сердечнику, в котором наблюдается насыщение и
По второму закону Кирхгофа записываем:
Напряжение приложенное к зажимам обмотки идет на преодоление активного сопротивления обмотки и на преодоление ЭДС, которая будет индуцироваться в катушке.
Получили дифференциальное уравнение, но так как катушка с ферромагнитным сердечником является безынерционным элементом, даже при синусоидальном питающем напряжении и токе в катушке Ф0 и U0 не будут синусоидальными. Поэтому комплексный метод применить нельзя. Сначала i,U0, Ф0 заменим на эквивалентные синусоиды, после этого можно применить комплексный метод.
По уравнению (2) создаем эквивалентную схему:
Lδ – характеризует воздух, по которому замыкается Фδ.
Zэ – характеризует ферромагнитный сердечник, на зажимах которого U0
В сердечнике будут потери на вихревые токи и на гистерезис. Из-за них напряжение U0 будет опережать рабочий поток Ф0 на угол 90º. Ток цепи будет отставать от на угол φ0. Тогда мощность потерь в сердечнике будет равна:
Строим векторную диаграмму на комплексной плоскости.
Построив векторную диаграмму токов (один вектор), строим векторную диаграмму напряжений по формуле (2). Сначала откладываем вектор U0. Вектор второго слагаемого опережает вектор и направлен под углом 90° к нему. Из векторной диаграммы видно, что ток имеет реактивную составляющую и активную составляющую.
Отсюда следует, что Zэ должен состоять из двух параллельных ветвей, по одной течет Iр, а по другой Iа.
Несколько соотношений для определения параметров Zэ.
Рассчитав по векторной диаграмме Ip и U0, можем найти b0.
Заменим активную составляющую тока на полный ток I, учитывая прямоугольные треугольники векторной диаграммы и свойства взаимного дополнения углов.
По закону Ома подучаем, что полная проводимость будет равна
Эквивалентная схема нужна для того, чтобы расчет магнитной цепи свести к расчету электрической цепи.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Источник