Расчет трехфазной цепи с симметричной нагрузкой треугольника

7.3.4. Расчет симметричных трехфазных цепей

Рассмотрим принцип расчета трехфазных симметричных цепей на конкретном примере цепи (рис. 7.12).

В цепи имеются приемники различных групп одинаковых сопротивлений, включенных не только в рассечку линий, но и по схеме звезда и треугольник.

Рис. 7.12. Смешанное соединение симметричной нагрузки

Заданы линейные напряжения U_AB = U_BC = U_CA. В симметричной цепи режимы работы разных фаз отличаются только начальными фазами. При этом, отличие всех величин одной фазы от соответствующих другой одинаково. Это позволяет рассчитывать режим всей цепи по параметрам режима одной из фаз, составив для нее эквивалентную схему.

Для получения эквивалентной схемы в рассматриваемом примере целесообразно заменить треугольник сопротивлений Z₄ эквивалентной «звездой» сопротивлений Z₄, используя ранее выведенные формулы (см. 1.15). Вследствие равенства сопротивлений сторон треугольника сопротивлениям лучей звезды будут одинаковы. Поэтому можно использовать любую из формул пересчета, например, для первого луча:

.

Схема цепи после эквивалентной замены будет иметь вид, показанный на рис. 7.13.

В симметричной цепи все нейтральные (нулевые) точки имеют одинаковый потенциал. Поэтому точки n₁, n₂ можно соединить проводом, не нарушая этим режим работы цепи (на схеме – пунктирная линия). Очевидно, относительно потенциала этих точек определяются фазные напряжения U_A, U_B, U_C, величина которых в раз меньше заданных линейных.

В симметричной цепи сопротивления всех фаз одинаковы; одинаковы и сопротивления в соответствующих группах. Поэтому выделим из цепи какую-либо одну фазу, отбросив все другие. В качестве примера на рис. 7.14 изображена схема фазы А.

Рис. 7.14. Расчетная схема фазы А

Токи в этой схеме могут быть легко рассчитаны, например, методом преобразования. В каждом из элементов любой из групп ток сдвинут по фазе относительно токов в других элементах той же группы на равные углы  .

При переходе от токов эквивалентной звезды сопротивлений к фазным токам исходного треугольника следует иметь в виду, что при расчете однофазной схемы будет рассчитан ток I₃, являющийся линейным током треугольника сопротивлений исходной схемы. В этом случае ток в фазах треугольника будет в раз меньше линейного тока.

7.4. Расчет несимметричных режимов трехфазных цепей с нагрузкой статического характера

Т рехфазные электрические двигатели при конструктивной симметрии магнитной цепи и симметричной системе напряжения питания можно заменять эквивалентными схемами, состоящими из трех одинаковых сопротивлений, соединяемых «звездой» или «треугольником». При несимметрии напряжения питания, а также при конструктивной несимметрии машины такая экви­валентная замена оказывается недопустимой вследствие возникающего влияния режима работы (например, частоты вращения) на величину составляющих комп­лексного сопротивления отдельных фаз. Поэтому несимметричные режи­мы трехфазных цепей приходится рассчитывать иными методами, среди которых большое развитие получил метод симметричных составляющих, который будет рассмотрен позднее. Сейчас будем рассматривать несим­метричный режим цепей при условии так называемой статической нагрузки, т.е. такой нагрузки, когда сопротивления фаз различны, но независимы от протекающего тока и не влияют друг на друга. Кроме того, не будем учитывать падения напряжения на внутренних сопротивлениях фаз источника. Схема цепи представлена на рис. 7.15.

Пусть известна несимметричная система фазных напряжений источника . Неучет падений напряжения на внутренних сопротивлениях фаз источника позволяет заданные напряжения приписать ЭДС самого источника, т.е. положить . В этой схеме два узла, поэтому для определения напряжения между нулевыми точками приемника и источника можно применить метод двух узлов. Положив _N = 0, будем иметь

, (7.8)

где – проводимости ветвей, присоединенных к узлу n.

Зная напряжение между нейтральными точками и учитывая равенство j _N = 0, можно найти токи в линиях по закону Ома:

,

,

,

,

Векторная и топографическая диаграмма напряжений, соответствующая одному из возможных несимметричных режимов, изображена на рис.7.16.

Интерес представляют два предельных случая.

Случай 1. Нулевые точки источника и приемника соединены толстым медным проводом, а расстояние между ними настолько мало, что можно считать .

В этом случае U_nN = 0 и, следовательно, напряжения на фазах приемника равны фазным напряжениям источника питания (U_A = U_a, U_B = U_b, U_C = U_c). Ток в каждой фазе может быть рассчитан по закону Ома независимо от токов других фаз. (Расчет становится похожим на расчет токов в симметричной системе, однако его необходимо выполнять для всех трех фаз, а не для одной.)

Источник

3. Симметричный режим работы трехфазной цепи

Расчет трехфазной цепи, так же как и расчет всякой сложной цепи, ведется обычно в комплексной форме. Ввиду того что фазные э. д. с. генератора сдвинуты друг относительно друга на 120°, для краткости математиче­ской записи применяется фазовый оператор — комплекс­ная величина

Умножение вектора на оператор а означает поворот вектора на 120° в положительном направлении (против хода часовой стрелки).

Соответственно умножение вектора на множитель а 2 означает поворот вектора на 240° в положительном нап­равлении или, что то же, поворот его на 120° в отрица­тельном направлении.

Если э. д. с. фазы А равна Ё_А, то э. д. с. фаз В и С равны соответственно:

В простейшем случае симметричного режима работы трехфазной цепи, когда генератор и нагрузка соединены звездой (рис. 9, а), векторная диаграмма э.д.с. и токов имеет вид, показанный на рис. 9, б.

Ток в каждой фазе отстает от э. д. с. той же фазы на угол = arctg х/r,

где r и х—активное и реактивное сопротивления фаз.

Ток в фазе А находят так же, как в однофазной цепи, потому что нейтральные точки генератора и нагрузки

Рис. 9. Симметричный режим работы трехфазной цепи.

а — трехфазная цепь; б — векторная диаграмма.

в симметричном режиме могут быть соединены как име­ющие одинаковые потенциалы:

·

Соответственно токи в фазах В и С выражаются че­рез ток I_А:

, .

Наличие нейтрального провода не вносит при сим­метричном режиме никаких изменений, так как сумма токов трех фаз равна нулю и ток в нем отсутствует:

.

Таким образом, при симметричном режиме работы трехфазной цепи задача сводится к расчету одной из фаз аналогично расчету однофазной цепи. При этом сопро­тивление обратного (нейтрального) провода не учиты­вается, так как ток в нем и соответственно падение на­пряжения на нем отсутствуют.

По мере удаления от генератора фазные напряжения, определяемые падениями напряжения до нейтральной точки нагрузки, изменяются по величине (обычно убыва­ют) и по фазе. Линейные напряжения определяются как разности соответствующих фазных напряжений, напри­мер: . В любом месте трехфазной линии при симметричном режиме соблюдается следующее соот­ношение между модулями линейных и фазных напря­жений:

.

т. е. опережает по фазе U_A на 30°, причем модуль Uав в √3 раз превышает U_A.

В случае соединения треугольником линейные токи определяются в соответствии с первым законом Кирхго­фа как разности фазных токов и при симметричном ре­жиме соблюдается соотношение .

Соединение фаз генератора или нагрузки треугольни­ком должно быть для расчета заменено эквивалентным соединением фаз звездой; вследствие этого расчет трех­фазной цепи с соединением фаз треугольником приво­дится в конечном итоге к расчету эквивалентной трех­фазной цепи с соединением фаз звездой.

Между сопротивлениями сторон треугольника (Z_) и лучей звезды (Z_ ) имеет место соотношение Z_ = 1/3 Z_ , вытекающее из формул преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду. Это соотношение справедливо как для сопротивлений сим­метричной трехфазной нагрузки, так и для сопротивле­ний симметричного трехфазного генератора. При этом фазные э.д.с. эквивалентного генератора, соединенного звездой, берутся в раз меньшими фазных э. д. с. за­данного генератора, соединенного треугольником (кроме того, они должны быть сдвинуты на угол 30°). Это легко усмотреть из векторной потенциальной диаграммы нап­ряжений генератора.

Активная мощность симметричной трехфазной на­грузки равна:

.

_Ввиду того что при соединении нагрузки звездой и, а_при соединении нагрузи* тре­угольником U_ф=U_л и , активная мощность трехфазной цепи независимо от вида соединения выра­жается через линейные напряжения и ток следующим образом:

здесь φ — угол сдвига фазного тока относительно одно­именного фазного напряжения.

Рис. 12-10. Измерение активной мощности при симметрич­ном режиме.

Аналогичным образом для реактивной и полной мощ­ностей симметричной трехфазной нагрузки имеем:

Приведенные выражения не означают, что при пере­соединении нагрузки со звезды на треугольник (или на­оборот) активная и реактивная мощности не изменяют­ся. При пересоединении нагрузки со звезды на треуголь­ник при заданном линейном напряжении фазные токи возрастут в √3 раз, а линейный ток — в 3 раза и поэто­му мощность возрастет в 3 раза.

Если нейтральная точка симметричной трехфазной нагрузки выведена, то измерение активной мощности мо­жет быть осуществлено одним ваттметром, включенным по схеме рис. 12-10, а (одноименные или так называемые генераторные зажимы последовательной и параллельной цепей ваттметра отмечены на рис. 12-10, а звездочками). Утроенное показание ваттметра равно суммарной актив­ной мощности трех фаз.

Рис. 12-11. Изме­рение реактивной мощности при сим­метричном режи­ме

Если нейтральная точка не выведена или нагрузка соединена треугольником, то можно воспользоваться схемой рис. 12-10,б , где параллельная цепь ваттметра и два добавочных активных сопротивления r_доб, равные по величине сопротивлению параллельной цепи ваттметра, образуют искусствен­ную нейтральную точку 0 *.

Для получения суммарной мощно­сти, как и в предыдущем случае, по­казание ваттметра утраивается.

На рис. 12-11 показан способ изме­рения реактивной мощности в симмет­ричной трехфазной цепи при помощи одного ваттметра: последовательная цепь ваттметра включена в фазу А, а параллельная — между фазами В и С, причем генераторные зажимы ваттмет­ра присоединены к фазам А и В. Показание ваттметра в этом случае равно:

Для получения суммарной реактивной мощности по­казание умножается на √3.

* Следует заметить, что здесь применим только электродинами­ческий или ферродинамический ваттметр, сопротивление параллель­ной цепи которого является чисто активным. Индукционный ватт­метр неприменим по той причине, что сопротивление параллельной цепи такого ваттметра имеет реактивное сопротивление; для созда­ния искусственной нейтральной точки в этом случае потребовались бы реактивные добавочные сопротивления.

Разделив активную мощность на полную мощность, получим:

Пример 12-1. Определить ток в генераторе при симметричном режиме работы трехфазной цепи, представленной на рис. 12-12, а.

Сопротивления Z₄, соединенные треугольником, заменяются экви­валентной звездой из сопротивлений — 2₄.

При симметричном режиме нейтральные точки генератора и на­грузки, как было указано выше, могут быть объединены. Тогда ре­жим работы каждой фазы, например фазы А, может быть рассмот­рен в однофазной расчетной схеме (рис. 12-12, б).

Результирующее сопротивление цепи одной фазы равно:

12-4. НЕСИММЕТРИЧНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ

Несимметрия в трехфазной цепи может быть вызвана различными причинами; 1) неодинаковым сопротивлени­ем фаз (несимметричная нагрузка); 2) несимметричным коротким замыканием (например, между двумя фазами или фазой и нейтралью); 3) размыканием фазы; 4) не­равенством величин э. д. с. и т. п.

Расчет токов и напряжений в трехфазной цепи при несимметричном режиме может производиться теми же методами, которые применяются для расчета однофаз­ных цепей.

Рассмотрим несколько простейших вариантов (без взаимной индукции между фазами).

1. Несимметричная трехфазная цепь, соединенная звездой, с нейтральным проводом (рис. 12-13).

Несимметричная трехфазная цепь, показанная на рис. 12-13, может рассматриваться как трехконтурная цепь с тремя э. д. с. Такая цепь может быть рассчитана методами контурных токов, узловых напряжений и дру-

гимн. Поскольку в схеме имеются только два узла, наи­более целесообразно в данном случае определить узло­вое напряжение (напряжение смещения) между ней­тральными точками О’ и О по формуле, аналогичной (4-4):

(12-1)

Рис. 12-13. Несимметричная трехфазная цепь, соединен­ная звездой (с нейтральным проводом>.

Рис. 12-14. Несимметричная трехфазная нагрузка, соеди­ненная звездой (без нейтраль­ного провода).

Случаю размыкания какой-либо фазы или нейтраль­ного провода соответствует равенство нулю проводимо­сти данной фазы или нейтрального провода.

При отсутствии нейтрального провода, полагая в (12-1) Y_N= 0, имеем:

2. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединен­ная звездой (без нейтрального провода), с заданными линейными напряжениями на зажимах (рис. 12-14).

Если заданы линейные напряжения U_AB, 0_BC и оса на зажимах нагрузки, соединенной звездой, то токи в фа­зах звезды определяются следующим образом.

Равенство нулю суммы токов трех фаз записывается в виде:

Фазные напряжения U_в и U_c могут быть выражены через U_A и заданные линейные напряжения:

Подстановка (12-3) э (12-2) дает:

Круговой заменой индексов (с порядком следования АВСА и т. д.) находятся:

(12-4)

По фазным напряжениям нагрузки находятся фазные токи.

В случае симметричной нагрузки ¥_л = У_в = У_с век­тор фазного напряжения равен одной трети диагонали параллелограмма, построенного на соответствующих ли­нейных напряжениях. Фазные напряжения в этом случае определяются векторами, соединяющими центр тяжести треугольника напряжений (точка пересечения медиан) с вершинами треугольника,, —

На рис. 12-15 построение сделано для фазы Л по фор­муле (12-4):

В качестве примера рассмотрим схему фазоуказателя, используемую для определения чередования фаз по времени, состоящую из конденсатора и двух одинаковых электрических ламп, соединенных звездой 1 .

Рис. 12-15. Нахож­дение фазных на­пряжений.

Рис. 12-16. Несимметричная трехфазная нагрузка, соеди­ненная треугольником.

Положим, что конденсатор присоединен к фазе Л, лампы — к фазам В и С; емкостное сопротивление кон­денсатора берется равным по величине сопротивлению лампы, т. е. Z_A = —jx_c, Z_B = Z_c = г, причем х_с = г.

Неравенство напряжений на лампах проявится в том, что накал ламп будет разным. Отношение напряжений согласно выведенным выше выражениям (12-4) равно при симметрии линейных напряжений:

Следовательно, лампа, присоединенная к фазе В (т. е. к фазе, опережающей ту, к которой присоединена вторая лампа), будет светить ярко, а лампа, присоеди­ненная к отстающей фазе, — тускло.

1 Для определения чередования фаз на практике обычно поль­зуются специальным прибором, в котором создается вращающееся магнитное поле (см. § 12-6), увлекающее за собой диск в ту или дру­гую сторону.

Вместо конденсатора можно применить индуктивную катушку, подобрав ее индуктивное сопротивление приб­лизительно равным по величине сопротивлению лампы. В этом случае ярче будет светить лампа, присоединенная к отстающей фазе. Эти соотношения также могут быть получены непосредственно из векторной диаграммы.

3. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединен­ная треугольником, с заданными напряжениями на за­жимах (рис. 12-16).

Если на зажимах несимметричной трехфазной нагруз­ки, соединенной треугольником, заданы линейные напря­жения uab, ubc и uca (рис. 12-16), то токи в сопротив­лениях нагрузки равны:

Токи в линии определяются как разности соответствующих

Если на зажимах несимметричной трехфазной нагруз­ки, соединенной треугольником, заданы фазные напря­жения Uа, й_в и l/c источника, соединенного в звезду, то линейные напряжения на зажимах нагрузки находятся как разности соответствующих фазных напряжений, в результате чего задача сводится к только что рассмот­ренному случаю (рис. 12-16).

1 Таким образом, термином «фаза» в электротехнике обозначаются два понятия: угол, определяющий стадию периодического процесса, и составная часть многофазной цепи.

2 Следует отметить, что на практике применяются также трехфазные генераторы, в которых полюсы неподвижны, а обмотки вращаются.

Источник