Метод узловых потенциалов
Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома. Для того, чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В том случае, когда п-1
1. Записываем (n – 1) уравнение по I закону Кирхгофа (при выбранном опорном узле 4, потенциал которого условно принимаем равным нулю)
2. Для каждого из m токов записываем выражение по обобщенному закону Ома через потенциалы узлов с учетом, что потенциал 4 = 0:
3. Полученные в п. 2 выражения подставляем в уравнения, составленные по I закону Кирхгофа
Приведем подобные слагаемые при различных потенциалах и получим каноническую систему уравнений:
(2.10)
В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:
(2.11)
(2.12)
Собственная проводимость узла (Gii) представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i-ом узле.
Общая проводимость i-ого и j-ого узлов (Gij = Gji) представляет собой взятую со знаком «–» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i-ому и j—ому узлам.
Проводимости ветвей с источниками тока полагаются равными нулю и в собственные и общие проводимости не входят!
Узловой ток (Jii) состоит из двух алгебраических сумм: первая содержит токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i —ом узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i —ом узле. Со знаком «+» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «–» остальные.
Решение системы уравнений по методу узловых потенциалов в общем случае выполняется методом Крамера при помощи определителей:
Тогда неизвестные потенциалы могут вычислены следующим образом:
(2.14)
Нетрудно, показать, что аналогичную систему уравнений можно построить для случая n узлов в цепи. Тогда необходимо составить для (n-1) узлов соответствующие уравнения, полагая потенциал n-ого узла, равным нулю.
Таким образом, методика расчета цепи постоянного тока методом узловых потенциалов следующая:
Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.
Произвольно выбрать опорный узел (n)и пронумеровать все остальные (n-1)-e узлы.
Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений.
Записать систему уравнений в виде
–матричная форма
В этой системе каждому узлу соответствует отдельное уравнение.
Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных (n – 1) потенциалов при помощи метода Крамера.
С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неизвестные токи.
Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.
Порядок расчета не зависит от вида источников, действующих в цепи. Однако, расчет упрощается в случае, когда между одной или несколькими парами узлов включены идеализированные источники ЭДС. Тогда напряжения между этими парами узлов становятся известными величинами, определенными условиями задачи. Для успешного решения подобных задач необходимо правильно обозначить опорный узел, в качестве которого может быть выбран только один из узлов, к которым присоединена ветвь с идеализированным источником ЭДС.
Если таких ветвей q, то количество уравнений в системе сократится до
Если в данной схеме в качестве опорного узла выбрать узел 1 (1=0), то потенциалы второго и третьего узлов можно считать известными и равными соответственно 2=E1 и 3=E1–E2. Тогда неизвестным остается только потенциал четвертого узла, для которого составим уравнение по методу узловых потенциалов:
Следует отметить, что уравнения для 2 и 3 узлов составить не представляется возможным из-за появляющихся неопределенностей вида 
, т.к. сопротивление ветви, содержащей идеализированный источник ЭДС, равно нулю, а проводимость соответственно
.
Подставим известные значения:
Из полученного уравнения найдем неизвестный 
, а далее и все токи.
Для разветвленной цепи, имеющей только два узла и произвольное количество ветвей, метод узловых потенциалов вырождается в метод двух узлов. Решение сводится к отысканию значения потенциала одного из узлов, т.к. потенциал другого узла может быть принятым равным нулю.
Система уравнений превращается в одно уравнение:
(2.15)
при условии, что 
После определения U12 токи ветвей и напряжения источников тока находят при помощи обобщенного закона Ома.
Пусть 
, тогда
Источник
2.6.3 Анализ (расчет) сложных электрических цепей методом узловых потенциалов
Важным и часто используемым в электротехнике и радиоэлектронике методом расчета цепей является метод узловых потенциалов (МУП), иногда называемый методом узловых напряжений.
Сущность метода узловых потенциалов заключается в следующем: если были бы известны потенциалы узлов электрической схемы, то токи в ветвях схемы можно было бы легко найти по закону Ома для участка цепи.
Далее рассмотрим метод узловых потенциалов более подробно для той же, что и ранее, схемы сложной электрической цепи, приведенной на рис. 2.2. Для этого преобразуем исходную анализируемую схему рис. 2.2 к виду, показанному на рис. 2.7. Схема, приведенная на рис. 2.7, отличается от исходной схемы рис. 2.2 тем, что в ней источники ЭДС и 
преобразованы в эквивалентные источники тока 
и 
, соответственно. Такое преобразование соответствует обратному показанному ранее пересчету источника тока (рис. 2.4, а) в источник ЭДС (рис. 2.4, б). В результате пересчета эквивалентные источники тока и оказываются равны:
, (2.35)
, (2.36)
Итак, пересчитав источники ЭДС и в эквивалентные им источники тока и , получаем схему анализируемой цепи в виде, показанном на рис. 2.7.
Приступим к составлению уравнений по методу узловых потенциалов. Для этого запишем токи всех ветвей схемы рис. 2.7 через потенциалы узлов схемы в предположении, что величины потенциалов узлов схемы известны:
. (2.37)
. (2.38)
. (2.39)
. (2.40)
. (2.41)
. (2.42)
После того, как все токи ветвей схемы рис. 2.7 выражены через потенциалы узлов этой схемы, можно подставить эти токи в уравнения первого закона Кирхгофа (2.5):
. (2.43)
Система уравнений (2.43) уже представляет собой систему уравнений, составленную по методу узловых потенциалов. Уравнения, входящие в систему (2.43), называют узловыми уравнениями. При этом следует учесть, что система уравнений первого закона Кирхгофа (2.5) содержит уравнения для узлов анализируемой схемы рис. 2.7, а соответствующее уравнение для узла исключено из системы как линейно зависимое. Соответственно этому, и полученная система узловых уравнений (2.43) включает уравнения для узлов , и не содержит уравнения для узла . Это соответствует потенциалу узла , равному нулю (физически это означает, что узел заземлен):
. (2.44)
Заземленный узел (2.44) называют опорным.
Заметим следующее: если заземлить узел d схемы рис. 2.7, то режим работы цепи не изменится, так как при заземлении одного из узлов линейной электрической схемы меняются только абсолютные значения потенциалов, а их разности, определяющие падения напряжения и токи в схеме, остаются неизменными. С учетом (2.44) система уравнений (2.43) примет вид:
. (2.45)
Приведя подобные в левых частях уравнений системы (2.45), и перенеся в правые части этих уравнений токи источников тока, получим:
. (2.49)
Рис. 2.7. Анализируемая схема сложной электрической цепи, преобразованная для метода узловых потенциалов
Величины 
в первом уравнении системы (2.46), 
во втором уравнении, 
в третьем уравнении представляют собой суммы проводимостей всех ветвей, сходящихся в том узле, для которого составляется данное узловое уравнение (см. схему рис. 2.7). Такие суммы проводимостей, сходящихся в одном узле, называют узловой проводимостью. Тогда узловые проводимости 
узла , 
узла и 
узла будут записаны так:
, (2.47)
, (2.48)
, (2.49)
где проводимости отдельный ветвей схемы рис. 2.7 определены как величины, обратные их сопротивлениям:
. (2.50)
Кроме узловых проводимостей, в левой части уравнений системы (2.46), имеются так называемые межузловые проводимости. Межузловая проводимость – это проводимость, соединяющая два смежных узла. Например, между узлами и схемы рис. 2.7 включено сопротивление , проводимость которого равна 
; поскольку эта проводимость в схеме включена между узлами и , её называют межузловой проводимостью и обозначают как 
или 
. Аналогично можно определить и обозначить и другие межузловые проводимости. Для схемы рис. 2.7 запишем все межузловые проводимости:
. (2.51)
Межузловые проводимости с участием узла мы не рассматриваем, так как узловое уравнение для него в системе узловых уравнений (2.46) отсутствует (так как ).
После введения понятий узловой проводимости (2.47) – (2.50) и межузловой проводимости (2.51), система узловых уравнений (2.46) примет вид:
, (2.52)
Закономерность, наблюдаемая в структуре узловых уравнений полученной системы (2.52), может быть сформулирована как правило составления узловых уравнений: в левой части узлового уравнения для рассматриваемого узла записывают потенциал этого узла, умноженный на узловую проводимость, минус потенциал каждого из смежных узлов, умноженный на соответствующую межузловую проводимость, а в правой части уравнения записывают алгебраическую сумму токов, сходящихся в этом узле (втекающие в узел – с плюсом, вытекающие – с минусом).
Учтем, однако, что представленная выражением (2.52) система узловых уравнений очень удобна для формулировки правила составления узловых уравнений. Для практического же использования систему узловых уравнений (2.46) и (2.52) следует переписать в ином виде. Если записать в правых частях уравнений этой системы те источники токов и ЭДС, которые имеют место в анализируемой схеме рис. 2.7, а в левых частях – сопротивления, установленные в этой схеме, то можно получить удобный для практических расчетов вид узловых уравнений:
. (2.53)
Представленная в таком виде (2.53) система узловых уравнений может быть непосредственно использована для проведения численных расчетов токов цепи, представленной на схеме рис. 2.7.
Сформулируем последовательность расчета (анализа) сложных электрических и радиоэлектронных схем методом узловых потенциалов:
— заданную для анализа (расчета) электрическую схему перерисовывают с указанием на ней направлений искомых токов ветвей и обозначением узлов;
— источники ЭДС пересчитывают в эквивалентные источники тока;
— записывают систему уравнений по первому закону Кирхгофа для каждого узла;
— записывают соотношения для токов ветвей через разности потенциалов между узлами в схеме и учитывают при этом источники тока (если они есть);
— решают полученную систему уравнений и вычисляют значения потенциалов узлов схемы в схеме;
— через соотношения токов ветвей и потенциалов узлов рассчитывают значения токов во всех ветвях схемы;
— полученные значения токов ветвей подставляют в уравнения первого закона Кирхгофа для токов ветвей и проверяют правильность решения уравнений.
Заметим, что, поскольку число одновременно решаемых уравнений в методе контурных токов равно числу независимых узлов цепи, то наиболее разумным представляется использование метода узловых потенциалов для электрических или радиотехнических схем так называемого параллельного типа, в которых число узлов минимально.
Источник