Расчет разветвленных цепей при наличии взаимной индукции

4.4. Методы расчёта разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности

Для расчёта таких цепей основными методами являются метод двух законов Кирхгофа и метод контурных токов в комплексной форме.

Метод двух законов Кирхгофа.

Составление уравнений в комплексной форме по законам Кирхгофа рассмотрено в главе 3. При наличии в цепи катушек с взаимной индуктивностью в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, надо учесть напряжения взаимной индукции. Для определения знака напряжения взаимной индукции необходимо применить следующее правило:

если направление обхода по данной катушке и направление тока в другой катушке, создающего напряжение взаимной индукции в данной катушке, одинаковое относительно одноименных зажимов этих катушек, то напряжение взаимной индукции данной катушки будет иметь знак «плюс». В противном случае напряжение взаимной индукции берётся со знаком «минус».

С оставим уравнения по законам Кирхгофа для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 4.10. В цепи имеются три индуктивно связанные катушки, индуктивности которых равны , , и взаимные индуктивности , . К цепи подключён источник синусоидальной ЭДС Е.

Так как схема имеет два узла, по первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение: ; (4.27)

По второму закону Кирхгофа составляем два уравнения (направление обхода по контурам на схеме обозначено пунктирными линиями).

; (4.28)

; (4.29)

 напряжение взаимной индукции второй катушки , вызванное током первой катушки взято со знаком «плюс» потому, что направление обхода по второй катушке (от начала к концу) и направление тока в первой катушке (от конца к началу) одинаковое по отношению к одноимённым зажимам;

 напряжение взаимной индукции второй катушки , вызванное током третьей катушки взято со знаком «минус» потому, что направление обхода по второй катушке (от начала к концу) и направление тока в третьей катушке (от конца к началу) разное по отношению к одноимённым зажимам.

Аналогично определён знак напряжений взаимной индукции , , , .

При составлении уравнений этим методом собственные сопротивления контуров и взаимные сопротивления смежных контуров должны учитывать сопротивления взаимной индукции.

Д

ля схемы (рис. 4.10) уравнения контурных токов в общем виде запишутся следующим образом: ;

,

где собственные сопротивления контуров:

;

;

взаимные сопротивления смежных контуров: ;

контурные ЭДС: ; .

Метод узловых потенциалов непосредственно к расчёту цепей с взаимной индуктивностью непригоден. Объясняется это тем, что ток в любой ветви зависит не только от ЭДС, находящегося в ней источника и от потенциалов тех узлов, к которым ветвь присоединена, но и от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции. Поэтому нельзя простым путём выразить токи ветвей через потенциалы узлов и ЭДС источников, как в цепях без индуктивно связанных элементов.

Метод эквивалентного генератора применим только в том случае, когда отсутствует индуктивная связь между ветвью, в которой рассчитывается ток, и ветвями активного двухполюсника.

Формулы, выведенные в главе 3 для преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно, при наличии в цепи индуктивных связей непригодны.

Источник

Расчет цепей при наличии взаимной индуктивности

Рассмотрение данного вопроса начнём с простейших способов соединения двух индуктивно связанных катушек: параллельного и последовательного. При этом будем использовать комплексный метод расчета.

Последовательное согласное соединение катушек

Рис.6.88. Последовательное согласное соединение двух катушек

Направление тока относительно маркированных зажимов первой и второй катушек одинаковое. Составим уравнение электрического равновесия для данного участка цепи (Рис. 6 .88) с учётом индуктивной связи по второму закону Кирхгофа:

Рис.6.89.Векторная диаграмма для последовательного согласного соединения двух катушек

;

.124(6.118)

Из полученного выражения следует, что при согласном соединении катушек общая индуктивность возрастает на величину 2М. В частном случае приМ = 0уравнение упрощается. Используя полученное выражение, построим векторную диаграмму для данного способа соединения (Рис. 6 .89).

Введём параметр Z_м = jωMи назовём его сопротивлением взаимной индукции.

Последовательное встречное соединение

Рис.6.90. Последовательное встречное включение катушек

Используя полученные ранее соотношения, можно записать аналогичное уравнение для встречного соединения тех же катушек.

125(6.119)

Рис.6.91. Векторная диаграмма для последовательного встречного соединения двух катушек

Для данного способа соединения общая индуктивность уменьшится на 2М.Аналогичным образом построим векторную диаграмму для встречного соединения катушек.

Параллельное согласное соединение

Составим систему уравнений для расчета цепи по законам Кирхгофа для схемы по рис.6.9

;

.

;

Решим полученную систему уравнений относительно токов.

;126(6.120)

;127(6.121)

Рис.6.92. Параллельное согласное включение катушек.

В случае, когда М = 0, получим:;

Параллельное встречное соединение

Для схемы, представленной на рис.6.10 уравнение электрического равновесия будет иметь вид:

;

;

;

Решение данной системы уравнений:

(6.122)

Соответствующие векторные диаграммы строятся аналогично случая последовательного соединения данных катушек.

Расчет разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности

Расчёт разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности представляется более сложным этапом. Он осуществляется с помощью законов Кирхгофа либо методов контурных токов. Отметим, что метод узловых потенциалов в данном случае не применим, поскольку токи в ветвях определяются не только разностью потенциалов соседних узлов, но и токами других ветвей, с которыми они связаны индуктивно. Пусть имеются три индуктивно связанные катушки, намотанные на общий сердечник, выполненный из немагнитного материала и подключённые к двум источникам ЭДС. Получим электрическую схему вида (Рис. 6 .93).

Выберем в качестве расчётного метод контурных токов и составим систему уравнений относительно заданных на схеме контурных токов.

Решив систему, получим:;;.

Рис.6.93. Электрическая схема с индуктивно связанными катушками

«Развязывание» магнитосвязанных цепей

Отличительной особенностью расчёта цепей со взаимной индуктивностью является то, что приходится одновременно учитывать электрические и магнитные связи. Расчёт цепей упростится, если теми или иными методами исключить магнитную связь и свести данную цепь к чисто электрической. Это возможно, если прибегнуть к развязыванию магнитных связей, при этом в составе цепи появятся новые дополнительные элементы.

В схеме Рис. 6 .94 катушки L₁ иL₂индуктивно связаны. Рассмотрим два варианта их соединения. В узлеС они могут соединяться как одноименными, так и разноименными зажимами.

1) Пусть в узле С катушки соединены разноимёнными зажимами. Составим уравнения по законам Кирхгофа с учётом индуктивной связи.

Преобразуем систему уравнений к следующему виду:

Рис.6.95. Схема после «развязывания» магнитных связей при соединении катушек в узле разноименными зажимами

2) Если в узле Скатушки соединены одноимёнными зажимами, аналогичные рассуждения позволили бы получить следующую схему:

Рис.6.96. Схема после «развязывания» магнитных связей при соединении катушек в узле одноименными зажимами

Для обоих случаев определим выражения при условии, получим:, _.

Для разноимённого соединения:

. (6.123)

Для одноимённого соединения:

. (6.124)

Оставаясь неизменным по модулю в обоих случаях, в первом случае напряжение отстаёт на определённый угол, а во втором варианте опережает ток. При этом ток не зависит от способа соединения катушек:

;

Появление параметра Мв процессе процедуры развязывания говорит о том, что в состав цепи искусственно вводится некоторая дополнительная индуктивностьМ.Для Рис. 6 .95 введенный элемент с сопротивлением ( jωM)имеет емкостной характер, для рис.6.13 – индуктивный ( jωM).

Источник