2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока
Расчет магнитных цепей при постоянных токах
Основанием к расчету магнитных цепей служат: первый закон Кирхгофа для магнитных цепей и закон полного тока — второй закон Кирхгофа для магнитных цепей.
Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей гласит: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю.
Закон полного тока применяется к замкнутому контуру, образованному средними магнитными линиями магнитной цепи и имеет вид:
∫ H → ⋅ d l → = ∑ H ⋅ l — падение магнитного напряжения UM = H·l в контуре;
F = ∑ I ⋅ w — магнитодвижущая сила контура (м. д. с.).
Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей сформулируем следующим образом: алгебраическая сумма магнитных напряжений UM = H·l в замкнутом контуре магнитной цепи ( ∑ U M = ∑ H ⋅ l ) равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил F = I·w в том же контуре ( ∑ F = ∑ I ⋅ w ) :
Задачи на расчет магнитной цепи могут быть двух видов: прямая задача на расчет магнитной цепи — когда задан поток и требуется рассчитать магнитодвижущую силу (м. д. с.) и обратная задача на расчет магнитной цепи — когда по заданной м. д. с. требуется рассчитать магнитный поток.
В обоих случаях должны быть известны геометрические размеры магнитной цепи и заданы кривые намагничивания ее материалов.
Алгоритм прямой задачи расчета неразветвленной магнитной цепи
Дана конфигурация и геометрические размеры неразветвленной магнитной цепи, кривая (или кривые) намагничивания магнитного материала и магнитный поток или индукция магнитного поля в каком-либо сечении. Требуется найти магнитодвижущую силу, ток или число витков намагничивающей обмотки.
Расчет проводим в соответствии с алгоритмом:
1. Разбиваем магнитную цепь на однородные (из одного магнитного материала) участки постоянного сечения и определяем длины lk и площади поперечного сечения Sk участков. Длины участков (в метрах) берем по средней силовой линии.
2. Исходя из постоянства потока вдоль всей неразветвленной магнитной цепи, по заданному магнитному потоку Ф и сечениям Sk участков находим магнитные индукции на каждом участке:
Если задана магнитная индукция на каком-либо участке магнитной цепи, то магнитный поток вдоль всей неразветвленной цепи
3. По найденным магнитным индукциям Bk участков цепи и кривой намагничивания материала k-го участка цепи (например, рис. 2.1, табл. 2.1) определяем напряженности поля Hk на каждом участке магнитной цепи.
Напряженность поля в воздушном зазоре находим по формуле
H в о з д = B в о з д μ 0 = B в о з д 4 π ⋅ 10 − 7 .
4. Подсчитаем сумму падений магнитных напряжений UMk = Hk·lk вдоль всей магнитной цепи ∑ U M k = ∑ H k ⋅ l k и на основании второго закона Кирхгофа для магнитной цепи приравниваем сумме магнитодвижущих сил Fk = Ik·wk вдоль всей магнитной цепи:
Основным допущением при расчете является то, что магнитный поток вдоль всей неразветвленной магнитной цепи полагаем неизменным. В действительности не большая часть потока всегда замыкается, минуя основной путь. Этот поток называют потоком рассеяния.
Единицы измерения магнитных величин
B — индукция магнитного поля, Тл (Тесла);
H — напряженность магнитного поля, А/м (Ампер/метр);
Ф — поток индукции магнитного поля, Вб (Вебер);
F = I·w — магнитодвижущая сила (м. д. с.), А (Ампер);
μ 0 = 4 π ⋅ 10 − 7 Гн/м — магнитная постоянная.
Рис. 2.1 Кривые намагничивания стали и чугуна
Таблица 2.1 — Данные основной кривой намагничивания листовой электротехнической стали Э11
Примеры пользования таблицей:
1) При B = 0,80 Вб/м 2 : H = 318 А/м; при B = 0,85 Вб/м 2 : H = 352 А/м.
2) При B = 1,13 Вб/м 2 : H = 701 А/м.
Задача 2.1. На рис. 2.2 изображен разрез трех катушек, по которым проходят токи I1 = 8 А, I2=10 А и I3 = 5 А.
Катушки размещены на стальном сердечнике. Первая катушка (левая) w1 имеет 8 витков, вторая (средняя) w2 — 10 витков и третья (правая) w3 — 6 витков. Определить полную магнитодвижущую силу (м. д. с.) по замкнутым контурам а, b, с, d, е, f, показанным на рис. 2.2. Контур е охватывает катушки w’2 с 4 витками и w’3 с 2 витками.
Изменится ли результат решения задачи, если при тех же данных катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала?
Воспользуемся законом полного тока. Линейный интеграл вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равен алгебраической сумме токов, проходящих сквозь поверхность, ограничиваемую контуром интегрирования,
Пользуясь законом полного тока, найдем:
∫ a H → ⋅ d l → = w 1 ⋅ I 1 = 8 ⋅ 8 = 64 А ; ∫ b H → ⋅ d l → = − w 1 ⋅ I 1 = − 8 ⋅ 8 = − 64 А ; ∫ c H → ⋅ d l → = w 2 ⋅ I 2 − w 1 ⋅ I 1 = 10 ⋅ 10 − 8 ⋅ 8 = 36 А ; ∫ d H → ⋅ d l → = w 1 ⋅ I 1 − w 2 ⋅ I 2 + w 2 ⋅ I 2 + w 3 ⋅ I 3 = 8 ⋅ 8 + 6 ⋅ 5 = 94 А ; ∫ e H → ⋅ d l → = w ′ 2 ⋅ I 2 − w ′ 3 ⋅ I 3 = 4 ⋅ 10 + 2 ⋅ 5 = 50 А ; ∫ f H → ⋅ d l → = 2 w 3 ⋅ I 3 = 2 ⋅ 6 ⋅ 5 = 60 А .
В правой части последнего выражения коэффициент 2 учитывает то обстоятельство, что витки w3 охватываются контуром интегрирования (циркуляции) дважды.
Следует заметить, что при пользовании правилом винта необходимо всегда сопоставлять направление обхода по контуру циркуляции с направлениями токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром циркуляции.
Результаты решения задачи не изменятся, если катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала, так как м. д. с. определяется только величиной полного тока и не зависит от магнитных свойств вещества.
Задача 2.2. Определить магнитодвижущую силу (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), необходимую для получения магнитного потока в 5,9·10 –4 Вб в кольцеобразном сердечнике, сечением S = 5 см 2 . Длина средней линии магнитной индукции l = 25 см.
Определить Н (напряженность магнитного поля в сердечнике) и μ r (относительная магнитная проницаемость материала сердечника). Материал сердечника — слаболегированная электротехническая листовая сталь Э11.
Найдем магнитную индукцию
B = Ф S = 5,9 ⋅ 10 − 4 5 ⋅ 10 − 4 = 1,18 В б м 2 .
По кривой намагничивания для стали Э11 найдем, что индукции B = 1,18 Вб/м 2 соответствует H = 800 А/м.
Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)
Определим абсолютную магнитную проницаемость:
μ a = B H = 1,18 800 = 1475 ⋅ 10 − 6 Г н м .
Магнитная проницаемость (относительная магнитная проницаемость)
μ r = μ a μ 0 = 1475 ⋅ 10 − 6 4 π ⋅ 10 − 7 = 1175.
Задача 2.3. На рис. 2.3 изображен электромагнит, сердечник которого изготовлен из слаболегированной листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали.
Какой ток должен быть пропущен через обмотку электромагнита (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), состоящую из w = 500 витков, для того, чтобы в якоре была создана магнитная индукция в 0,84 Вб/м 2 . Размеры на рис. 2.3 даны в миллиметрах. Длина воздушного зазора δ = 1 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сечения сердечника (пренебрегаем потоком рассеяния). Чему равна статическая индуктивность электромагнита?
Это пример прямой задачи на расчет магнитной цепи. На рис. 2.3 пунктиром проведена средняя линия магнитной индукции (приближенно). Длина проходящей вдоль сердечника части средней линии магнитной индукции abсd = l1 = 0,28 м. Сечение сердечника S1 = 2·2 = 4 см 2 = 4·10 –4 м 2 .
Сечение якоря S2 = 2·2,5 = 5 см 2 = 5·10 –4 м 2 , длина проходящей через него части средней линии магнитной индукции efgh = l2 = 0,16 м. Магнитная индукция в якоре B2 = 0,84 Вб/м 2 (по условию задачи).
Из условия равенства магнитных потоков в якоре и в сердечнике (одноконтурная магнитная цепь, потоком рассеяния пренебрегаем)
найдем магнитную индукцию в сердечнике:
B 1 = B 2 ⋅ S 2 S 1 = 0,84 ⋅ 5 ⋅ 10 − 4 4 ⋅ 10 − 4 = 1,05 В б м 2 .
Сечение воздушного зазора, длина проходящей в нем части линии магнитной индукции и магнитная индукция равны:
S 3 = 4 ⋅ 10 − 4 м 2 ; l 3 = 2 δ = 2 ⋅ 10 − 3 м ; B 3 = 1,05 В б м 2 ,
напряженность магнитного поля в воздухе:
H 3 = B 3 μ 0 = 1,05 4 π ⋅ 10 − 7 = 84 ⋅ 10 4 А м .
Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)
В целях большей наглядности расчеты удобно свести в таблицу, в которой данные для напряженности магнитного поля в отдельных элементах магнитопровода взяты по соответствующим кривым намагничивания. Так, для сердечника, изготовленного из стали Э11, находим, что индукции B1 = 1,05 Вб/м 2 соответствует значение напряженности магнитного поля H1 = 570 А/м, а для якоря, изготовленного из литой стали, имеем, что величине B2 = 0,84 Вб/м 2 соответствует значение H2 = 540 А/м.
F = ∑ H k ⋅ l k = 160 + 85 + 1680 = 1925 А .
Искомый ток найдем, пользуясь формулой F = I·w:
Статическая индуктивность электромагнита равна отношению потокосцепления (полного магнитного потока) к току:
L с т = Ψ I = w ⋅ Ф I = 500 ⋅ 4,2 ⋅ 10 − 4 3,85 = 0,053 Г н = 053 м Г н .
Задача 2.4. Найти магнитную индукцию в якоре электромагнита (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изображенном на рис. 2.3, если на электромагнит намотано w = 250 витков, по которым проходит ток I = 4,4 А. Сердечник изготовлен из листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали. Размеры сердечника и якоря те же, что и в предыдущей задаче. Длина воздушного зазора 0,5 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сердечника.
Это пример обратной задачи на расчет магнитной цепи. Для ее решения надо построить кривую зависимости магнитного потока Ф в функции магнитодвижущей силы F и на кривой найти рабочую точку.
Чтобы построить кривую Ф = f (F) будем задаваться различными величинами магнитных потоков Ф, по которым вычисляем соответствующие им значения магнитной индукции B в каждом из участков магнитной цепи. Затем по кривым намагничивания находим напряженность поля H, соответствующую каждому значению индукции B, и, наконец, вычисляем магнитодвижущую силу по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)
Так, например, примем Ф = 3,2·10 –4 Вб. Тогда
B с ер д = Ф S с ер д = 3,2 ⋅ 10 − 4 4 ⋅ 10 − 4 = 0,8 В б м 2 ; B я к = Ф S я к = 3,2 ⋅ 10 − 4 5 ⋅ 10 − 4 = 0,64 В б м 2 ; B з а з = B се р д = 0,8 В б м 2 .
По кривым намагничивания находим напряженности магнитного поля:
H се р д = 318 А м ; H я к = 330 А м ; H з а з = B з а з μ 0 = 0,8 4 π ⋅ 10 − 7 = 64 ⋅ 10 4 А м .
F = H се р д ⋅ l с ер д + H я к ⋅ l я к + H з а з ⋅ l з а з = = 318 ⋅ 0,28 + 330 ⋅ 0,16 + 64 ⋅ 10 4 ⋅ 10 − 3 = 780 А .
Эта магнитодвижущая сила меньше заданной, которая равна
Аналогично проводим расчеты для больших значений Ф, которые сведены в следующую таблицу:
Мы остановились на величине Ф = 4,4·10 –4 Вб потому, что для этого значения магнитного потока суммарная магнитодвижущая сила равна 1160 А, что больше заданных 1100 А. По данным расчетов построена кривая Ф = f (F) и на ней определена рабочая точка, которая при F = 1100 А соответствует значению магнитного потока в 4,24·10 –4 (рис. 2.4).
Следовательно, искомая индукция в якоре электромагнита
B я к = Ф S я к = 4,24 ⋅ 10 − 4 5 ⋅ 10 − 4 = 0,848 В б м 2 .
Обычно в технических расчетах значения магнитной индукции округляют до сотых долей Вб/м 2 (целые сотни гауссов); поэтому считаем Bяк = 0,85 Вб/м 2 .
Укажем, что задача могла бы быть решена и другим путем — методом проб: суть его состоит в том, что так же, как и выше, задаются некоторым значением магнитного потока Ф, для которого подсчитывают магнитодвижущую силу F. Если она окажется меньше заданной, то берут большие значения Ф до тех пор, пока не получат F больше заданной величины. После этого значения Ф, соответствующие большим и меньшим против заданного значениям F сужают до тех пор, пока для одного из сечений магнитной цепи полученные значения магнитной индукции будут различаться друг от друга не более чем на 0,1 Вб/м 2 (1000 Гс). Искомое значение Ф можно затем найти путем интерполирования.
Так, например, задаемся величиной Ф = 3,2·10 –4 Вб, которой соответствует магнитодвижущая сила F = 780 А, что меньше заданного значения Fзад = 1100 А. Теперь зададимся Ф’ = 4,4·10 –4 Вб, для которого найдем F’ = 1160 А; это больше заданной величины Fзад. Уменьшаем значение Ф, принимая его, например, равным 4·10 –4 Вб; ему соответствует значение F» = 1020 А, что вновь меньше заданной величины магнитодвижущей силы. Итак, при Ф» = 4·10 –4 Вб: B»як = 0,8 Вб/м 2 , а при Ф’ = 4,4·10 –4 Вб: B’як = 0,88 Вб/м 2 .
Таким образом, значения магнитной индукции B в одном из сечений (в данном случае в якоре) отличаются одно от другого менее, чем на 0,1 Вб/м 2 (0,88 — 0,8 = 0.08 Вб/м 2 ).
Окончательное значение магнитного потока найдем линейным интерполированием.
Из треугольника MNP (рис. 2.5) имеем:
Δ Ф 4,4 ⋅ 10 − 4 − 4 ⋅ 10 − 4 = 1100 − 1020 1160 − 1020 ,
Δ Ф = 0,23 ⋅ 10 − 4 В б , а Ф = 4 ⋅ 10 − 4 + 0,23 ⋅ 10 − 4 = 4,23 ⋅ 10 − 4 В б .
B я к = Ф S я к = 4,23 ⋅ 10 − 4 5 ⋅ 10 − 4 ≈ 0,85 В б м 2 .
Задача 2.5. Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре тороида (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изготовленного из литой стали (рис. 2.6), если на тороид намотано w = 400 витков, по которым проходит ток I = 4 А. Воздушный зазор = 2 мм. Размеры тороида на рисунке даны в мм.
Задача может быть решена аналогично предыдущей. Мы здесь укажем, как быстрее всего найти первое приближенное значение магнитного потока. Для этого предполагаем, что вся заданная магнитодвижущая сила F = I·w расходуется на ту часть магнитопровода, которая предполагается имеющей наибольшее магнитное сопротивление. Получаемое при этом значение магнитного потока будет завышено по сравнению с фактическим, ибо в расчете не были учтены магнитные сопротивления других участков цепи.
Полагая в нашем случае, что вся магнитодвижущая сила падает на магнитном сопротивлении воздушного зазора, запишем по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока):
F = I ⋅ w = H в о з д ⋅ δ = B μ 0 ⋅ δ ,
B = I ⋅ w ⋅ μ 0 δ = 4 ⋅ 400 ⋅ 4 π ⋅ 10 − 7 2 ⋅ 10 − 3 = 1,0 В б м 2 .
Так как это значение индукции, как указано выше, явно завышено, проведем новый расчет для меньшего значения магнитной индукции, например, для 0,8 Вб/м 2 . По кривой намагничивания для литой стали этой индукции соответствует величина напряженности магнитного поля Hст = 490 А/м.
Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока) при этом будет равна
F = H с т ⋅ l с т + H в о з д ⋅ δ = 490 ⋅ 0,785 + 0,8 4 π ⋅ 10 − 7 ⋅ 2 ⋅ 10 − 3 = 1650 А ,
что превышает заданную величину 1600 А.
Теперь проведем расчет для еще меньшей индукции B = 0,7 Вб/м 2 . Для нее по кривой намагничивания напряженность Hст = 380 А/м. Общая магнитодвижущая сила в этом случае будет
F = H с т ⋅ l с т + H в о з д ⋅ δ = 490 ⋅ 0,785 + 0,7 4 π ⋅ 10 − 7 ⋅ 2 ⋅ 10 − 3 = 1410 А ,
что меньше заданной величины 1600 А.
Таким образом, истинная величина индукции находится в пределах от 0,7 до 0,8 Вб/м 2 . Ее мы найдем интерполированием (рис. 2.7).
Искомая индукция B = 0,7 + Δ B , г д е Δ B находится из соотношения
Δ B 0,1 = 1600 − 1410 1650 − 1410 = 190 240 ,
Δ B = 190 240 ⋅ 0,1 ≈ 0,08 В б м 2 .
Итак, искомая индукция равна 0,78 Вб/м 2 (7800 Гс).
Задача 2.6. Определить все магнитные потоки и ток, проходящий через катушку, расположенную на среднем стержне сердечника, если в левом стержне имеется магнитная индукция в 0,95 Вб/м 2 . Размеры магнитопровода на рис. 2.8 даны в миллиметрах. Материал сердечника — листовая сталь Э11. Число витков катушки w = 500.
Покажем на рисунке средние линии магнитной индукции. По данным задачи найдем их длины:
Задачи на сложную разветвленную несимметричную магнитную цепь решаются на основании первого и второго законов Кирхгофа для магнитной цепи:
В уравнениях (2) и (3) HA, HB и HC соответственно напряженности магнитного поля в стержнях A, B и C.
Для магнитной индукции в левом стержне BA = 0,95 Вб/м 2 по кривой намагничивания для листовой стали найдем HA = 447 А/м.
H C = H A ⋅ l A l C = 447 ⋅ 60 70 = 384 А м .
По кривой намагничивания находим, что H = 384 А/м соответствует индукция BC = 0,89 Вб/м 2 .
Ф B = Ф A + Ф C = B A ⋅ S A + B C ⋅ S C = = 0,95 ⋅ 20 ⋅ 10 − 4 + 0,89 ⋅ 20 ⋅ 10 − 4 = 36,8 ⋅ 10 − 4 В б .
B B = Ф B S B = 36,8 ⋅ 10 − 4 40 ⋅ 10 − 4 = 0,92 В б м 2 .
Этой индукции по кривой намагничивания соответствует HB = 417 А/м. По уравнению (2) найдем
Задача 2.7. Магнитная цепь изготовлена из листовой электротехнической стали Э11. На средний стержень сердечника намотана катушка, содержащая w = 930 витков, по которым проходит ток I = 1 А (рис. 2.8). На всем участке A сечение магнитной цепи считать SA = 20 см 2 , на участке B — SB = 40 см 2 , на участке С — SC = 20 см 2 . Длины средних линий магнитной индукции каждого из участков считать равными: lA = 55 см, lB = 25 см, lC = 80 см.
Найти значения магнитной индукции во всех стержнях.
Выберем на рис. 2.8 пути средних линий магнитной индукции и запишем уравнения:
Построим кривые зависимостей
Здесь UMnq — разность скалярных магнитных потенциалов точек n и q, или магнитодвижущая сила между теми же точками.
Для построения кривой f1 задаемся различными величинами магнитных потоков ФA, по которым находим соответствующие им значения магнитной индукции BA, для которых по кривой намагничивания определяем напряженность магнитного поля HA. Беря произведение HA·lA, находим для различных потоков значения магнитных напряжений на участке A. Результаты вычислений сводим в таблицу. Таким же путем производим расчет для построения кривой на участке C. Наконец, для построения кривой f2 (участок B) задаемся значениями ФB и по ним находим BB, HB, HB·lB и разность I·w — HB·lB. Указанные вычисления сведены в таблицу.
Источник