Расчет электрических цепей теория

Электрические цепи для чайников: определения, элементы, обозначения

Эта статья для тех, кто только начинает изучать теорию электрических цепей. Как всегда не будем лезть в дебри формул, но попытаемся объяснить основные понятия и суть вещей, важные для понимания. Итак, добро пожаловать в мир электрических цепей!

Хотите больше полезной информации и свежих новостей каждый день? Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Электрические цепи

Электрическая цепь – это совокупность устройств, по которым течет электрический ток.

Рассмотрим самую простую электрическую цепь. Из чего она состоит? В ней есть генератор – источник тока, приемник (например, лампочка или электродвигатель), а также система передачи (провода). Чтобы цепь стала именно цепью, а не набором проводов и батареек, ее элементы должны быть соединены между собой проводниками. Ток может течь только по замкнутой цепи. Дадим еще одно определение:

Электрическая цепь – это соединенные между собой источник тока, линии передачи и приемник.

Конечно, источник, приемник и провода – самый простой вариант для элементарной электрической цепи. В реальности в разные цепи входит еще множество элементов и вспомогательного оборудования: резисторы, конденсаторы, рубильники, амперметры, вольтметры, выключатели, контактные соединения, трансформаторы и прочее.

Электрическая цепь

Кстати, о том, что такое трансформатор, читайте в отдельном материале нашего блога.

По какому фундаментальному признаку можно разделить все цепи электрического тока? По тому же, что и ток! Есть цепи постоянного тока, а есть – переменного. В цепи постоянного тока он не меняет своего направления, полярность источника постоянна. Переменный же ток периодически изменяется во времени как по направлению, так и по величине.

Сейчас переменный ток используется повсеместно. О том, что для этого сделал Никола Тесла, читайте в нашей статье.

Элементы электрических цепей

Все элементы электрических цепей можно разделить на активные и пассивные. Активные элементы цепи – это те элементы, которые индуцируют ЭДС. К ним относятся источники тока, аккумуляторы, электродвигатели. Пассивные элементы – соединительные провода и электроприемники.

Приемники и источники тока, с точки зрения топологии цепей, являются двухполюсными элементами (двухполюсниками). Для их работы необходимо два полюса, через которые они передают или принимают электрическую энергию. Устройства, по которым ток идет от источника к приемнику, являются четырехполюсниками. Чтобы передать энергию от одного двухполюсника к другому им необходимо минимум 4 контакта, соответственно для приема и передачи.

Резисторы – элементы электрической цепи, которые обладают сопротивлением. Вообще, все элементы реальных цепей, вплоть до самого маленького соединительного провода, имеют сопротивление. Однако в большинстве случаев этим можно пренебречь и при расчете считать элементы электрической цепи идеальными.

Существуют условные обозначения для изображения элементов цепи на схемах.

Кстати, подробнее про силу тока, напряжение, сопротивление и закон Ома для элементов электрической цепи читайте в отдельной статье.

Вольт-амперная характеристика – фундаментальная характеристика элементов цепи. Это зависимость напряжения на зажимах элемента от тока, который проходит через него. Если вольт-амперная характеристика представляет собой прямую линию, то говорят, что элемент линейный. Цепь, состоящая из линейных элементов – линейная электрическая цепь. Нелинейная электрическая цепь – такая цепь, сопротивление участков которой зависит от значений и направления токов.

Какие есть способы соединения элементов электрической цепи? Какой бы сложной ни была схема, элементы в ней соединены либо последовательно, либо параллельно.

При решении задач и анализе схем используют следующие понятия:

• Ветвь – такой участок цепи, вдоль которого течет один и тот же ток;
• Узел – соединение ветвей цепи;
• Контур – последовательность ветвей, которая образует замкнутый путь. При этом один из узлов является как началом, так и концом пути, а другие узлы встречаются в контуре только один раз.

Чтобы понять, что есть что, взглянем на рисунок:

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Классификация электрических цепей

По назначению электрические цепи бывают:

• Силовые электрические цепи;
• Электрические цепи управления;
• Электрические цепи измерения;

Силовые цепи предназначены для передачи и распределения электрической энергии. Именно силовые цепи ведут ток к потребителю.

Также цепи разделяют по силе тока в них. Например, если ток в цепи превышает 5 ампер, то цепь силовая. Когда вы щелкаете чайник, включенный в розетку, Вы замыкаете силовую электрическую цепь.

Электрические цепи управления не являются силовыми и предназначены для приведения в действие или изменения параметров работы электрических устройств и оборудования. Пример цепи управления – аппаратура контроля, управления и сигнализации.

Электрические цепи измерения предназначены для фиксации изменений параметров работы электрического оборудования.

Расчет электрических цепей

Рассчитать цепь – значит найти все токи в ней. Существуют разные методы расчета электрических цепей: законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Рассмотрим применение метода контурных токов на примере конкретной цепи.

Сначала выделим контуры и обозначим ток в них. Направление тока можно выбирать произвольно. В нашем случае – по часовой стрелке. Затем для каждого контура составим уравнения по 2 закону Кирхгофа. Уравнения составляются так: Ток контура умножается на сопротивление контура, к полученному выражению добавляются произведения тока других контуров и общих сопротивлений этих контуров. Для нашей схемы:

Полученная система решается с подставкой исходных данных задачи. Токи в ветвях исходной цепи находим как алгебраическую сумму контурных токов

Какую бы цепь Вам ни понадобилось рассчитать, наши специалисты всегда помогут справится с заданиями. Мы найдем все токи по правилу Кирхгофа и решим любой пример на переходные процессы в электрических цепях. Получайте удовольствие от учебы вместе с нами!

Источник

1. Основные понятия теории цепей

Описание работы и расчет (моделирование) электрических устройств можно проводить на базе теории электромагнитного поля. Этот подход приводит к сложным математическим моделям (системам дифференциальных уравнений в частных производных) и используется в основном при анализе сверхвысокочастотных устройств и антенн.

Значительно проще и удобнее моделировать электрические устройства на основе уравнений электрического равновесия токов и напряжений. На этой основе построена теория электрических цепей.

Заряд, ток, напряжение, мощность, энергия

Электрическим зарядомназывают источник электрического поля, через которое заряды взаимодействуют друг с другом [3]. Электрические заряды могут быть положительными (ионы) и отрицательными (электроны и ионы). Разноименные заряды притягиваются, а одноименные – отталкиваются. Величина заряда измеряется в кулонах (К).

Величина (сила) тока равна отношению бесконечно малого заряда (количества электричества) , переносимого в данный момент временичерез поперечное сечение проводника за бесконечно малый интервал временик величине этого интервала,

. (1.1)

Ток измеряется в амперах (А), в технике широко используют значения в миллиамперах (1 мА=10 -3 А), микроамперах (1 мкА=10 -6 А) и наноамперах (1 нА=10 -9 А), значения дольных приставок приведены в приложении 1.

Электрический потенциалнекоторой точки – это величина, равная отношению потенциальной энергии, которой обладает зарядв этой точке, к величине заряда,

. (1.2)

Потенциальная энергия равна энергии, затрачиваемой на перенос заряда из данной точки с потенциаломв точку с нулевым потенциалом.

Если — потенциал точки 2, а— точки 1, то напряже-

ние между точками 2 и 1 равно

. (1.3)

Напряжение измеряется в вольтах (В), используются значения в киловольтах (кВ), милливольтах (мВ) и микровольтах (мкВ).

Ток и напряжение характеризуются направлением, которое указывается стрелкой, как показано на рис. 1.1. Они задаются произвольнодо начала расчетов. Желательно, чтобы ток и напряжение для одного элемента цепи имели быодинаковые поло-

Рис. 1.1 жительные направления. Обозначения могут

иметь индексы, например, напряжение между точками 1 и 2 на рис. 1.1.

Численные значения тока и напряжения характеризуются знаком. Если знак положительный, то это означает, что истинное положительное направление совпадает с заданным, а иначе они противоположны.

Движение зарядов в электрической цепи характеризуются энергиейимощностью. Для перемещения бесконечно малого зарядамежду точками 1 и 2 с напряжениемв цепи на рис. 1.1 необходимо затратить бесконечно малую энергию, равную

, (1.4)

тогда энергия цепи в интервале времени от дос учетом (1.1) определяется выражением

. (1.5)

При постоянных токе и напряженииэнергия равнаи неограниченно растет с течением времени. Это относится и к общему выражению (1.5), что делает энергию цепи достаточно неудобной технической характеристикой.

Мгновенная мощность зависит от времени и может бытьположительной(цепь потребляет энергию извне) иотрицательной(цепь отдает ранее накопленную энергию).

Средняя мощность всегда неотрицательна, если внутри цепи отсутствуют источники электрической энергии.

Энергия измеряется в джоулях (Дж), а мгновенная и средняя мощности – в ваттах (Вт).

1.3. Элементы электрической цепи

Элемент – это неделимая часть электрической цепи. В физической цепи (радиоприемнике) имеются физическиеэлементы (резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, диоды, транзисторы и т.д.). Они имеют сложные свойства и математический аппарат их точного описания на основе теории электромагнитного поля.

При расчете электрической цепи необходимо разработать достаточно точные, простые и удобные с инженерной точки зрения моделифизических элементов, которые в дальнейшем будем называтьэлементами.

Инженерные модели в электротехнике строятся на основе физических представлений о взаимосвязи в них тока и напряжения. Свойства резистивных двухполюсных (с двумя выводами) элементов описываются вольтамперными характеристиками (ВАХ)– зависимостью тока через элементот приложенного к нему напряжения. Эта зависимость может быть прямолинейной (для резистора на рис. 1.2а) или нелинейной (для полупроводникового диода на рис.1.2б).

Элементы с прямолинейной ВАХ называют линейными, а иначе –нелинейными. Аналогично рассматриваются емкостные элементы, для которых используют кулон – вольтную характеристику (зависимость накопленного заряда от приложенного напряжения), и индуктивные с использованием вебер — амперной характеристики (зависимости магнитного потока от протекающего через элемент тока).

1.4. Модели основных линейных элементов цепи

Основными линейными элементами электрической цепи являются резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Их условно-графические обозначения показаны на рис. 1.3 (сверху указаны названия физических элементов, а внизу – их моделей).

Сопротивление (модель резистора)в соответствии с рис. 1.4 строится на основе закона Ома в классической формулировке,

, (1.10)

где— параметр модели, называемыйсопротивлением, а—проводимостью,

. (1.11)

Как видно из (1.10), сопротивление – это линейный элемент (с прямолинейной ВАХ). Его параметр — сопротивление — измеряется в Омах (Ом) или внесистемных единицах – килоомах (кОм), мегаомах (Мом) или гигаомах (ГОм). Проводимостьопределяется выражением (1.11), обратна сопротивлению и измеряется в 1/Ом. Сопротивление и проводимость элементане зависятот величин тока и напряжения.

В сопротивлении ток и напряжение пропорциональны друг другу, имеют одинаковую форму.

Мгновенная мощность электрического тока в сопротивлении равна

. (1.12)

Как видно, мгновенная мощность в сопротивлении не может быть отрицательна, то есть сопротивление всегдапотребляетмощность (энергию), преобразуя ее в тепло или другие виды, например, в электромагнитное излучение. Сопротивление – это модель диссипативного элемента, рассеивающего электрическую энергию.

Емкость (модель конденсатора)в соответствии с рис.1.5 формируется исходя из того, что накопленный в ней заряд пропорционален приложенному напряжению,

. (1.13)

Параметр модели – емкость — не зависит

Рис. 1.5 от тока и напряжения и измеряется в фарадах

(Ф). Величина емкости 1 Ф очень велика, на практике широко используются значения в микрофарадах (1 мкФ = 10 -6 Ф), нанофарадах (1 нФ = 10 -9 Ф) и пикофарадах (1 пФ = 10 -12 Ф).

Подставляя (1.13) в (1.1), получим модель для мгновенных значений тока и напряжения

.

Из (1.14) можно записать обратное выражение для модели,

Мгновенная электрическая мощность в емкости равна

. (1.16)

Если напряжение положительно и увеличивается с течением времени (его производная больше нуля), то мгновенная мощность положительнаи емкостьнакапливаетв себе энергию электрического поля. Аналогичный процесс имеет место, если напряжение отрицательно и продолжает уменьшаться.

Если же напряжение емкости положительно и падает (отрицательно и растет), то мгновенная мощность отрицательна, а емкостьотдает во внешнюю цепьранее накопленную энергию.

Таким образом, емкость – это элемент, накапливающий электрическую энергию (подобно банке, в которой накапливается вода, и из которой она может выливаться), потери энергии в емкости отсутствуют.

Накопленная в емкости энергия определяется выражением

. (1.17)

Индуктивность (модель катушки индуктивности)формируется исходя из того, что потокосцепление, равное произведению магнитного потока(в веберах) на число витков катушки, прямо пропорционально протекающему через нее току(рис. 1.6),

, (1.18)

где — параметр модели, который называетсяиндуктивностьюи измеряется в генри (Гн).

Рис. 1.6 Величина 1 Гн – это очень большая ин-

дуктивность, поэтому используют внесистемные единицы: миллигенри (1 мГн = 10 -3 Гн), микрогенри (1 мкГн = 10 -6 Гн) и наногенри (1 нГн = 10 -9 Гн).

Изменение потокосцепления в индуктивности вызывает электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции , равную

(1.19)

и направленную противоположно току и напряжению, тогда и модель катушки индуктивностидля мгновенных значений тока и напряженияпринимает вид

Можно записать обратное выражение модели,

Мгновенная электрическая мощность в индуктивности равна

. (1.22)

Если ток положителен и растет, или отрицателен и падает, то мгновенная мощность положительнаи индуктивностьнакапливаетв себе энергию магнитного поля. Если же ток индуктивности положителен и падает (отрицателен и растет), то мгновенная мощностьотрицательна, и индуктивностьотдает во внешнюю цепьранее накопленную энергию.

Таким образом, индуктивность (как и емкость) – это элемент, только накапливающий энергию, потери энергии в индуктивности отсутствуют.

Накопленная в индуктивности энергия равна

. (1.23)

Законы Ома для элементов цепи

Рассмотренные модели элементов электрической цепи, определяющие взаимосвязь между мгновенными значениями токов и напряжений, будем в дальнейшем называть законами Омадля элементов цепи, хотя собственно закон Ома относится лишь к сопротивлению.

Эти соотношения сведены в табл. 1.1. Они являются линейными математическими операциями и относятся только к линейным элементам.

В нелинейных элементах связь между током и напряжением существенно сложнее и в целом может быть описана нелинейными интегро-дифференциальными уравнениями, для которых отсутствуют общие методы решения.

Законы Ома в элементах цепи для мгновенных значений тока и напряжения

Расчет тока и напряжения в элементах цепи

В качестве примера проведем расчет напряжения на элементах цепи при заданной зависимости тока от времени, показанной на рис. 1.7.

Математически эту зависимость можно записать

(1.24)

Необходимо помнить, что в (1.24) время измеряется в миллисекундах, а ток— миллиамперах.

Тогда в показанном на рис. 1.4. сопротивлении при кОм напряжение равно(рис. 1.8а) и мощность(рис. 1.8б). Формы временных диаграмм тока и напряжения в сопротивлении совпадают, а произведение двух прямолинейных зависимостейидает параболические кривые изменения мощности.

В емкости (рис.1.5) мкФ мгновенные значения тока и напряжения связаны между собой выражениями (1.14) или (1.15). Для тока (рис.1.7) вида (1.24) из

(1.25)

получим формулу для напряжения на емкости в вольтах

(1.26)

Расчет при 1 мс выполняется очевидно. При

интеграл (1.25) записывается в виде

(1.27)

На интервале времени мс интеграл (1.25) имеет вид

(1.28)

иявляется константой. Временная диаграммапоказана на рис. 1.9. Как видно, на интервале временимс, пока действует импульс тока, происходит заряд конденсатора, а затем напряжение заряженной емкости не меняется. На рис. 1.10а показана зависимость от времени мгновенной мощности

Рис. 1.9 (1.16), а на рис. 1.10б – накоп-

ленной в емкости энергии (1.17). Как видно, емкость только накапливает энергию, так как разряд не происходит (ток вида рис. 1.7 принимает только положительные значения).

Для получения формулы мощностинеобходимо перемножить выражения (1.24) и (1.26) на соответствующих

временных интервалах (получим полином третьей степени ).

Энергия определяется из (1.17) при подстановке (1.26), что приводит к полиномам четвертой степени.

Для индуктивности рис. 1.6 Гн при токе, показанном на рис. 1.7 напряжениеопределяется выражением (1.20)

, (1.29)

тогда при подстановке (1.24) для в вольтах получим

(1.30)

Эта зависимость показана на рис. 1.11. При графическом дифференцировании прямолинейных зависимостей на рис. 1.7 получим на соответствующих интервалах времени константы, что соответствует рис. 1.11.

Мощность определяется выражением (1.22), тогда для в милливаттах получим

(1.31)

Зависимость показана на рис. 1.12а. Накопленная в индуктивности энергия вычисляется по формуле (1.23), тогда графикимеет вид, показанный на рис. 1.12б.

Как видно, мгновенная мощность с ростом тока на интервале времени от 0 до 1мс прямо пропорционально увеличивается, а накопленная в индуктивности энергия растет по квадратичному закону. Когда ток начинает падать при , то напряжениеи мощностьстановятся отрицательными (рис. 1.11 и рис. 1.12а), а это означат, что индуктивность отдает ранее накопленную энергию, которая начинает снижаться по квадратичному закону (рис. 1.12б).

Расчет сигналов и энергетических характеристик в элементах цепи R,LиCможно провести с помощью программыMathCAD.

Идеальные источники сигнала

Электрические сигналы (токи и напряжения) возникают в цепи при воздействии на нее источников. Физические источники – это батареи и аккумуляторы, формирующие постоянные ток и напряжение, генераторы переменных напряжений различной формы и другие электронные устройства. На их зажимах (полюсах) возникает напряжение (разность потенциалов) и через них протекает ток за счет электрохимических процессов или других сложных физических явлений. В физике их обобщенное действие характеризуютэлектродвижущей силой (ЭДС).

Для расчета электрических цепей необходимы моделиисточников сигнала. Простейшими из них являютсяидеальные источники.

Графическое изображение (обозначение) идеального источника напряжения показано на рис. 1.13 в виде окружности со стрелкой, указывающей положительное направление ЭДС. На полюсах источника возникает напряжение, которое при указанных положительных направлениях равно ЭДС,

(1.32)

Если изменить положительное

направление ЭДС или напряжения (сделать их встречными), в формуле появитсязнак минус.

К источнику подключается нагрузка и тогда через нее протекает ток . Свойства источникапостоянногонапряжения или тока описываются еговольтамперной характеристикой (ВАХ)– зависимостью тока от напряжения. Идеальный источник напряжения с ЭДС, равнойимеет вольтамперную характеристику, показанную на рис. 1.14. Если рассматривается источник переменного сигнала, то от токане зависят все его пара-

Как видно, с ростом тока при постоянном напряжении мощность, отдаваемая идеальным источником напряжения в нагрузку, стремится к бесконечности. Это является следствием выбранной идеальной модели (формы ВАХ) и ее недостатком, так как любой физический источник не может отдать бесконечную мощность.

Графическое изображение идеального источника тока показано на рис. 1.15а в виде окружности, внутри которой указано положительное направление тока. При подключении нагрузки на полюсах источника возникает напряжениес указанным положительным направлением.

На рис. 1.15б показана ВАХ идеального источника постоянного тока. И для этой модели с ростом напряжения мощность, отдаваемая источником в нагрузку, стремится к бесконечности.

1.8. Основы топологического описания цепи

Электрической цепьюназывают совокупность соединенных между собой источников, потребителей и преобразователей электрической энергии, процессы в которых описываются в терминах тока и напряжения.

Физическая электрическая цепь (электронное устройство) состоит из физических элементов – резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, диодов, транзисторов и большого числа других электронных элементов. Каждый из них имеет условно-графическое обозначение в соответствии со стандартом – единой системой конструкторской документации (ЕСКД). Соединение этих элементов между собой графически представляется принципиальной схемойцепи (фильтра, усилителя, телевизора). Пример принципиальной схемы транзисторного усилителя показан на рис. 1.16.

Сейчас мы не будем обсуждать работу усилителя и на-

значение его элементов, а лишь отметим условно-графические обозначения использованных элементов, которые отдельно показаны на рис. 1.17. Жирной точкой отмечены электрические соединения элементов.

Рис. 1.17 Как видно, графические

обозначения резистора и конденсатора совпадают с обозначениями их моделей — сопротивления и емкости, а обозначения других отличаются.

Для расчета цепей используют их эквивалентные схемыилисхемы замещения, которые показывают соединения моделей элементов, образующих электрическую цепь. Каждый физический элемент принципиальной схемы заменяется соответствующей моделью, которая может состоять из одной или нескольких простейших идеальных моделей (сопротивления, емкости, индуктивности или источников сигнала). Примеры моделей физических элементов показаны на рис. 1.18.

Резистор и конденсатор чаще всего представляются своими идеальными моделями с теми же условно-графическими обозначениями. Катушка индуктивности может быть представлена идеальной индуктивностью, однако в ряде случаев необходимо учитывать ее сопротивление потерь . В этом случае модель катушки индуктивности представляется последовательным соединением идеальной индуктивности и сопротивления, как показано на рис. 1.18.

На рис. 1.19 в качестве примера показаны принципиальная схема параллельного соединения катушки индуктивности и конденсатора (такую цепь называютпараллельным колебательным контуром) и эквивалентная схема этой цепи (катушка индуктивности заме-

Эквивалентная схема цепи является ее топологическим описанием. С геометрической точки зрения в нем можно выделить следующие основные элементы:

— ветвь– последовательное соединение нескольких, в том числе и одного, двухполюсных элементов, в том числе и источников сигнала;

— узел— точка соединения трех и более ветвей;

— контур– замкнутое соединение двух и более ветвей.

На рис. 1.20 показан пример эквивалентной схемы цепи с обозначением ветвей, узлов (жирными точками) и контуров (замкнутыми линиями). Как видно, узел может представлять

собой не одну точку соединения, а несколько (распределенный узел, охваченный пунктирной линией).

В теории цепей существенное значение имеет число узлов эквивалентной схемы и число ветвей. Для цепи на рис. 1.20 имеетсяузлов иветвей, одна из которых содержит только идеальный источник тока.

1.9. Соединения элементов цепи

Двухполюсные элементы электрической цепи могут соединяться между собой различным образом. Различают два простейших соединения: последовательное и параллельное.

Последовательнымназывают такое соединение двухполюсников, при котором через них протекает одинаковый ток. Его пример показан на рис. 1.21. В состав цепи на рис. 1.21 входит пассивные (RиC) и активные (идеальные источники напряженияи) эле-

Рис. 1.21 менты, через которые проте-

кает один и тот же ток .

В сложной цепи (например, на рис. 1.20) можно выделять простые фрагменты (ветви) с последовательным соединением элементов (ветвь с источником , пассивные ветвии).

Не имеет смысласоединять последовательно два идеальных источника тока или идеальный источник напряжения с идеальным источником тока.

Параллельнымназывают соединение двух и более ветвей с одной и той же парой узлов, при этом напряжения на параллельных ветвях одинаковы. Пример показан на рис. 1.22. Если ветви содержат по одному элементу, то говорят о параллельном соединении элементов. Например, на рис. 1.22 идеальный источник токаи сопротивление Рис. 1.22

соеди нены параллельно.

Не имеет смысласоединять параллельно идеальные источника напряжения или идеальный источник напряжения с идеальным источником тока.

Смешаннымназывают соединение элементов (ветвей) цепи, которое нельзя рассматривать как последовательное или параллельное. Например, схема на рис. 1.21 является последовательным соединением элементов, а на рис. 1.22 –параллельным соединением ветвей, хотя в ветвяхиэлементы соединены последовательно.

Схема на рис. 1.20 является типичным представителем смешанного соединения, и в ней можно выделить лишь отдельные фрагменты с простыми соединениями.

1.10. Законы Кирхгофа для мгновенных значений сигналов

Два закона Кирхгофа устанавливают уравнения электрического равновесиямежду токами в узлах и напряжениями в контурах цепи.

Под алгебраическим суммированием понимают сложение или вычитание соответствующих величин.

Можно использовать и другую формулировку первого закона Кирхгофа: сумма мгновенных значений втекающих в узел токов равна сумме мгновенных значений вытекающих токов.

Пример схемы цепи показан на рис. 1.23, она повторяет схему на рис. 1 20 с указанием положительных направлений и обозначений токов и напряжений во всех элементах, а также номеров узлов (в кружках).

В цепи четыре узла и для каждого из них можно записать уравнение первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов ветвей,

— узел 0 : ;

— узел 1 : ;

— узел 2 : ;

— узел 3 : .

Нетрудно убедиться, что если просуммировать уравнения для узлов и умножить результат на -1, то получим уравнение для узла 0. Следовательно, одно из уравнений (любое) линейно зависимо от остальных, и должно быть исключено. Таким образом, система уравнений по первому закону Кирхгофа для цепи рис. 1.23 может быть записана в виде

Очевидно, можно записать и другие варианты этой системы уравнений, но все они будут эквивалентны.

Физическим обоснованием первого закона Кирхгофа является принцип не накопления заряда в узле цепи. В любой момент времени заряд, поступивший в узел от втекающих токов должен быть равен заряду, покидающему узел за счет вытекающих токов.

Для выбора знаков в алгебраических суммах необходимо задать положительное направление обхода контура(чаще всего его выбираютпо часовой стрелке). Тогда, если направление напряжения или ЭДС совпадает с направлением обхода, то в алгебраической сумме записывается знак плюс, а иначе – знак минус.

Независимыминазывают контуры, которые отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью.

В схеме на рис. 1.23 ,(одна ветвь содержит идеальный источник тока) и. Тогда в ней имеетсянезависимых контура. Как видно, общее число контуров существенно больше.

Выберем следующие независимые контуры:

с положительным направлением обхода по часовой стрелке и для них запишем уравнения второго закона Кирхгофа в виде

(1.34)

Можно выбрать и другие независимые контуры, например,

и для них записать уравнения второго закона Кирхгофа, которые будут эквивалентны системе (1.34).

Второй закон Кирхгофа базируется на фундаментальном законе природы – законе сохранения энергии. Сумма напряжений на элементах замкнутого контура равна работе по переносу единичного заряда в пассивных элементах контура, а сумма ЭДС – работе сторонних сил в идеальных источниках напряжения по переносу в них того же единичного заряда. Так как в результате заряд возвратился в исходную точку, то эти работы должны быть одинаковы.

1.11. Реальные источники сигнала

Рассмотренные выше идеальные источники напряжения и тока не всегда пригодны для формирования адекватных моделей электронных устройств. Основная причина этого — возможность передачи ими в нагрузку бесконечной мощности. В этом случае используют усложненные модели источников сигнала, которые называют реальными.

Эквивалентная схема (модель) реального источника напряжения показана на рис. 1.24. В ее состав входят идеальный источник напряжения ивнутреннее сопротивлениереаль-

ного источника. К источнику подключено сопротивление нагрузки. По второму закону Кирхгофа можно записать

, (1.35)

а по закону Ома для сопротив-

Рис. 1.24 ления

. (1.36)

Подставляя (1.36) в (1.35) получим

,

откуда следует уравнение для вольт-амперной характеристики реального источника напряжения

, (1.37)

график которой для постоянных значений тока и напряжения приведен на рис. 1.25. Пунктирной линией показана вольтамперная характеристика идеального источника напряжения. Как видно, в реальном источнике максимальный ток ограничен, а

Рис. 1.25 значит отдаваемая им мощность не

При постоянном напряжении мощность, отдаваемая реальным источником (рис. 1.24) в нагрузку, равна

. (1.38)

Зависимость приВ иОм показана на рис. 1.26. Как видно, максимальная мощность реального источника ограничена

чена и равна при. Рис. 1.26

Вольтамперная характеристика реального источника напряжения при стремится к характеристике идеального источника рис. 1.14. Таким образом, можно определить идеальный источник напряжения какреальный источник с нулевым внутренним сопротивлением(внутреннее сопротивление идеального источника напряженияравно нулю).

Эквивалентная схема реального источника тока показана на рис. 1.27. В ее состав входит идеальный источник токаи внутреннее сопротивление, к источнику подключена нагрузка. Уравнение первого закона Кирхгофа для одного из узлов цепи рис. 1.27 имеет вид

. (1.39) Рис. 1.27

По закону Ома , тогда из (1.39) получим выражение для вольт-амперной характеристики реального источника тока

. (1.40)

Для постоянного тока эта зависимость показана на рис. 1.28. Как видно, максимальное напряжение, выдаваемое источником в нагрузку, ограничено величинойпри бесконечном сопротивлении нагрузки. Мощность постоянного

Рис. 1.28 тока, отдаваемая в нагрузку, равна

. (1.41)

Она имеет вид, аналогичный рис. 1.26, соответствующий график при мА иОм постройте самостоятельно. Максимум мощности достигается прии равен.

При стремящемся к бесконечности внутреннем сопротивлении вольтамперная характеристика реального источника тока стремится к характеристике идеального источника (рис. 1.15б). Тогдаидеальный источник можно рассматривать как реальный с бесконечным внутренним сопротивлением.

Сравнивая вольтамперные характеристики реальных источников напряжения и тока на рис. 1.25 и рис. 1.28, нетрудно убедиться, что они могут быть одинаковы при условиях

(1.42)

Это означает, что эти источники при условии (1.42)

эквивалентны, то есть в схемах замещения электрических цепейреальный источник напряжения можно заманить реальным источником тока и наоборот. Для идеальных источников такая замена невозможна.

1.12. Система уравнений электрической цепи

для мгновенных значений токов и напряжений

На основе законов Ома и Кирхгофа можно сформировать систему уравнений, связывающих между собой мгновенные значения токов и напряжений. Для этого необходимо выполнить следующие действия (рассмотрим их на примере цепи рис. 1.29).

Определяются узлы цепи (в схеме рис. 1.29 их число равно ) и выбираются независимые контуры, их количество равно, где— число ветвей цепи, не содержащих идеальные источники тока (в примереи).

Для каждой ветви и каждого элемента цепи записываются уравнения закона Ома (табл. 1.1). Для схемы на рис. 1.29 получим

(1.43)

Уравнения связи между током и напряжением в элементах или ветвях цепи называютподсистемой компонентных уравнений. Число уравнений равно количеству пассивных элементов или ветвей цепи. Как видно, в состав подсистемы входят дифференциальные или интегральные соотношения между токами и напряжениями.

Для каждого из узлов составляются уравнения первого закона Кирхгофа (один изузлов не используется).

В рассматриваемом примере для узлов 1, 2 и 3 эти уравнения имеют вид, например, (1.32)

(1.44)

Всего формируется уравнений.

В цепи выбирается независимых контуров, для которых составляются уравнения второго закона Кирхгофа.

В схеме на рис. 1.29 выбранные три независимых контура отмечены круговыми линиями со стрелкой, указывающей положительное направление обхода. Для них уравнения второго закона Кирхгофа имеют вид (1.34)

(1.45)

Общее количество уравнений равно .

Уравнения, сформированные по первому и второму законам Кирхгофа, называют подсистемой топологических уравнений, так как они определяются схемой (топологией) цепи. Общее количество уравнений в ней равно числу ветвей, не содержащих идеальные источники тока.

Совокупность подсистем компонентных и топологических уравнений образуют полную систему уравнений электрической цепи для мгновенных значений токов и напряжений, которая является полной моделью цепи.

Из компонентных уравнений нетрудно выразить все напряжения через токи ветвей, тогда для цепи на рис. 1.29 из (1.43) получим

(1.46)

(1.46’)

Подставляя (1.46) в уравнения второго закона Кирхгофа вида (1.45), получим систему уравнений для токов ветвей

(1.47)

Рассмотренный подход к формированию уравнений электрического равновесия цепи называют методом токов ветвей. Количество полученных уравнений равно числуветвей цепи,не содержащих идеальные источники тока.

Как видно, модель линейной цепи для мгновенных значений токов и напряжений вида (1.43), (1.44), (1.45) или (1.47) является линейной системой интегро-дифференциальных уравнений.

1.13. Задания для самостоятельного решения

Задание 1.1. Напряжениена емкостиCизменяется, как показано на рис. 1.30. Получите выражение для тока емкости, мгновенной мощностии накопленной энергии, по-

стройте графики полу- Рис. 1.30

Задание 1.2. Напряжениена сопротивленииRизменяется, как показано на рис. 1.31. Получите выражение для напряжения емкости, по-стройте график(черезнеобходимо оп-

ределить ток ,

жение ).

Задание 1.3. Напряжениена параллельном соединении сопротивленияRи индуктивностиLизменяется, как показано на рис. 1.32. Запишите выражение для общего тока, постройте его график ( необходимо

найти токи ветвей, а за- Рис. 1.32

тем их сумму – ток ).

Задание 1.4. В схемах цепей, показанных на рис. 1.33, определите число узлов и ветвей, количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

Задание 1.5. Для цепей, эквивалентные схемы которых показаны на рис. 1.33, запишите полные системы уравнений по закону Ома, первому и второму законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений элементов.

Задание 1.6. Для цепи, показанной на рис. 1.34, запишите полную систему уравнений по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений элементов.

Источник