Расчет электрических цепей с двумя узлами методом узлового напряжения

Расчёт методом узловых напряжений.

В приложении для цепи с параллельными ветвями получил название «метод двух узлов».

Нахождение токов всех ветвей: Задаём произвольно условно положительное направление узлового напряжения между узлами и определяем его по формуле:

, где

Узловое напряжение равно дроби, в числителе которого алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости активных ветвей, а в знаменателе сумма проводимости всех ветвей.

Определяем токи всех ветвей или заданной ветви, записывая уравнение второго закона Кирхгофа для каждой ветви и приложенного к ней узлового напряжения:

E₁=U_AB+I₁R₁

-E₂=U_AB+I₂R₂

0=U_AB+I₃R₃

4. Проверка: Уравнение баланса мощностей:

Достоинства: 1. краткий алгоритм

2. метод как для полного, так и для частичного анализа

Недостаток: надо знать специфику алгоритма

V. Метод эквивалентного генератора.

Метод активного двухполюсника, метод холостого хода и короткого замыкания, метод Тевенена-Гальмгольца)

Метод рекомендуется для частичного анализа цепи, то есть для нахождения тока в заданной ветви в сложной схеме замещения.

Согласно методу интересующую ветвь отключают от схемы, оставшаяся схема – активный двухполюсник. В данной схеме k=3 m=5.

Все ЭДС внутри схемы замещают ЭДС эквивалентного генератора, а все сопротивления схемы – эквивалентным сопротивлением. Тогда ток нагрузки

Д оказано, что эквивалентный генератор E_э с внутренним сопротивлением R_э можно заменить активным двухполюсником, имеющим на внешних зажимах U_ABxx (напряжение двухполюсника при разомкнутой цепи нагрузки), а R_э заменить сопротивлением R_ABxx при условии короткого замыкания всех E_i. Тогда

С равнивая эквивалентный генератор и активный двухполюсник можно записать, что Eэ=U_ABxx R_э=R_ABxx

Применим метод эквивалентного генератора к заданной схеме замещения.

1). Определяем U_ABxx при условии отключенной исследуемой ветви.

Источник

4. Расчет цепи методом узлового напряжения ( методом двух узлов )

Метод узлового напряжения имеет ограниченное применение, т.к. он применим для сложных электрических цепей только с двумя узлами. Вместе с тем, этот метод позволяет рассчитать токи ветвей гораздо быстрее и проще, чем при использовании других методов.

Этот метод часто применяется на практике при изучении особенностей параллель

ной работы генераторов постоянного тока, в частности, для объяснения таких режимов, как перевод и распределение нагрузки, перевод одного из генераторов в двигательный режим и др.

Суть метода состоит в том, что вначале находят т.н. узловое напряжение

U = E *G ) / G ( 1 ) ,

где: E *G — алгебраическая сумма произведений ЭДС каждой ветви на проводимость этой же ветви;

G — арифметическая сумма проводимостей всех ветвей.

При этом, если в какой либо ветви ЭДС отсутствует (E = 0 ), произведение E *G = 0, т.е. вместо этого произведения в числитель выражения ( 1 ) надо подставить «0», но не исключать из знаменателя проводимость G этой же ветви.

Если в цепи есть несколько ЭДС, которые имеют разные направления, в этом случае поступают так:

1. предварительно определяют для каждой ветви значения произведение E *G и находят по отдельности сумму этих произведений для одинаково направленных ЭДС. Таких сумм будет две, т.к. одна группа ЭДС направлена в одну сторону, вторая – в протии

2. те ЭДС, которые входят в большую по величине сумму произведений, условно считают положительными, и эту сумму вносят в числитель выражения ( 1 ) со знаком «плюс»;

3. наоборот, те ЭДС, которые входят в меньшую по величине сумму произведений, условно считают отрицательными, и эту сумму вносят в числитель выражения ( 1 ) со знаком «минус»;

4. находят узловое напряжение по выражения ( 1 ). Это напряжение будет положи

тельным, т.к. по условиям пп. 2 и 3, в числитель этого выражения большая по величине сумма произведений E *G внесена со знаком «плюс».

Следовательно, полярность узлового напряжения будет совпадать с полярностью положительных ЭДС. В дальнейшем надо учесть, что полярность узлового напряжения определяет полярность узлов схемы цепи.

После расчета узлового напряжения находят токи каждой ветви из выражения

Если в какой либо ветви ЭДС отсутствует, т.е. E *G = 0, то ток в такой ветви отрицательный

I = ( E — U )* G = ( 0 — U )* G = — U * G 4 / 9 456789> Следующая >>>

Источник

2.4 Метод узлового напряжения

Потребители электрической энергии (освещения, силовая нагрузка) в различное время суток имеют неодинаковую мощность. Ночью эта мощность минимальная, утром постепенно увеличивается, достигая вечером наибольшего значения. На электростанции целесообразно иметь несколько генераторов. При малой мощности работает один генератор, с ростом мощности увеличивается число работающих генераторов.

Для увеличения мощности при неизменном напряжении генераторы включают параллельно. При этом получается сложная электрическая цепь с двумя узлами, к которым присоединяется приёмники электрической энергии.

Узловым напряжением называют напряжение между узлами такой цепи. Узловое напряжение равно разности потенциалов этих двух точек.

Для расчёта подобных сложных электрических цепей обычно используют методом узлового напряжения.

1. Найдём проводимости ветвей, которые всегда положительны.

2. Найдём узловое напряжение по формуле:

а) Выбираем одинаковое для всех ветвей направление тока от одного узла к другому.

б) ЭДС, сонаправленные току ветви, считаем положительными, а направленные противоположно – отрицательными.

3. Определяем токи в ветвях.

Р ис. 21.

на рисунке представлена схема сложной цепи с двумя узлами. Примем за положительное направление токов во всех ветвях направление от узла Б к узлу А, то есть предположим, что все источники работают в режиме генераторов. Напряжение между узлами А и Б (узловое напряжение) обозначим U.

Оно равно разности потенциалов точек А и Б: U=φa-φb

Напряжение на зажимах генератора равно разности ЭДС и внутреннего падения напряжения U=E-Ir поэтому на первом участке ток:

Аналогично для участков цепи:

где общая проводимость электроприёмников.

По первому закону Кирхгофа, составим уравнение для узла А:

Подставив в это уравнение найденные выражения токов, получим:

раскрыв скобки, найдём узловое напряжение:

т.е. узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей к сумме проводимости всех ветвей.

Найти: все токи, мощности генераторов, мощности потерь на внутренних сопротивлениях, мощность потребителя R₃.

1. Применение метода двух узлов. В отличие от трёх предыдущих методов, применимых к любой цепи, этот метод пригоден для расчёта цепей, имеющих только два узла (при любом числе ветвей).

Цепи с двумя узлами часто встречаются на практике, и метод двух узлов значительно упрощает их расчёт.

Для расчёта применяется формула, определяющая напряжение между узловыми точками:

,

где ∑Eg – алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимость ветви;

∑g – сумма проводимостей ветвей.

Так, для рассматриваемой цепи (рис. 22)

.

Здесь в числителе отсутствует слагаемое E₃g₃, так как ЭДС в третьей ветви нет. Если бы, например, ЭДС Е₂ действовала в обратном направлении, то перед слагаемым Е₂g₂ надо было бы поставить знак минус.

2. Вычисление узлового напряжения. Определяем проводимости ветвей:

См;

3. Выбор положительных направлений токов. Рассматриваемая цепь (рис. 22) имеет три ветви с токами I₁, I₂ и I₃, направления которых до расчёта цепи неизвестны (сложная цепь); поэтому надо выбрать произвольно их положительные направления (сплошные стрелки рис. 22)

4. Вычисление токов. Принятые на рис. направления токов совпадают с направлениями действия ЭДС. В таком случае узловое напряжение, или напряжение на концах ветви с ЭДС, равно разности ЭДС источника и падения напряжения на сопротивлении ветви, т.е.

,

5. Вычисление мощностей. Мощности, развиваемые источниками:

Мощности потерь на внутренних сопротивлениях:

Вт=0,05 кВт;

Вт=0,0652

кВт.

Составим баланс мощностей:

кВт;

кВт.

,

чего и следовало ожидать, если расчёт выполнен правильно.

*Дополнительные вопросы к задаче

1. В каких случаях полезно цепь с тремя узлами преобразовать в цепь с двумя узлами?

Цепь по рис. 22 содержит три узла, её расчёт был выполнен методом наложения. Однако, преобразовав соединение сопротивлений R₁, R₂, R₃ треугольником в соединение звездой, получим схему с двумя узлами, к которой применим метод двух узлов.

2. С какой точностью следует вычислять узловое напряжение?

В большинстве практических задач, как и в рассматриваемой, величина узлового напряжения мало отличается от величин ЭДС. Поэтому в нашем случае при ошибке всего лишь на 1% в определении U_АБ, т.е. считая U’_АБ=227,25 В вместо 225 В, получаем вместо значения тока I₁=10 А величину I’₁=(E₁-U’_АБ)G₁=(230-227,25)2,0=5,5 A, или с ошибкой на 45%.

Этот пример показывает, что узловое напряжение следует вычислять с точностью, на два порядка большей, чем требуется для величин токов. Поэтому метод двух узлов не следует применять для цепей, у которых узловое напряжение мало отличается от величин ЭДС.

3. Какие параметры источников влияют на распределение токов в ветвях?

Для параллельной работы генераторов наиболее интересен вопрос о распределении нагрузки (тока) между ними.

Так, при Е₁=Е₂ получим отношении токов

,

т.е. при равных ЭДС параллельно включенных генераторов их токи обратно пропорциональны внутренним сопротивлениям.

4. Как изменяется токи генераторов, если ЭДС. Е₂ уменьшить на 1%? Принимая Е₂=227,7 В, получаем:

В;

А;

А,

т.е. ток второго источника уменьшился с 12,5 до 9,875 А, или на 21 %.

Итак, небольшое изменение ЭДС одного из параллельно работающих генераторов приводит к значительному изменению его тока.

5. Каким образом можно полностью разгрузить один из генераторов?

Полная разгрузка генератора означает отсутствие тока в его цепи. Допустим, что в нашей задаче второй генератор разгружен, т.е. I₂=(E₂-U_АБ)g₂=0. Это возможно при условии, что E₂=U_АБ. Подставляя последнее равенство в формулу для узлового напряжения, получаем:

,

,

В,

т.е. при узловом напряжении 219 В второй генератор полностью разгружен или, как говорят, скомпенсирован. Такой режим получится, если уменьшить ЭДС Е₂. При уменьшении ЭДС Е₂ снижается и узловое напряжение При ЭДС Е₂=219 В и U_АБ=219 В ток I₂=0.

6. В каких случаях один из параллельно включенных источников работает в режиме потребителя?

присоединяя параллельно к какому-либо генератору аккумуляторную батарею как запасной источник питания (на случай выхода из строя генератора), получаем так называемое «буферное» включение аккумулятора. Применяется оно для питания таких потребителей, которые по технологическим условиям не допускают даже кратковременного отключения источника. Допустим, что в нашей задаче первый источник – это генератор, а второй – буферная аккумуляторная батарея. Очевидно, что в нормальных условиях потребитель должен питаться только от генератора, а батарея должна работать вхолостую либо в режиме зарядки, что обеспечивается определённым превышением ЭДС генератора над ЭДС аккумулятора.

Так, например, при Е₁=245 В и Е₂=230 В узловое напряжение

В;

А,

т.е. в этом случае ток I₂ направлен навстречу ЭДС Е₂ и аккумулятор работает в режиме потребителя (зарядка).

При отключении генератора аккумулятор как единственный в цепи источник питания перейдёт в режим генератора и будет питать потребитель.

Источник