Пример задач по теории электрических цепей

Задачи по электротехнике с решениями

Теоретические основы электротехники (ТОЭ) — это техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. Технико-экономическое обоснование разделено на две части — теория электрических цепей и теория поля. Изучение технико-экономического обоснования является обязательным во многих технических вузах, так как знание этой дисциплины является основой для всех следующих дисциплин: электротехника, автоматизация, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Электрическая энергия широко применяется во всех областях промышленности, сельского хозяйства, связи, транспорта, автоматики, вычислительной техники, электроники, радиотехники и в быту благодаря своим весьма ценным свойствам:

1. универсальность, т.е. легко преобразуется в другие виды энергии (тепловую, механическую, химическую и др.). В свою очередь другие виды энергии (тепловая, механическая, химическая, ядерная, гидро- и др.) преобразуются в электрическую;
2. передается на большие расстояния с небольшими потерями. В настоящее время действуют линии электропередачи протяженностью тысячи километров;
3. легко дробится и распределяется по потребителям любой мощности (от десятков тысяч киловатт до долей ватта);
4. легко регулируется и контролируется различными электроприборами.

Теоретические основы электротехнки

Любое электромагнитное явление, происходящее в системе заряженных тел и контуров с токами, т. е. в любом электротехническом устройстве, определяется не только физическими процессами на самих заряженных телах и в проводниках, образующих контуры с токами, но и не в меньшей мере физическими процессами в диэлектрике, окружающем эти тела и проводники.

Даже можно сказать больше — именно электромагнитное поле в диэлектрике, окружающее заряженные тела и проводники с токами, является носителем энергии системы, которая может передаваться от одной части системы к другой.

Электрическое поле заряженных тел целиком находится вне этих тел — в окружающем их диэлектрике.

Магнитное и электрическое поля электрических токов, протекающих по проводникам, существуют и вне проводников, и внутри их. Однако электрическое поле внутри проводников с током связано только с конечным удельным сопротивлением материала этих проводников и, соответственно, определяет потери энергии в проводниках. Энергия же, передаваемая вдоль проводников, целиком относится к электромагнитному полю в среде, окружающей проводники. Электрическая емкость и индуктивность любых элементов электротехнического устройства определяются их электрическими и магнитными полями при заданных зарядах и токах.

Таким образом, рассматривая явление во всей его полноте, во всех случаях необходимо изучать электромагнитное поле исследуемого устройства.

Математическое описание электромагнитных полей хотя и дает нам полную картину явлений, оказывается сложным; этому будет посвящена последняя, четвертая, часть курса.

В большинстве случаев представляется возможным достаточно точно описать процессы в электротехнических устройствах, пользуясь только такими интегральными величинами, как электродвижущая сила , в

электрическое напряжение , электрический заряд , электрический ток , магнитный поток не рассматривая распределения в пространстве и изменения во времени величин и В, характеризующих электромагнитное поле во всех его точках. Такая возможность возникает вследствие того, что мы обычно стремимся создать определенные, достаточно узкие пути для электрического тока, располагая вдоль этих путей проводники из материалов с высокой электрической проводимостью, окруженных хорошо изолирующей средой, например в линиях электропередачи, в электрических сетях, в обмотках электрических машин и т. д., или помещая вдоль этих путей какие-либо другие хорошо проводящие, ограниченные по размерам устройства, например электронные лампы, полупроводниковые приборы, электролитические ванны и т. д.

Совокупность устройств и объектов, образующих пути для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении, называют электрической цепью.

Точно так же мы во многих случаях стремимся создать определенный путь, по которому должны замыкаться линии магнитной индукции, располагая вдоль этого пути тела из ферромагнитного материала с высокой магнитной проницаемостью, окруженные средой со значительно меньшей магнитной проницаемостью, например воздухом. В этом случае представляется возможным с достаточной точностью описывать процесс с помощью таких интегральных понятий, как магнитодвижущая сила и магнитный поток

Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий о магнитодвижущей силе и магнитном потоке, называют магнитной цепью.

Переход от полной картины явлений в электромагнитном поле к упрощенной картине процессов в электрических цепях с учетом допускаемых при этом отклонений от действительной сложной картины явлений и, следовательно, принимаемых при этом абстракций и будет нашей основной задачей в этой главе. Здесь же введем основные общие понятия теории электрических цепей, относящиеся ко всем ее разделам, и дадим им определения. Развитию этой теории посвящаются вторая и третья части настоящего курса.

Элементы электрических цепей. Активные и пассивные части электрических цепей

Основными элементами электрических цепей являются источники электромагнитной энергии, устройства для передачи и преобразования электромагнитной энергии и приемники этой энергии.

Источниками электромагнитной энергии являются различные генерирующие устройства, в которых энергия того или иного вида — тепловая, химическая, ядерная, энергия механического движения и т. д. — преобразуется в электромагнитную. Таковыми являются, например, электрические вращающиеся генераторы, гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы и т. д. В настоящее время разрабатываются новые устройства для прямого преобразования тепловой, ядерной и химической энергии в электромагнитную, такие, как, например, магнитогидродинамические генераторы и топливные элементы.

Передающими электромагнитную энергию элементами цепи являются, например, линии электропередачи, электрические сети, линии связи.

Преобразование электромагнитной энергии осуществляется с помощью трансформаторов, изменяющих напряжение и ток, преобразователей частоты, усилителей, а также ионных и полупроводниковых инверторов, преобразующих постоянный ток в переменный, выпрямителей, преобразующих переменный ток в постоянный, и т. п.

Приемниками в электрической цепи являются устройства, в которых осуществляется преобразование электромагнитной энергии в энергию другого вида, например в электродвигателях — в механическую работу, в электролизерах и в заряжаемых аккумуляторах — в химическую энергию, в электрических печах и нагревательных устройствах — в тепловую энергию, в радиоприемниках — в акустическую энергию и т. д.

Во всех случаях, когда то или иное устройство — элемент электрической цепи — имеет основным назначением генерирование, передачу, преобразование или потребление электромагнитной энергии, на первый план выдвигается требование его высокого коэффициента полезного действия.

Во многих случаях главным назначением тех или иных элементов электрической цепи является передача или преобразование электрических сигналов, а также выполнение операций измерения тех или иных величин или управления какими-нибудь процессами. Это — телефонные и телеграфные линии связи и их концевые устройства, весьма разнообразные элементы устройств автоматики, электроизмерительных устройств, счетно-решающих и управляющих электронных вычислительных машин, различных радиотехнических устройств и т. д. Для всех них главным требованием является получение определенного качества передаваемого или преобразуемого сигнала. Естественно, и в этих случаях происходят передача и преобразование электромагнитной энергии и имеет значение, хотя и не основное, достижение как можно более высокого коэффициента полезного действия.

Наряду с упомянутыми требованиями элементы электрических цепей должны удовлетворять также многим другим требованиям — надежности работы, долговечности, если необходимо — быстродействию, устойчивости работы, точности действия и т. д.

Соответственно этому электрические цепи современных электротехнических устройств являются весьма сложными. Поэтому и теория электрических цепей все время развивается и ей становятся свойственными все более обобщенные методы. В настоящем курсе, начав с исследования простейших электрических цепей, мы постепенно перейдем к общим методам расчета сложных электрических цепей.

Условимся в дальнейшем часть электрической цепи, в которой действуют источники электромагнитной энергии, называть активной частью цепи, или короче — активной цепью. Ее будем нередко обозначать прямоугольником с буквой А в середине и с тем ииныли иным числом выводов (проводников), с помощью которых она присоединяется к остальной части цепи (рис. 3.1).

Часть электрической цепи, в которой нет источников электромагнитной энергии, будем называть пассивной частью цепи,

или короче — пассивной цепью. Ее будем обозначать также прямоугольником с соответствующим числом выводов для присоединения к остальной части цепи, но с буквой П в середине прямоугольника (рис. 3.2). Предполагается, что внутри этих прямоугольников находятся все элементы рассматриваемой части цепи, со всеми соединениями между ними.

Физические явления в электрических цепях. Цепи с распределенными параметрами

Наиболее простые явления имеют место в электрических цепях постоянного тока. Длительный постоянный ток в электрической цепи может быть только или током проводимости, или током переноса. Ток смещения в диэлектрике не может быть постоянным сколь угодно долгое время, так как электрическое смещение и поляризованность диэлектрика не могут возрастать беспредельно без нарушения электрической прочности диэлектрика. Поэтому в цепь постоянного тока могут входить только такие устройства, в которых ток существует в виде тока проводимости, например провода линии передачи, обмотки машин, электролитические ванны, гальванические элементы, аккумуляторы и т. д., или такие, в которых ток существует в форме тока переноса, например электронные лампы. Конденсаторы с идеальным диэлектриком, удельная проводимость которого предполагается равной нулю, не проводят постоянного тока.

Хотя вокруг цепи постоянного тока существует магнитное поле, но оно не изменяется во времени и, следовательно, в цепи постоянного тока не индуцируются ЭД С.

Если изолирующая среда между проводами обладает хотя и малой, но конечной удельной проводимостью, то под действием постоянного напряжения между проводами через нее будет протекать ток утечки. Ток утечки будет отходить в изолирующую среду от всех элементов проводов, соприкасающихся с ней, в результате чего ток вдоль провода будет иметь разные значения. Здесь мы имеем простейшую цепь с распределенными вдоль нее параметрами, а именно с распределенной вдоль цепи проводимостью утечки.

При переменных токах и напряжениях явления в электрической цепи оказываются более сложными. Переменный ток, т. е. изменяющийся во времени ток, может существовать и в диэлектрике в виде тока смещения. Поэтому в электрическую цепь переменного тока могут входить также конденсаторы, обкладки которых разделены диэлектриком. При переменном напряжении на конденсаторе возникает переменное электрическое поле между его металлическими обкладками, и следовательно, в разделяющем обкладки диэлектрике возникает ток смещения. С учетом тока электрического смещения линии тока, как было отмечено в § 1.7, оказываются всегда замкнутыми.

Рассмотрим процессы в электрической цепи с последовательно включенным конденсатором, происходящие при зарядке и при разрядке конденсатора. Если не принимать во внимание токов смещения, то эта цепь кажется разомкнутой.

Предположим, что при помощи ключа К незаряженный конденсатор включается в некоторый момент времени в цепь источника постоянной ЭДС (рис. 3.3). Конденсатор заряжается; электрические заряды, переносимые от источника ЭДС к обкладкам конденсатора по соединяющим их проводникам, собираются на этих обкладках. По мере увеличения заряда на обкладках возрастает электрическое поле между ними, и в диэлектрике возникают токи электрического смещения. Если охватим одну из обкладок, например обкладку А, замкнутой поверхностью s, то во время, когда по проводнику, пересекающему эту поверхность, протекает к обкладке А ток проводимости , в диэлектрике образуется ток смещения, проходящий сквозь поверхность s изнутри наружу и в точности равный току в проводнике. Линии тока смещения в диэлектрике являются продолжением линий тока в проводнике. Действительно, электрическое поле направлено от положительной обкладки А к отрицательной В и при этом возрастает. Следовательно, линии тока смещения направлены также от положительной обкладки к отрицательной. Электрический ток, протекающий в проводнике к положительной обкладке в виде тока проводимости, продолжает протекать в диэлектрике как ток смещения и далее от отрицательной обкладки в проводнике — вновь в виде тока проводимости. Таким образом, цепь электрического тока является замкнутой.

Если отключить заряженный конденсатор от источника ЭДС и затем замкнуть его на резистор с сопротивлением г (рис. 3.4),

то конденсатор начнет разряжаться. Ток в проводнике будет протекать от положительной обкладки А к отрицательной В. В диэлектрике электрическое поле по-прежнему остается направленным от положительной обкладки к отрицательной. Однако теперь поле ослабевает, и следовательно, вектор плотности тока направлен против вектора смещения D. Линии тока смещения направлены от отрицательной обкладки к положительной и являются продолжением линий тока в проводнике.

Согласно принципу непрерывности электрического тока (см. § 1.7), в любой момент времени как при зарядке, так и при разрядке конденсатора ток смещения в диэлектрике между обкладками конденсатора в точности равен току в проводниках.

Ток смещения при переменном напряжении возникает не только в конденсаторах, т. е. в устройствах, построенных специально для использования их емкости, но также и в диэлектрике, окружающем любые элементы цепи переменного тока, поскольку между этими элементами существует переменное напряжение, т. е. переменное электрическое поле. Так, например, ток смещения возникает в диэлектрике между проводами линии передачи, если напряжение между проводами изменяется во времени (см. рис. 1.19). Вследствие этого переменный ток в проводах линии неодинаков в разных местах линии, даже если удельная проводимость диэлектрика равна нулю, так как вдоль всей линии ток ответвляется от проводов через диэлектрик в виде тока смещения. Очевидно, поэтому провода линии по отношению друг к другу, так же как и конденсатор, обладают емкостью. Сказанное справедливо для любого устройства при переменном токе. Так, например, в реостате при переменном токе появляется переменное падение напряжения, т. е. в проволоке реостата и в окружающем его диэлектрике возникает переменное электрическое поле. Поэтому между отдельными участками проволоки реостата через диэлектрик проходят токи смещения, вследствие чего, принципиально говоря, ток в разных местах проволоки реостата имеет различные значения. Очевидно, поэтому отдельные участки реостата обладают по отношению друг к другу электрической емкостью.

Если по индуктивной катушке проходит переменный ток, то в катушке в отдельных ее витках индуцируется переменная ЭДС. На зажимах катушки и между ее витками появляется переменное напряжение, т. е. переменное электрическое поле, что приводит к возникновению в диэлектрике между витками катушки токов смещения. И в этом случае, строго говоря, ток в различных местах проволоки катушки имеет разные значения. Очевидно, поэтому существует электрическая емкость между витками катушки.

Итак, электрическая емкость принципиально всегда распределена вдоль всей цепи.

То же следует сказать и об индуктивности цепи. Нет такого участка цепи, который при прохождении по нему тока не охватывался бы магнитным потоком. Поэтому при переменном токе на каждом участке цепи индуцируются ЭДС самоиндукции и взаимной индукции. Очевидно, поэтому каждый участок, каждый элемент цепи обладает индуктивностью. Индуктивность имеют не только катушки, но и провода линии, реостаты и любые другие элементы цепи переменного тока. Даже конденсаторы обладают индуктивностью, хотя и очень малой. Таким образом, индуктивность также всегда распределена вдоль всей цепи.

Поглощение электромагнитной энергии и преобразование ее в тепловую энергию при переменном токе происходят точно так же во всех элементах цепи. Не только реостаты, но и индуктивные катушки, и провода линии, а также другие элементы цепи обладают отличным от нуля электрическим сопротивлением, и при прохождении тока в них поглощается электромагнитная энергия и происходит выделение теплоты. Если катушка имеет сердечник из ферромагнитного материала, то, кроме потерь энергии в обмотке катушки, происходят потери энергии в сердечнике на гистерезис и на вихревые токи. В конденсаторах при переменном напряжении имеют место потери в диэлектрике. В электронных лампах теплота выделяется на аноде, так как ускоренные в электрическом поле электроны теряют здесь свою скорость. В ионных приборах электромагнитная энергия переходит в тепловую не только на электродах, но и в газовом промежутке между электродами.

Характеризуя способность какого-либо участка цепи при прохождении по нему тока поглощать электромагнитную энергию электрическим сопротивлением этого участка, мы в соответствии со сказанным должны утверждать, что электрическое сопротивление распределено по всей электрической цепи.

Электрическая цепь, в которой электрические сопротивления и проводимости, индуктивности и электрические емкости распределены вдоль цепи, называют электрической цепью с распределенными параметрами. Соответственно, токи и напряжения в таких цепях меняются в зависимости от времени и от одной пространственной координаты и, следовательно, являются функциями двух переменных. Это обстоятельство существенно усложняет анализ процессов в цепи.

В отдельных участках цепи может происходить преобразование электромагнитной энергии не только в тепловую, но и в другие виды энергии, например в аккумуляторах при их зарядке — в химическую энергию, в двигателях — в механическую работу и т. д. Однако эти преобразования совершаются не обязательно во всех элементах электрической цепи.

При изучении энергетических процессов в электрических цепях переменного тока нам придется обратить особое внимание на то, что электрическое и магнитное поля являются носителями определенного количества энергии. При переменных токах и напряжениях эти поля изменяются во времени. При усилении полей запас энергии в них возрастает, при ослаблении полей — убывает, переходя в другие виды энергии или возвращаясь к источникам энергии, действующим в цепи.

При изменениях тока и напряжения в электрической цепи, как увидим в конце четвертой части курса при рассмотрении переменного электромагнитного поля, вообще говоря, происходит излучение электромагнитного поля с присущей ему энергией. Однако в обычных цепях при сравнительно низких частотах тока и напряжения излучением можно пренебречь.

Наконец, обратим внимание еще на одно существенное обстоятельство, отмеченное уже в § 1.12, а именно на то, что напряжение между двумя любыми точками А и В цепи переменного тока зависит от выбора пути между этими точками, в вдоль которого определяется напряжение. Действительно, имеем Но А два разных пути, например путь и путь (см. рис. 1.35), образуют замкнутый контур , с которым сцепляется переменный магнитный поток Ф, существующий около рассматриваемой электрической цепи. Изменяющийся поток Ф индуцирует в контуре ЭДС. Следовательно,

Таким образом, если быть совершенно строгими, то нельзя при переменном токе говорить о напряжении между какими-либо двумя точками цепи, в частности, о напряжении на зажимах цепи, как о некоторой вполне определенной величине. Следует говорить о напряжении между двумя точками цепи вдоль определенного, заданного пути между этими точками.

Все изложенное свидетельствует о большой сложности физических процессов, происходящих в цепях переменного тока.

Параметры электрических цепей. Линейные и нелинейные электрические и магнитные цепи

Из изложенного в предыдущих параграфах ясно, что основными параметрами электрических цепей являются сопротивление r, емкость С и индуктивность L. Если имеет место электромагнитное воздействие на данную цепь со стороны других цепей или даже если внутри данной цепи наблюдается такое воздействие со стороны одного ее участка на другой, то в число параметров цепи войдет еще взаимная индуктивность М.

Строго говоря, параметры цепи почти всегда в какой-то мере зависят от тока и напряжения. Сопротивление г меняется с изменением тока хотя бы потому, что в этом случае изменяется температура проводников. Емкость конденсатора может зависеть от напряжения, если диэлектрическая проницаемость вещества диэлектрика в конденсаторе зависит от напряженности электрического поля. Индуктивность катушки зависит от тока, если магнитная проницаемость вещества сердечника катушки зависит от напряженности магнитного поля.

В общем случае зависимости параметров r, L и С от значений токов, напряжений или их направлений приводят к тому, что характеристики элементов электрической цепи оказываются нелинейными (кривые 1 на рис. 3.6).

Зависимость напряжения на зажимах элемента электрической цепи от тока в нем называют вольтамперной характеристикой (ВАХ) (рис. 3.6, а).

Зависимость заряда конденсатора от приложенного к нему напряжения называют к улон-вольтной характеристикой (рис. 3.6, б).

Зависимость потокосцепления элемента или участка электрической цепи от тока в ней называют вебеpамперной характеристикой (рис. 3.6, в).

Однако во многих случаях, когда нелинейности характеристик выражены весьма слабо, ими можно пренебречь и полагать параметры цепи не зависящими ни от тока, ни от напряжения. В этих случаях характеристики элементов электрической цепи определяются на диаграммах прямыми линиями (кривые 2 на рис. 3.6). Такие элементы цепи называют линейными. Процессы в цепях, содержащих только линейные элементы, описываются при постоянных токах линейными алгебраическими уравнениями, а при изменяющихся во времени токах — линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями. Соответственно, такие цепи называют линейными электрическими цепями. Вся вторая часть будет посвящена теории линейных электрических цепей.

Когда параметры элементов электрической цепи существенно зависят от тока или напряжения и, соответственно, характеристики этих элементов имеют на диаграммах криволинейный характер, такие элементы называют нелинейными. Если электрическая цепь содержит хотя бы один нелинейный элемент, то она является нелинейной электрической цепью.

Магнитные цепи, содержащие участки из ферромагнитных материалов, как правило, нелинейны, так как магнитная проницаемость этих материалов зависит от напряженности магнитного поля.

Изучение нелинейных электрических и магнитных цепей имеет большое практическое значение в связи с широким использованием особых свойств таких цепей в современных электротехнических устройствах, особенно в устройствах автоматического управления и регулирования, в электроизмерительной технике, в радиотехнике и т. д. Явления в нелинейных цепях более сложны, чем в линейных, а поэтому более сложны и методы анализа явлений в нелинейных цепях. Основные положения теории нелинейных электрических и магнитных цепей будут рассмотрены в третьей части.

В дальнейшем в настоящей главе и во второй части будем предполагать, что параметры цепи не зависят от тока и напряжения, а также, если это не будет оговорено особо, и от времени, т. е. что они постоянны.

В виде примеров расчета величин Си! получим их выражения для некоторых простых элементов цепи.

Емкость плоского конденсатора определим, пренебрегая искажением поля у его краев. Применим постулат Максвелла к

замкнутой поверхности, охватывающей заряд q одной пластины. След этой замкнутой поверхности изображен на рис. 3.7 штриховой линией. Часть поверхности внутри конденсатора проведем нормально к линиям напряженности поля. Линии поля пересекают только эту часть замкнутой поверхности, равную поверхности пластины. Таким образом,

Разность потенциалов пластин конденсатора равна линейному интегралу вектора Е вдоль некоторого пути между пластинами. Пусть d — расстояние между пластинами. Избирая путь интегрирования вдоль линии напряженности поля и замечая, что в однородном поле Е = const, получим

Определим еще емкость отрезка концентрического кабеля длиной , с радиусом внутреннего провода и внутренним радиусом наружного провода (рис. 3.8). Окружим внутренний провод замкнутой поверхностью, образованной цилиндрической поверхностью с радиусом r и двумя плоскими торцевыми поверхностями на концах отрезка кабеля. Поток вектора D сквозь торцевые поверхности равен нулю. Применяя к этой замкнутой поверхности постулат Максвелла, получаем

причем q — заряд рассматриваемого отрезка кабеля.

Разность потенциалов между внутренним и наружным проводами определяется интегралом:

Найдем выражение для индуктивности того же концентрического кабеля, полагая, что внутренний провод является прямым, а наружный — обратным. На рис. 3.9 изображены линии напряженности магнитного поля в таком кабеле. Магнитным потоком в теле обратного провода пренебрегаем ввиду малой толщины этого провода. Магнитное поле вне кабеля отсутствует, так как сумма токов в прямом и обратном проводах равна нулю, и следовательно, равен нулю линейный интеграл напряженности магнитного поля, взятый по любому контуру, охватывающему весь кабель. Таким образом, остается учесть поток в изолирующем веществе и поток в теле внутреннего провода. Оба эти потока определяются только током i во внутреннем проводе. Рассматриваемый пример особенно интересен тем, что здесь необходимо рассчитать потокосцепление, которое определяется линиями магнитной индукции, проходящими в теле самого провода. Напряженность поля в изолирующем слое найдем из закона полного тока:

Напряженность поля в теле внутреннего провода получаем из этого закона, учитывая, что магнитные линии здесь охватывают только часть тока, равную

причем г — расстояние от оси кабеля до точки, в которой определяется Н. Последняя формула справедлива только при условии равномерного распределения тока по сечению провода, т. е., строго говоря, как увидим дальше, только при постоянном токе.

Разделим поток на кольцевые трубки, имеющие прямоугольное поперечное сечение , где — длина отрезка кабеля. Поток сквозь сечение такой трубки

Трубки магнитной индукции, расположенные в слое изоляции, сцепляются один раз со всем током i, и, следовательно, приняв для вещества изоляции для этих трубок имеем

Потокосцепление , определяемое линиями магнитной индукции, расположенными в изолирующем слое, равно

Трубки магнитной индукции, расположенные в теле внутреннего провода, сцепляются только с частью тока, равной . Если весь провод рассматривать как один виток, то отношение представляет собой часть витка, охватываемую данной трубкой магнитной индукции. Поэтому поток в трубке дает потокосцепление со всем током i, равное

где — абсолютная магнитная проницаемость материала провода. Потокосцепление , определяемое линиями магнитной индукции, замыкающимися в теле провода, имеет значение

Искомая индуктивность выражается формулой

Из приведенных примеров становятся ясны высказанные в §1.8 и 1.11 общие положения, что емкость С определяется параметром среды, где существует электрическое поле, и геометрическими размерами, а индуктивность L определяется абсолютными магнитными проницаемостями р сред, в которых существует магнитное поле, и геометрическими размерами.

Для емкости и индуктивности кабеля характерна также прямая зависимость их от длины отрезка кабеля. Возможность представления кабеля сосредоточенной емкостью или индуктивностью, как было отмечено в § 3.4, зависит от того, насколько в кабеле меньше произведение скорости света на промежуток времени, за который процесс повторяется (период Т для периодических процессов), его длины. Пусть частота рассматриваемого процесса равна 50 кГц. Тогда период процесса равен то такой кабель может быть рассмотрен как участок цепи, имеющий сосредоточенные параметры.

Связи между напряжением и током в основных элементах электрической цепи

Обратимся вновь к простой электрической цепи, изображенной на рис. 3.5.

Первый участок цепи ah мы охарактеризовали сопротивлением г. Зная г, при заданном токе i можно, пользуясь законом Ома, найти напряжение необходимое для преодоления сопротивления этого участка цепи, а именно

Второй участок цепи Ьс представляет собой конденсатор. Зная емкость конденсатора С, можно при заданном значении его заряда q найти напряжение ис из соотношения . Между током i и зарядом q существует связь . Следовательно,

где q(0) — заряд конденсатора в момент t = 0, т. е. в момент, от которого начинаем отсчет времени. Соответственно,

где ис(0) — напряжение на конденсаторе в начальный момент времени t= 0.

Третий участок цепи cd представляет собой индуктивную катушку. Зная индуктивность катушки £, можно при заданном токе определить потокосцепление самоиндукции и при заданной скорости изменения тока найти возникающую в цепи ЭДС самоиндукции , а также напряжение на зажимах катушки

Выражая ток i в катушке и поток в ней через напряжение uL на ее зажимах, получим

где — ток и поток в начальный момент времени t = 0.

При наличии взаимной индуктивности соответственно будем иметь

Выражая ток через напряжение , найдем

Напряжение на любом участке цепи равно линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль этого участка. Так как мы полностью пренебрегли электродвижущими силами, индуцируемыми переменными магнитными потоками в первом и во втором участках, то электрическое поле около этих участков является потенциальным. Следовательно, в выражениях

пути интегрирования между точками а и b и между точками b и с могут быть заданы произвольно. Эти пути только не должны проходить через область магнитного поля катушки. В частности, они могут проходить вдоль проволоки реостата и внутри диэлектрика конденсатора. Но они могут пролегать и около реостата или около конденсатора, где также существует электрическое поле.

интеграл должен быть взят также вдоль пути, не проходящего в магнитном поле катушки, но отнюдь не вдоль проволоки катушки. Поясним это положение. Для простоты предположим, что катушка имеет один виток, совмещенный с плоскостью

рисунка (рис. 3.10). Магнитный поток Ф, сцепляющийся с витком, проходит сквозь площадь, охватываемую витком (заштрихована на рисунке). Линейный интеграл напряженности электрического поля, взятый по пути внутри проволоки витка, равен нулю, так как мы полностью пренебрегли сопротивлением витка, а следовательно, напряженность электрического поля внутри материала проволоки равна нулю.

Согласно закону электромагнитной индукции, имеем

Так как , то

При сделанных допущениях и оговорках можно, согласно сказанному в § 1.8 и 1.12, применять для величин наряду с термином напряжение также и термин разность потенциалов.

Условные положительные направления тока и ЭДС в элементах цепи и напряжения на их зажимах

При анализе процессов в электрической цепи необходимо обязательно задать условные положительные направления токов и ЭДС в элементах цепи и напряжений на их зажимах, обозначив такие направления на рисунке стрелками. Эти условные положительные направления можно задать произвольно. Действительные мгновенные ток напряжение и ЭДС будут положительны, если действительные направления тока, напряжения и ЭДС в данный момент времени совпадают с условно заданными положительными их направлениями. В дальнейшем для краткости часто вместо «условное положительное направление» будем говорить «положительное направление», всегда понимая под этим, если не оговорено особо, именно условное положительное, а не действительное направление соответствующей величины.

Иногда удобно выражать условное положительное направление токов, напряжений или ЭДС не стрелками, а двойными индексами у их буквенного обозначения — Эти индексы должны соответствовать обозначениям точек на графическом изображении цепи, причем положительным считается направление от точки цепи, отвечающей первому индексу, к точке цепи, отвечающей второму индексу. Например. , когда действительное напряжение направлено от точки а к точке Ь.

Приняв приведенные в предыдущем параграфе связи между и между и , и между мы должны считать условные положительные направления тока, напряжения и ЭДС в каждом отдельном элементе цепи ориентированными в одну и ту же сторону, что показано стрелками на рис. 3.11.

В самом деле, согласно связи u, величины должны быть при одного знака, т. е.

одновременно положительны (знаки «+» и «-» на рис. 3.11) или одновременно отрицательны, что и соответствует одинаковому выбору их условных положительных направлений, т. е. одинаковому направлению стрелок. Это соответствует также тому, что всегда мощность

Для конденсатора имеем связь , так как для того чтобы было С > 0, как сказано в § 1.8, необходимо брать заряд той пластины, от которой отсчитывается напряжение, т. е.

Согласно этой связи, величины — одного знака. Пусть в некоторый момент времени ток имеет действительное направление от зажима а к зажиму Пусть конденсатор заряжается, т. е. (знаки « + » и «-» на рис. 3.11), а следовательно, и , что соответствует выбору условных положительных направлений , т. е. выбору стрелок, в одном направлении. Это соответствует также тому, что при зарядке конденсатора энергия поступает в него и мощность на его зажимах положительна:

Для катушки имеем связь , причем всегда

а поток самоиндукции ,. и ток в катушке i всегда одного знака — направление тока и направление линий потока самоиндукции связаны между собой правилом правого винта. Если ток имеет действительное направление от зажима а к зажиму Ь, то Пусть при этом ток возрастает, т. е. , тогда (знаки «+» и «-» на рис. 3.11).

Таким образом, и для катушки, выбрав связь мы тем самым выбираем условные положительные направления тока i и напряжения uL, т. е. направления их стрелок, в одну сторону. Все это соответствует также тому, что при возрастании положительного тока, т. е. при возрастании абсолютного значения тока, увеличивается энергия магнитного поля в катушке и мощность на ее зажимах положительна:

Условное положительное направление для ЭДС следует принимать таким же, как и для , так как при этом в соответствии со связью — всегда действительные направления будут противоположны, т. е. если, например, действительное направление величины на зажимах катушки будет по ее стрелке (от «+» к «-» на рис. 3.11), то действительное направление величины в катушке в тот же момент времени окажется против ее стрелки (от «-» к « + » на рис. 3.11). Напряжение , как было разъяснено в предыдущем параграфе, следует брать по пути между зажимами катушки вне ее магнитного поля, например от зажима с к зажиму d по пути на рис. 3.10.

Рассмотрим теперь взаимную индуктивность М между двумя контурами. Важно иметь в виду, что если для всякого электрического контура то взаимная индуктивность М может быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной нулю, так как знаки потоков взаимной индукции зависят при выбранных положительных направлениях токов в контурах также еще и от взаимного расположения контуров. Положительные направления токов в обоих контурах всегда можно выбрать произвольно. Поскольку эти направления выбраны, то величину М мы должны считать положительной, когда при положительных токах потоки взаимной индукции, сцепляющиеся с контурами, оказываются также положительными, т. е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции. Иными словами, М > 0, если при положительных токах магнитные потоки в контурах направлены согласно, и М

При этих условиях, исходя из принятых в § 1.11 выражений для ЭДС взаимнои индукции и принимая связи между напряжениями и ЭДС в виде (с учетом, что ) мы должны условные положительные направления для этих величин принять такими же, как и для , т. е. совпадающими с условными положительными направлениями токов , что и показано стрелками на рис. 3.12.

Часто вместо этого маркируют один из зажимов каждой катушки жирной точкой (•) (рис. 3.12). Это значит, что если положительное направление тока в обмотке одной из катушек принято от точки, то и положительное направление напряжения на зажимах другой катушки и ЭДС взаимной индукции в ней также принимается от точки.

Соответственно выбранным положительным направлениям токов или соответственно выбранной маркировке точками должен быть задан знак взаимной индуктивности, например М = +0,5 Гн или М = -0,5 Гн.

Мы будем стремиться, как правило, выбирать положительное направление токов и маркировку точками согласованными между собой, как это сделано на рис. 3.12.

При этом то и другое обозначения взаимно заменяют друг друга. Если бы в особых случаях выбор положительных направлений токов оказался не согласованным с маркировкой точками, а знак М мы по-прежнему связали бы с маркировкой точками, то это значило бы, что надо писать

Источники ЭДС и источники тока

Источники энергии в электрических цепях принято рассматривать как источник и ЭДС или как источники тока. К источникам ЭДС обычно относят источники электромагнитной энергии, в которых ЭДС е не зависит или практически не зависит от тока, идущего от источника в приемник, и внутреннее сопротивление которых мало, так что напряжение на зажимах источника сравнительно мало изменяется в пределах изменения тока от нуля до номинального . На рис. 3.13 приведена так называемая внешняя характеристика, т. е. зависимость , такого источника при

Она представляет собой прямую линию. Линейная цепь должна содержать только источники ЭДС с такой линейной характеристикой. Если и и такой источник будем называть идеальным источником ЭДС. Если у реального источника, имеющего , условно вынести его внутреннее сопротивление, то получим условное изображение источника ЭДС, приведенное на рис. 3.14, а. Необходимо указать стрелкой положительное направление ЭДС е. В общем случае это есть условное положительное направление ЭДС, так как ЭДС может быть переменной, например периодической, величиной. Если теперь отнести к приемнику, добавив его к сопротивлению приемника (рис. 3.14, б), то цепь будет рассматриваться как содержащая идеальный источник ЭДС.

В случае когда характеристика криволинейна, что может быть, если величина е нелинейно зависит от i или когда

зависит от i цепь, содержащая такой источник, является нелинейной цепью.

Во второй части, посвященной теории линейных электрических цепей, будем предполагать, что источники ЭДС обладают линейной характеристикой. Источниками ЭДС в указанном смысле являются, например, аккумуляторы, гальванические элементы, вращающиеся электрические генераторы постоянного тока.

К источникам тока обычно относят источники электромагнитной энергии, в которых ток не зависит или практически не зависит от напряжения и, которое создается источником на зажимах приемника. Условимся в дальнейшем заданный ток источника тока обозначать буквой 3, чтобы отличать его от токов i в приемнике и в различных его участках. Это будет соответствовать принятому отличию обозначения заданной ЭДС е источника ЭДС от обозначения

напряжения и на зажимах приемника и на его различных участках. Предполагается, что источник тока имеет достаточно малую внутреннюю проводимость , так что ток поступающий в приемник, мало изменяется в пределах изменения напряжения и от нуля до номинального . На рис. 3.15 показана внешняя линейная характеристика источника тока при Здесь же приведена характеристика идеального источника тока, имеющего при котором

Если условно вынести проводимость , то получим условное изображение источника тока, приведенное на рис. 3.16, а. Необходимо указать стрелкой условное положительное направление тока 3. Если отнести проводимость к приемнику, добавив ее к проводимости приемника (рис. 3.16, б), то цепь будет рассматриваться как содержащая идеальный

источник тока. При изучении теории линейных цепей будем предполагать, что источники тока обладают линейной характеристикой. Источниками тока в указанном смысле являются, например, источники энергии, основанные на излучении заряженных частиц, выделяющихся при радиоактивном распаде вещества, так как при этом ток источника определяется скоростью распада.

Важными разновидностями источников ЭДС и тока являются зависимый источник ЭДС и зависимый источник тока. Зависимым источником электродвижущей силы называют такой источник, в котором ЭДС зависит от тока или напряжения в некотором участке цепи. Часто такие источники также называют управляемыми. Если значение ЭДС источника зависит от тока (или напряжения), то говорят, что такой источник управляем током (или напряжением).

Аналогично источник тока, в котором ток зависит от тока или напряжения в некотором участке цепи, называют зависимым источником тока. Если значение тока источника зависит от напряжения (или тока), то говорят, что такой источник управляем напряжением (или током).

При задании значений ЭДС или тока зависимых источников должны быть одновременно даны коэффициенты пропорциональности между управляемыми и управляющими величинами при их заданных условно-положительных направлениях и месторасположение управляющей величины.

На рис. 3.17 показаны различные зависимые источники: зависимый источник ЭДС, управляемый током (рис. 3.17, а) или напряжением (рис. 3.17, б); зависимый источник тока, управляемый током (рис. 3.17, в) или напряжением (рис. 3.17, г). На рис. 3.17 коэффициент а имеет размерность сопротивления, коэффициенты — безразмерные величины, а коэффициент имеет размерность проводимости. При изменении условно-положительного направления управляющего тока или управляющего напряжения при сохранении направления ЭДС или тока источника следует менять знаки или все зависимости записать со знаком минус. Например, пусть ЭДС зависимого источника направлена, как показано на рис. 3.17, а. Если ток в ветви q направлен от b к а, то для ЭДС в ветви р будем иметь выражение

Примером зависимого источника может служить операционный усилитель, в котором входной и выходной величинами являются напряжения (рис. 3.17, д). Эквивалентная схема операционного усилителя, который имеет бесконечно большое входное и пренебрежимо малое выходное сопротивления, показана на рис. 3.17, е. В случае, когда полярности напряжений на входе и выходе усилителя противоположны, коэффициент усиления принимается равным k, и такой усилитель называют инвертирующим.

На входе операционного усилителя может действовать несколько напряжений, а некоторые из них могут быть подключены к так называемому инвертирующему входу (рис. 3.17, ж). Операционный усилитель с двумя входами, один из которых является инвертирующим, представлен эквивалентной схемой, показанной на рис. 3.17, з. В этом случае .

Схемы электрических цепей

Электрическую цепь на чертежах изображают в виде схемы, под которой понимают графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее соединения этих элементов. Например, на рис. 3.18 представлена электрическая схема цепи, в которую входят следующие устройства: генератор переменного тока 1, трансформаторы 2 и 5, линии электропередачи 3 и 4, преобразователь переменного тока в постоянный 6, нагрузка 7.

Исследование процессов в электрической цепи требует знания связей между токами и напряжениями отдельных ее участков. Эти связи могут быть определены в виде математических соотношений (например, вида .).

Они могут быть заданы и в виде вольт-амперных или иных характеристик.

Как правило, задание связей в виде вольт-амперных или иных характеристик — результат либо невозможности математического описания процессов в данном устройстве, либо сложности решения полевых уравнений, либо незнания внутренней структуры устройства. В таких случаях единственным способом получения и описания характеристик устройства остается опыт, при помощи которого могут быть измерены интересующие нас токи, напряжения, заряды, потокосцепления и построены соответствующие характеристики. При наличии таких характеристик можно с тем или иным приближением описать их в виде математических связей, чтобы иметь возможность выполнить аналитическое исследование процессов в цепи. Разумеется, такой переход в общем случае не нужен, если анализ процессов в цепи производится численными методами.

Записанные в аналитической форме соотношения между токами, напряжениями, зарядами, потокосцеплениями элемента электрической цепи являются математической моделью этого элемента. Так, например, есть математическая модель резистора; — математическая модель идеальной индуктивной катушки; — приближенная математическая модель либо реальной катушки при условии пренебрежения токами смещения между витками катушки, либо цепи, содержащей резистор и идеальную индуктивную катушку, включенные последовательно.

И наоборот, математическим соотношениям, приведенным выше, могут быть поставлены в соответствие электрические цепи, содержащие идеальные индуктивные катушки и резисторы.

Условные изображения таких основных идеализированных элементов электрической цепи, каковыми являются резистор, конденсатор, индуктивная катушка, катушки с индуктивной связью, источники ЭДС и тока, были приведены на рис. 3.11, 3.12, 3.14, 3.16.

Математическим соотношениям между токами, напряжениями, потокосцеплениями, зарядами и другими величинами, следовательно, могут быть поставлены в соответствие электрические цепи, содержащие только идеализированные элементы и др. Очевидно, схемы таких цепей и сами цепи тождественны, так как каждому элементу схемы соответствует единственный элемент идеализированной цепи.

Таким образом, для расчета процессов в электрической цепи следует определить математические соотношения для отдельных участков исходной цепи, по этим соотношениям построить некую другую цепь, анализ процессов в которой заменит анализ процессов в исходной реальной цепи.

Схему этой другой электрической цепи, отображающей при определенных условиях свойства реальной цепи, называют схемой замещения электрической цепи или кратко — схемой замещения.

Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, схема которой изображена на рис. 3.18. Можно составить некоторую схему замещения (рис. 3.19) этой цепи, если принять во внимание соображения, приведенные в § 3.2-3.8. Пусть источником энергии служит конструкция (генератор), описанная в § 4.1 (см. рис. 4.2 и 4.3). Такой генератор является источником периодической ЭДС. Если частота этой ЭДС, а следовательно, и токов в цепи достаточно низка, то можно приближенно пренебречь токами смещения между витками обмотки генератора и представить эту обмотку в виде индуктивной катушки и резистора, являющегося активным сопротивлением обмотки генератора. Электродвижущую силу, индуцируемую в обмотке статора за счет вращения магнитного поля ротора, представим идеальным источником ЭДС. Таким образом, схема замещения генератора будет состоять из трех идеальных элементов: (рис. 3.19, а).

Эти три элемента должны быть соединены последовательно, так как и энергия магнитного поля , и потери энергии Ргв проводниках обмотки, и напряжение ir определяются током в обмотке. Трансформаторы 2 и 5 могут быть представлены в виде двух индуктивно-связанных катушек ( для трансформатора 2 и, соответственно, для трансформатора 5), если пренебречь потерями энергии в ферромагнитных элементах конструкции трансформатора и нелинейными свойствами ферромагнитного материала (подробнее см. ч. III, § 3.9). Резистор г2 является активным сопротивлением обмотки трансформатора 2. Линии передачи 3 и 4 для данной частоты даны в виде совокупности элементов и , которые включены в схему замещения линии исходя из следующих соображений.

Путь тока в линии и связанные с ним энергия магнитного поля и потери энергии представлены в виде последовательно соединенных элементов , . Наличие энергии электрического поля, которая определяется напряжением линии, учитывается двумя конденсаторами ( для линии 3 и для линии 4), включенными в начале и в конце линии. Можно было включить и один конденсатор либо в начале, либо в конце линии.

Естественно, что при этом должны быть скорректированы параметры линии для того, чтобы оставить неизменными потери энергии в линии и разность напряжений в начале и в конце линии. Именно эти величины взяты в качестве определяющих, так как для характеристик линии экономически важны значение потерь в линии и падение напряжения на линии. Разумеется, такая простая схема замещения линии не учитывает распределенный характер параметров линии (подробнее этот вопрос будет рассмотрен в т. II, гл. 17 и 18).

Преобразование переменного тока в постоянный производится при помощи использования особых свойств нелинейных элементов НЭ₆ (в данном случае диодов), вольт-амперная характеристика которых приведена на рис. 3.19, б. Благодаря такой ВАХ происходит выпрямление переменного тока. Нагрузка представлена резистором и конденсатором . Наличие конденсатора дает возможность улучшить форму кривой тока в резисторе, уменьшая ее пульсации.

Приведенная на рис. 3.19, а схема замещения электрической цепи, схема которой дана на рис. 3.18, является приближенной в пределах тех допущений, которые сделаны при представлении схем замещений отдельных устройств, входящих в состав цепи.

Для каждого элемента схемы рис. 3.19, а могут быть записаны в аналитическом или графическом виде соотношения между токами, напряжениями, зарядами и потокосцеплениями. Составление математических соотношений, а следовательно, и схем замещений является специфической для инженера задачей, решение которой требует глубокого понимания особенностей электромагнитных процессов, умения решать в общем случае задачи исследования распределения электромагнитного поля.

В дальнейшем, если не сделаны специальные оговорки, будем употреблять термин «электрическая цепь» применительно к цепи с идеализированными элементами, электрическая схема и схема замещения которой тождественны.

Электрическая цепь и, соответственно, ее схема имеют в общем случае ветви и узлы.

Ветвью электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют весь участок электрической цепи, в котором в любой момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего участка.

Ветвь может содержать любое число последовательно соединенных элементов цепи: участков с сопротивлением, конденсаторов, индуктивных катушек, источников ЭДС. При этом последовательным соединением участков электрической цепи называют соединение, при котором через все участки цепи проходит один и тот же ток.

Примером схемы цепи с последовательным соединением участков является схема, изображенная на рис. 3.14.

Узлом электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют место соединения ветвей. На схеме узел изображают точкой.

Параллельным соединением участков (ветвей) электрической цепи называют соединение, при котором все участки (ветви) цепи присоединяются к одной паре узлов и на всех этих участках (ветвях) имеется одно и то же напряжение. Примером схемы цепи с параллельным соединением участков является схема, изображенная на рис. 3.16.

Смешанным соединением участков электрической цепи называют сочетание последовательного и параллельного соединений.

Более сложные электрические цепи могут не сводиться к последовательному и параллельному соединению участков (пример — схемы цепей на рис. 3.23, а и 3.22, а).

Электрическую цепь называют плоской (планарной), если она может быть изображена на плоскости в виде схемы с непересекающимися ветвями. Пример схемы плоской цепи дан на рис. 3.23, а; на рис. 3.22, а изображена неплоская (непланарная) цепь.

Контуром электрической цепи называют любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Пример — контур abca на рис. 3.22, а.

В заключение отметим, что любая часть электрической цепи, имеющая два зажима (полюса), называется двухполюсником. Двухполюсник условно на схеме изображают прямоугольником с двумя выводами (рис. 3.20). Рассмотрение целой части как одного двухполюсника полезно при выяснении общих свойств этих частей цепи. Различают активные (рис. 3.20, а) и пассивные (рис. 3.20, б) двухполюсники.

Активным называют двухполюсник, содержащий источники электрической энергии. Для линейного двухполюсника обязательным дополнительным условием является наличие на его разомкнутых зажимах напряжения, обусловленного источниками электрической энергии внутри двухполюсника, т. е. необходимо, чтобы действия этих источников энергии не компенсировались взаимно внутри двухполюсника.

Пассивным называют двухполюсник, не содержащий источников электрической энергии. Линейный двухполюсник может содержать источники электрической энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжение на его разомкнутых зажимах равно нулю.

Оговорка о возможности наличия взаимно компенсирующихся источников, при которых двухполюсник остается пассивным, необходима, так как сама идея представления целой части цепи как двухполюсника заключается в рассмотрении общих свойств этой части цепи лишь со стороны ее входных зажимов. Эта оговорка относится исключительно к линейным цепям, потому что в нелинейных цепях такая компенсация может быть только для одного или только для нескольких определенных режимов и не будет иметь места для других режимов, так как параметры нелинейной цепи зависят от тока или напряжения.

Теоретические основы электротехники как наука

Электротехника как наука, изучающая свойства и особенности электрической энергии, легла в основу развития многих отраслей знаний — таких как медицина, биология, астрономия, геология, математика и др.

Азбукой электротехники являются ее теоретические основы. В настоящем учебнике теоретические вопросы электротехники рассматриваются в неразрывной связи с практическими задачами, что обеспечивает студентам знание качественных и количественных соотношений в различных процессах.

Данный курс является базой для изучения специальных предметов, поэтому является одной из важнейших дисциплин в процессе подготовки студентов по электро-, приборо-, радио-, кибернетическим и другим специальностям.

В учебнике условные обозначения соответствуют Единой системе конструкторской документации (ЕСКД).

Электрический заряд

Каждый химический элемент (вещество) состоит из совокупности мельчайших материальных частиц — атомов.

В состав атомов любого вещества входят элементарные частицы, часть которых обладает электрическим зарядом. Атом представляет собой систему, состоящую из ядра, вокруг которого вращаются электроны.

В ядре атома сосредоточены протоны, несущие в себе положительный заряд. Электроны имеют отрицательный электрическим заряд. В электрически нейтральном атоме заряд электронов равен по абсолютной величине заряду протонов.

Электроны вращаются вокруг ядра по строго определенным орбитам (слоям). В каждом слое количество электронов не дол-дно превышать определенного числа ( — номер слоя). Так, например, в первом, ближайшем к ядру слое могут находиться максимум два электрона, во втором — не более восьми и т. д.

Порядковый номер химического элемента в Периодической таблице Менделеева численно равен положительному заряду ядра этого элемента, следовательно, и числу вращающихся вокруг него электронов. На рис. 1.1 схематически показана структура атомов водорода (а), кислорода (б) и алюминия (в) с порядковыми номерами 1, 8 и 13.

Атомы, у которых внешние электронные слои целиком заполнены, имеют устойчивую электронную оболочку. Такой атом прочно держит все электроны и не нуждается в получении добавочного их количества.

Атом кислорода, например, имеющий шесть электронов, размешенных во внешнем слое, обладает возможностью притянуть к себе два недостающих электрона для заполнения внешнего электронного слоя. Это достигается путем соединения с атомами таких элементов, у которых внешние электроны слабо связаны со своим ядром. Например, электронами внешнего (третьего) слоя атома алюминия, которые слабо удерживаются и легко могут быть вырваны из атома.

Если нарушается равенство числа электронов и протонов, то из электрически нейтрального атом становится заряженным. Заряженный атом называется ионом.

Если в силу каких-либо причин атом потеряет один или несколько электронов, то в нем нарушится равенство зарядов и такой атом становится положительным ионом, поскольку в нем преобладает положительный заряд протонов ядра. Если атом приобретает один или несколько электронов, то он становится отрицательным ионом, так как в нем преобладает отрицательный заряд.

Вещество (твердое тело, жидкость, газ) считается электрически нейтральным, если количество положительных и отрицательных зарядов в нем одинаково. Если же в нем преобладают положительные или отрицательные заряды, то оно считается соответственно положительно или отрицательно заряженным.

В Единой системе конструкторской документации (ЕСКД), которая используется в данном учебнике, электрический заряд (количество электричества) обозначается буквой Q или q, а единицей заряда (в системе СИ) является 1 кулон, то есть (кулон). Электрон и протон имеют равный по величине, но противоположный по знаку заряд .

Электрический заряд или заряженное тело создают электрическое поле.

Электрическое поле — это пространство вокруг заряженного тела или заряда, в котором обнаруживается действие сил на пробный заряд, помещенный в это пространство.

Электрическое поле, создаваемое неподвижными зарядами, называется электростатическим.

Напряженность электрического поля

Обнаружить электрическое поле можно пробным зарядом, если поместить его в это поле. Пробным называется положительный заряд, внесение которого в исследуемое поле не приводит к его изменению. То есть пробный заряд не влияет ни на силу, ни на энергию, ни на конфигурацию поля.

Если в точку А электрического поля (рис. 1.2), созданного зарядом Q, расположенную на расстоянии г от него, внести пробный заряд q, то на него будет действовать сила причем если заряды Q и q имеют одинаковые знаки, то они отталкиваются (как это изображено на рис. 1.2), а если разные, то притягиваются.

Величина силы , действующей на пробный заряд q, помешенный в точку А электрического поля, пропорциональна величине заряда q и интенсивности электрического поля, созданного зарядом Q в точке А

где — напряженность электрического поля, характеризующая интенсивность поля в точке А.

То есть напряженность каждой точки электрического поля характеризуется силой, с которой поле действует на единицу заряда, помещенного в эту точку. Таким образом, напряженность является силовой характеристикой каждой точки электрического поля.

Измеряется напряженность электрического поля в вольтах на метр

Напряженность электрического поля — величина векторная.

Направление вектора напряженности в любой точке электрического поля совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку поля (см. рис. 1.2).

Поскольку в дальнейшем будут учитываться только значения силы и напряженности, будем обозначать их соответственно.

Напряженность является параметром каждой точки электрического поля и не зависит от величины пробного заряда q. Изменение величины q приводит к пропорциональному изменению силы F (1.1), а отношение (1.2), т. е. напряженность остается неизменной.

Для наглядности электрическое поле изображают электрическими линиями, которые иногда называют линиями напряженности электрического поля, или силовыми линиями. Электрические линии направлены от положительного заряда к отрицательному. Линия проводится так, чтобы вектор напряженности поля в данной точке являлся касательной к ней (рис. 1.3в).

Электрическое поле называется однородным, если напряженность его во всех точках одинакова по величине и направлению. Однородное электрическое поле изображается параллельными линиями, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга.

Однородное поле, например, существует между пластинами плоского конденсатора (рис. 1.3г).

Напряженность поля точечных зарядов

Точечным считается заряд, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается его действие.

Сила взаимодействия F двух точечных зарядов Q и q (рис. 1.2) определяется по закону Кулона:

где г — расстояние между зарядами; — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в которой взаимодействуют заряды.

Из (1.3) следует, что напряженность электрического поля заряда Q в точке А (рис. 1.2) равна

Таким образом, напряженность поля Ел, созданная зарядом Q в точке А электрического поля, зависит от величины заряда Q, создающего поле, расстояния точки А от источника поля г и от абсолютной диэлектрической проницаемости среды , в которой создается поле. Диэлектрическая проницаемость характеризует электрические свойства среды, т. е. интенсивность поляризации.

Единицей измерения абсолютной диэлектрической проницаемости среды является фарад на метр

Различные среды имеют разные значения абсолютной диэлектрической проницаемости.

Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума

называется электрической постоянной.

Абсолютную диэлектрическую проницаемость любой среды удобно выражать через электрическую постоянную и диэлектрическую проницаемость — табличную величину (Приложение 2).

Диэлектрическая проницаемость , которую иногда называют относительной, показывает, во сколько раз абсолютная диэлектрическая проницаемость среды больше, чем электрическая постоянная, т. е.

Таким образом, напряженность электрического поля, созданного зарядом Q на расстоянии от него, определяется выражением

Напряженность электрического поля, созданного несколькими зарядами в какой-либо точке А этого поля, определяется

геометрической суммой напряженностей, созданных в этой точке каждым точечным зарядом: (см. рис. 1.4).

Пример задачи с решением 1.1

Расстояние между точечными зарядами Вычислить величину напряженности в точке А, удаленной от заряда на расстояние а от заряда на расстояние (рис. 1.5), если: Кл;

Напряженность, созданная зарядом в точке А

Напряженность, созданная зарядом в точке А

Направление векторов напряженности , созданных зарядами , и результирующего вектора напряженности в точке А изображены на рис. 1.5.

Между векторами напряженности в данном примере угол равен , что справедливо только для прямоугольного греугольника), следовательно, результирующий вектор напряженности в точке А определяется выражением

Теорема Гаусса

Произведение напряженности электрического поля Е и площадки 5, перпендикулярной к ней, в однородном электрическом поле называют потоком вектора напряженности поля N сквозь эту площадку (рис. 1.6а)

где — нормальная (перпендикулярная площадке ) составляющая вектора напряженности электрического поля.

Как следует из рис. 1.6а,

Единица измерения потока вектора напряженности

Для неоднородного электрического поля площадку разбивают на элементарные бесконечно малые площадки , для каждой из которых поле можно считать однородным.

Тогда элементарный поток

Для определения потока вектора напряженности сквозь всю площадку элементарные потоки суммируют (интегрируют) по всей площади

Если, например, точечный заряд Q расположен в центре сферической поверхности радиусом (рис. 1.66), то напряженность во всех точках этой поверхности, как следует из (1.8), равна

Векторы напряженности перпендикулярны этой поверхности, т. е. и одинаковы во всех точках этой поверхности. Тогда поток вектора напряженности поля сквозь эту поверхность

где — площадь поверхности шара радиусом

Следовательно, поток вектора напряженности будет равен

То есть поток вектора напряженности N не зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения зарядов внутри нее.

Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность определяется отношением суммы зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды

Формула (1.11) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая применяется для расчета электрического поля.

Пример с решением 1.2

Определить поток вектора напряженности электрического поля сквозь сферическую поверхность радиусом (рис. 1.66), заполненную маслом , если в ее центре находится точечный электрический заряд . Определить напряженность электрического поля на поверхности сферы.

Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность

Тогда напряженность на поверхности сферы

Напряженность на поверхности сферы можно определить также по формуле (1.8)

То есть результат получился таким же.

Потенциал и напряжение в электрическом поле

Для энергетической характеристики каждой точки электрического поля вводится понятие «потенциал». Обозначается потенциал буквой

Потенциал в каждой точке электрического поля характеризуется энергией W, которая затрачивается (или может быть затрачена) полем на перемещение единицы положительного заряда из данной точки за пределы поля, если поле создано положительным зарядом, или из-за пределов поля в данную точку, если поле создано отрицательным зарядом (рис. 1.7а).

Из приведенного выше определения следует, что потенциал в точке А равен потенциал в точке , а потенциал в точке С — .

Измеряется потенциал в вольтах

Величина потенциала в каждой точке электрического поля определяется выражением

Потенциал — скалярная величина. Если электрическое поле создано несколькими зарядами, то потенциал в каждой точке поля определяется алгебраической суммой потенциалов, созданных в этой точке каждым зарядом.

Так как (рис. 1.7а) , то из (1.12) следует, что . если поле создано положительным зарядом.

Если в точку А (рис. 1.7а) электрического поля поместить положительный пробный заряд , то под действием сил поля он будет перемещаться из точки А в точку В, а затем в точку С, т. е. в направлении поля. Таким образом, положительный пробный заряд перемешается из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом. Между двумя точками с равными потенциалами заряд перемещаться не будет. Следовательно, для перемещения заряда между двумя точками электрического поля должна быть разность потенциалов в этих точках.

Разность потенциалов двух точек электрического поля характеризует напряжение U между этими точками

Напряжение между двумя точками электрического поля характеризуется энергией, затраченной на перемещение единицы положительного заряда между этими точками, т. е.

Измеряется напряжение в вольтах (В).

Между напряжением и напряженностью в однородном электрическом поле (рис. 1.8) существует зависимость

Из (1.13) видно, что напряженность однородного электрического поля определяется отношением напряжения между двумя точками поля к расстоянию между этими точками.

В общем случае для неоднородного электрического поля значение напряженности определяется отношением

где — напряжение между двумя точками поля на одной электрической линии на расстоянии между ними.

Единица напряженности электрического поля определяется из выражения (1.13)

Потенциалы в точках электрического поля могут иметь различные значения. Однако в электрическом поле можно выделить ряд точек с одинаковым потенциалом. Поверхность, проходящая через эти точки, называется равнопотенциальной, или эквипотенциальной.

Равнопотенциальная поверхность любой конфигурации перпендикулярна к линиям электрического поля. Обкладки цилиндрического конденсатора (рис. 1.7 б) и плоского конденсатора (рис. 1.9) имеют одинаковый потенциал по всей площади каждой обкладки и являются равнопотенциальными поверхностями.

Пример с решением 1.3

Для условия примера 1.1 определить потенциал в точке А, созданный зарядами .

Следовательно, алгебраическая сумма потенциалов равна

Пример с решением 1.4

Точечный заряд Кл помешен в центре плоского воздушного конденсатора, расстояние между пластинами которого равно 4,5 см. Напряжение между пластинами В. Определить напряженность Е электрического поля в точках , находящихся на расстоянии 0,5 см справа и слева от заряда Q и лежащих на электрической линии, проходящей через заряд Q (рис. 1.9).

Напряженность однородного электрического поля между пластинами конденсатора

Напряженности, созданные зарядом Q в точках ,

Напряженности, созданные в точках А и В однородным электрическим полем конденсатора и зарядом определяются геометрической суммой векторов напряженностей .

В точке В векторы напряженностей совпадают по направлению, а в точке А векторы направлены в противоположные стороны.

Электропроводность. Проводники

Способность вещества проводить электрический ток называется электропроводностью.

По электропроводности все вещества делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Проводники обладают высокой электропроводностью. Различают проводники первого и второго рода.

К проводникам первого рода относятся все металлы, некоторые сплавы и уголь. В этих проводниках связь между электронами и ядром атома слаба, в результате чего электроны легко покидают пределы атома и становятся свободными. Направленное перемещение свободных электронов и обуславливает электропроводность проводников первого рода. Таким образом, проводники первого рода обладают электронной проводимостью.

К проводникам второго рода относятся электролиты, в которых происходит процесс электролитической диссоциации, разделение молекул на положительные и отрицательные ионы (ионизация). Направленное перемещение ионов обуславливает электропроводность проводников второго рода, т. е. в проводниках второго рода имеет место ионная проводимость.

В проводниках отсутствует электростатическое поле (рис. 1.106).

Если проводник поместить в электростатическое поле, то под действием сил этого поля происходит перемещение зарядов в проводнике: положительных — в направлении внешнего поля, отрицательных — в противоположном направлении (рис. 1.10а). Такое разделение зарядов в проводнике под действием внешнего поля называется электростатической индукцией.

Разделенные внутри проводника заряды создают свое электрическое поле, направленное от положительных зарядов к отрицательным, т. е. против внешнего поля (рис. 1.10а).

Очевидно, разделение зарядов в проводнике прекратится тогда, когда напряженность поля разделенных зарядов

станет равной напряженности внешнего поля в проводнике , т. е. , а результирующее поле

Таким образом, результирующее поле внутри проводника станет равным нулю (рис. 1.10б). На этом принципе работает электростатический экран, защищающий часть пространства от внешних электрических полей (рис. 1.11). Для того чтобы внешние электрические поля не влияли на точность электроизмерения, измерительный прибор помешают внутрь замкнутой проводящей оболочки (экрана), в которой электрическое поле отсутствует (рис. 1.11).

Электропроводность. Диэлектрики

Электропроводность диэлектриков практически равна нулю в силу весьма сильной связи между электронами и ядром атомов диэлектрика.

Если диэлектрик поместить в электростатическое поле, то в нем произойдет поляризация атомов, т. е. смещение разноименных зарядов в самом атоме, но не разделение их (рис. 1.12а). Поляризованный атом (молекула) может рассматриваться как электрический диполь (рис. 1.126), в котором «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов смешаются. Диполь — это система двух разноименных зарядов, расположенных на малом расстоянии друг от друга в замкнутом пространстве атома или молекулы.

Электрический диполь — это атом диэлектрика, в котором орбита электрона вытягивается в направлении, противоположном направлению внешнего поля (рис. 1.126).

Поляризованные атомы создают свое электрическое поле, напряженность которого направлена против внешнего поля. В результате поляризации результирующее поле внутри диэлектрика ослабляется.

Интенсивность поляризации диэлектрика зависит от его диэлектрической проницаемости (Приложение 2). Чем больше диэлектрическая проницаемость, тем интенсивней поляризация в диэлектрике и тем слабее электрическое поле в нем:

Этим еще раз подтверждается справедливость формулы (1.8)

Таким образом, напряженность электрического поля обратно пропорциональна абсолютной диэлектрической проницаемости среды Еа, в которой создастся электрическое поле.

Если диэлектрик поместить в сильное электрическое поле, напряженность которого можно увеличивать, то при каком-то значении напряженности произойдет пробой диэлектрика, при этом электроны отрываются от атома, т. е. происходит ионизация диэлектрика. Таким образом, диэлектрик становится проводником.

Напряженность внешнего поля, при которой происходит пробой диэлектрика, называется пробивной напряженностью диэлектрика.

А напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика, называют напряжением пробоя, или электрической прочностью диэлектрика.

где — пробивное напряжение, т.е. напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика; d — толщина диэлектрика, , называется допустимой напряженностью.

Допустимая напряженность должна быть в несколько раз меньше электрической прочности.

Электропроводность. Полупроводники

К полупроводникам относятся материалы, которые по своим электрическим свойствам занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками.

Широкое применение в полупроводниковой технике получили такие материалы, как германий, кремний, селен, арсенид галлия и др.

Электропроводность и концентрация носителей зарядов в полупроводниках зависит от температуры, освещенности, примесей, степени сжатия и т. д.

Электрическая проводимость полупроводника зависит от рода примесей, имеющихся в основном материале полупроводника, и от технологии изготовления его составных частей.

Различают две основные разновидности электрической проводимости полупроводников — электронную и «дырочную».

Природа электрического тока в полупроводниках с электронной проводимостью та же, что и в проводниках первого рода. Однако так как свободных электронов в единице объема полупроводника во много раз меньше, чем в единице объема металлического проводника, то ток в полупроводнике будет во много раз меньше, чем в металлическом проводнике. В технике электронная проводимость называется проводимостью n-типа (от слова negative — отрицательный).

Полупроводник обладает «дырочной» проводимостью, если атомы его примеси стремятся захватить электроны атомов основного вещества полупроводника, не отдавая своих внешних электронов.

Если атом примеси «отберет» электрон у атома основного вещества, то в последнем образуется свободное место —

Атом полупроводника, потерявший электрон, называют «дыркой». Если «дырка» заполняется электроном, перешедшим из соседнего атома, то она «ликвидируется» и атом становится электронейтральным, а «дырка» смещается на место его атома, потерявшего электрон. Таким образом, если на полупроводник, обладающий «дырочной» проводимостью, действует электрическое поле, то «дырки» будут перемешаться в направлении поля.

Перемещение «дырок» в направлении электрического поля аналогично перемещению положительных электрических зарядов в поле, т. е. электрическому току в полупроводнике.

«Дырочная проводимость» в технике называется p-проводимостью (от слова positive — положительный).

Нельзя строго разграничивать полупроводники по проводимости, так как наряду с «дырочной» проводимостью полупроводник обладает и электронной проводимостью.

Рассмотрим природу полупроводниковой проводимости на примере вентиля, представляющего собой контактное соединение двух проводников, один из которых обладает электронной проводимостью n-типа, а другой — «дырочной» р-типа (рис. 1.14).

Вследствие большой концентрации электронов в полупроводнике типа n по сравнению с полупроводником p-типа, электроны из первого проводника будут проникать во второй. Аналогично происходит проникновение «дырок» в полупроводник n-типа. В результате такого проникновения зарядов в тонком пограничном слое возникают разноименные заряженные слои, между которыми создается электрическое поле, напряженность которого (рис. 1.14а, б). Напряженность создана контактной разностью потенциалов в пограничном слое двух полупроводников.

Эта напряженность образует потенциальный барьер в пограничном слое, препятствующий дальнейшему проникновению зарядов в пограничный слой каждого полупроводника. Напряженность направлена против силы, действующей на положительный заряд.

Если к полупроводникам, образующим -переход, подвести напряжение от постороннего источника с напряжением U, то на границе полупроводников создается электрическое поле с напряженностью (рис. 1.14), направление которого зависит от полярности источника.

При прямом включении источника () созданная им напряженность направлена против напряженности , т. е. ослабляет ее (рис. 1.14а). В результате чего уменьшается противодействие перемещению положительных зарядов в пограничном слое и увеличивается прямой ток в полупроводниках .

Если напряженность станет равной , то противодействие заряженным частицам полупроводника определяется только сопротивлением полупроводника.

При обратном включении источника () созданная им напряженность направлена в одном направлении с , следовательно, усиливает ее (рис. 1.146). При этом усиливается противодействие положительным зарядам в полупроводнике, в результате чего обратный ток в ряде случаев может считаться равным нулю.

1аким образом, контактное соединение двух полупроводников с разными проводимостями () обладает явно выраженной односторонней проводимостью, т. е. является вентилем (см. гл. 19 п. 2).

Односторонняя проводимость, малые габариты и другие свойства полупроводников используются в разнообразных приборах и устройствах (выпрямители, усилители и пр.). Полупроводники являются основным «строительным» материалом современных диодов, транзисторов, фоторезисторов, микропроцессоров и другой электронной техники.

Электрические цепи постоянного тока

Основными элементами электрической цепи являются:

1. источник электрической энергии;
2. потребители;
3. устройства для передачи электрической энергии.

В источниках электрической энергии (генераторах, аккумуляторах, солнечных батареях, термоэлементах и др.) происходит преобразование различных видов энергии в электрическую.

В генераторах в электрическую энергию преобразуется механическая, тепловая, гидро-, атомная и другие виды энергии. В гальванических элементах и аккумуляторах в электрическую энергию преобразуется химическая энергия. Термоэлементы, фотоэлементы, солнечные батареи преобразуют в электрическую тепловую и световую энергию.

В потребителях происходит обратный процесс, т.е. электрическая энергия преобразуется в механическую, тепловую, световую и другие виды энергии.

Устройствами для передачи электрической энергии от источников к потребителям являются линии электропередачи, провода, кабели и другие проводники. Провод представляет собой металлическую проволоку из меди, алюминия или стали, покрытую или не покрытую изолирующим слоем. Изоляция препятствует контакту с токоведущими участками цепей, находящимися под напряжением.

Все основные элементы электрической цепи обладают электрическим сопротивлением.

Кроме основных элементов электрические цепи содержат вспомогательные элементы: предохранители, рубильники, выключатели, переключатели, измерительные приборы (амперметры, вольтметры, счетчики) и др.

Графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов, называется схемой электрической цепи. Все основные и вспомогательные элементы в схемах электрических цепей имеют условные обозначения (Приложение 3). Схема электрической цепи показана на рис. 2.1.

В электрической цепи различают два участка: внутренний и внешний. Источник является внутренним участком электрической цепи. Все остальные элементы относятся к внешнему участку электрической цепи.

Ток в электрической цепи

Электрический ток — это явление упорядоченного (направленного) перемещения заряженных частиц в проводнике под действием электрического поля.

Электрический ток может существовать только в замкнутой электрической цепи (ключ К замкнут — рис. 2.1).

Интенсивность направленного перемещения электрических зарядов в замкнутой электрической цепи характеризует величину тока.

Обозначается величина постоянного тока буквой , а переменного —

(мгновенное значение). Величина тока определяется количеством электричества (зарядов) Q, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени :

Измеряется ток в амперах, т.е. (ампер) — единица измерения тока.

Постоянным называется ток, величина и направление которого не изменяется с течением времени. Постоянный ток Г изображен на графике (рис. 2.2).

За направление тока в замкнутой электрической цепи принимается направление от положительной клеммы источника к его отрицательной клемме по внешнему участку цепи (рис .2.1).

Таким образом, направление тока противоположно направлению перемещения электронов в замкнутой цепи. Ток в цепи направлен так, как перемещались бы положительные заряды.

В неразветвленной электрической цепи (рис. 2.1) ток на всех участках (во всех сечениях) цепи имеет одинаковое значение, в противном случае в какой-либо точке электрической цепи накапливались бы заряды, чего не может быть в замкнутой электрической цепи.

Отношение величины тока в проводнике к площади его поперечкого сечения характеризует плотность тока в этом проводнике.

Обозначается плотность тока буквой J.

Единицей измерения плотности тока является ампер на квадратный метр

Так как на практике площадь сечения проводов обычно выражают в мм2, то плотность тока выражают Плотность тока — величина векторная. Вектор плотности тока направлен перпендикулярно площади сечения проводника.

Допустимая плотность тока определяет способность проводника определенного сечения выдерживать ту или иную токовую нагрузку. Так, например, допустимая плотность тока для монтажных проводов . По допустимой плотности тока определяют сечение проводов коротких линий и проверяют сечение проводов длинных линий, рассчитанных по допустимой потере напряжения. Допустимая плотность тока в проводах из различного материала и различных марок при разных условиях монтажа приводится в справочной литературе (Приложение 11).

ЭДС и напряжение в электрической цепи

Источник электрической энергии осуществляет направленное перемещение электрических зарядов по всей замкнутой цепи (рис. 2.3).

Энергия W, которую затрачивает или может затратить источник на перемещение единицы положительного заряда по всей замкнутой цепи, характеризует электродвижущую силу источника Е (ЭДС):

Из определения следует, что ЭДС является энергетической характеристикой источника тока, а не силовой, как можно было бы решить по названию «электродвижущая сила». Единицей измерения ЭДС является вольт:

Энергия, затраченная на перемещение единицы положительного заряда на каком-либо участке замкнутой цепи, характеризует напряжение или падение напряжения на этом участке (внутреннем или внешнем):

Для замкнутой электрической цепи условие равновесия напряжений

Таким образом, ЭДС источника (Е) можно рассматривать как сумму падений напряжения на внутреннем () и на внешнем () участках замкнутой цепи (рис. 2.3).

Закон Ома для участка цепи

Закон Ома для участка электрической цепи устанавливает зависимость между током, напряжением и сопротивлением на этом участке цепи.

Направленное перемещение электрических зарядов в проводнике (т.е. электрический ток ) происходит под действием сил

однородного электрического поля (рис. 2.4). Напряженность поля определяется из выражения (1.13)

где — напряжение на участке проводника длиной .

Плотность тока в проводнике пропорциональна напряженности однородного электрического поля, силы которого направленно перемещают в нем заряды:

где —коэффициент пропорциональности, называемый удельной проводимостью, характеризующий способность проводника проводить электрический ток.

Подставив в выражение (2.4) величину напряженности однородного электрического поля, силы которого перемещают заряды в проводнике, получим

где —— электрическое сопротивление участка проводника () длиной

Тогда

Это и есть математическое выражение закона Ома для участка АВ электрической цепи.

Таким образом, ток на участке электрической цепи пропорционален напряжению на этом участке и обратно пропорционален сопротивлению этого участка.

Закон Ома для участка цепи позволяет определить напряжение На данном участке

а также вычислить сопротивление участка электрической цепи

Выражения (2.6) и (2.7) являются арифметическими следствиями закона Ома, которые широко применяются для расчета электрических цепей.

Электрическое сопротивление

Как уже говорилось, обозначается электрическое сопротивление буквой R. Единицей измерения сопротивления является Ом:

Электрическое сопротивление проводника — это противодействие, которое атомы или молекулы проводника оказывают направленному перемещению зарядов.

Сопротивление зависит от длины проводника площади поперечного сечения S и материала проводника р:

Где удельное сопротивление проводника, зависящее от свойства материала проводника.

Удельное сопротивление — это сопротивление проводника из данного материала длиной 1 м площадью поперечного сечения при температуре 20 °C. Величина удельного сопротивления некоторых проводников приведена в Приложении 4.

Единицей измерения удельного сопротивления является

Однако на практике сечение проводников выражают в мм 2 . Поэтому

Удельное сопротивление проводника определяет область его применения. Так, например, для соединения источника с потребителем применяются металлические провода с малым удельным сопротивлением алюминий, медь. Для обмоток реостатов нагревательных приборов применяются сплавы с большим удельным сопротивлением — нихром, фехраль (при этом уменьшается длина проводника ).

Величину, обратную сопротивлению, называют проводимостью

Единицей проводимости является сименс

Элементы электрической цепи, характеризующиеся сопротивлением R, называют резистивными, а промышленные изделия, предназначенные для выполнения роли сопротивления электрическому току, называются резисторами. Резисторы бывают регулируемые и нерегулируемые, проволочные и непроволочные пленочные, композиционные и др.

Сопротивление проводников зависит от их температуры.

Сопротивление проводника при любой температуре (с достаточной степенью точности при изменении температуры в пределах °C) можно определить выражением

где — сопротивление проводника при конечной температуре — сопротивление проводника при начальной температуре , температурный коэффициент сопротивления.

Температурный коэффициент сопротивления определяет относительное изменение сопротивления проводника при изменении его температуры на 1 °C. Единицей измерения температурного коэффициента сопротивления является

Для различных проводников температурный коэффициент сопротивления имеет различные значения (Приложение 4).

Для металлических проводников (Приложение 4) температурный коэффициент сопротивления а положителен, т. е. с ростом температуры сопротивление металлических проводников увеличивается (2.9). Объясняется это тем, что при нагревании увеличивается подвижность атомов и молекул металла, а следовательно, и число столкновений с ними электрических зарядов увеличивается. Таким образом, возрастает противодействие направленному перемещению этих зарядов, т. е. увеличивается сопротивление металлического проводника.

Для проводников второго рода (электролитов) и угля температурный коэффициент сопротивления отрицателен, т. е. с ростом температуры их сопротивление уменьшается (2.9). Объясняется это тем, что с повышением температуры ослабляются связи между положительно и отрицательно заряженными частицами, что приводит к усилению ионизации, обуславливающей электропроводность, т. е. уменьшается сопротивление электролитов и угля.

Для большинства электролитов , а для угля .

Температурный коэффициент сопротивления проводников определяет их применение. Например, такие сплавы, как константан и манганин, имеют малый температурный коэффициент сопротивления (Приложение 4), т.е. их сопротивление почти не зависит от температуры, поэтому их применяют в качестве материала для изготовления шунтов и добавочных сопротивлений, служащих для расширения пределов измерения амперметров и вольтметров, на точность которых не должна влиять температура.

При понижении температуры некоторых металлов и сплавов до очень низких значений, порядка нескольких градусов Кельвина , возникает явление сверхпроводимости.

Сверхпроводником называют проводник, сопротивление которого практически равно нулю.

В сверхпроводнике совершенно не выделяется тепло при прохождении тока, так как электроны при направленном движении не встречают препятствий. В нем невозможно существование магнитного поля.

Следует ожидать широкого применения сверхпроводников в электротехнике в будущем.

Закон Ома для замкнутой цепи

Для замкнутой электрической цепи (рис. 2.5) ЭДС источника, согласно (2.3), можно определить выражением

где сопротивление источника; R — сопротивление потребителя (сопротивлением проводов пренебрегают).

Из (2.10) следует, что ток в замкнутой цепи равен

Выражение (2.11) является математическим выражением закона Ома для замкнутой цепи.

Из (2.10) можно определить напряжение на внешнем участке цепи, т. е. напряжение на клеммах источника U между точками А и В (см. рис. 2.5).

Таким образом, напряжение U на клеммах источника электрической энергии меньше, чем ЭДС этого источника (Е) на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника.

Отсутствие нагрузки — ключ К разомкнут — соответствует режиму холостого хода. При этом = 0. Вольтметр (И), подключенный к клеммам источника А и В (рис. 2.5), при отсутствии нагрузки показывает ЭДС источника Е

Если же ключ К замкнут , то вольтметр покажет напряжение U на клеммах источника, которое меньше ЭДС на величину , равную падению напряжения на внутреннем сопротивлении источника (2.12).

Из (2.12) следует, что с увеличением нагрузки, т. е. с увеличением тока , напряжение на клеммах источника уменьшается, что можно показать графически на внешней характеристике источника (рис. 2.6).

Очевидно, чем больше внутреннее сопротивление источника /^, тем меньше будет напряжение на его клеммах при нагрузке

Энергия и мощность электрического тока

В замкнутой электрической цепи источник затрачивает электрическую энергию на перемещение единицы положительного заряда по всей замкнутой цепи, т.е. на внутреннем и внешнем участках ((2.3) и рис. 2.3).

ЭДС источника определяется выражением . Из этого выражения следует, что энергия, затраченная источником, равна

так как , что вытекает из определения величины тока . Энергия источника расходуется на потребителе (полезная энергия)

и на внутреннем сопротивлении источника (потери)

Потерей энергии в проводах, при незначительной их длине, можно пренебречь.

Из закона сохранения энергии следует

Во всех элементах электрической цепи происходит преобразование энергии (в источниках различные виды энергии преобразуются в электрическую, в потребителях — электрическая в другие Скорость такого преобразования энергии определяет электрическую мощность элементов электрической цепи

Обозначается электрическая мощность буквой Р, а единицей электрической мощности является ватт, другими словами, (ватт)

Таким образом, мощность источника электрической энергии определяется выражением

Мощность потребителя, т.е. полезная, потребляемая мощность, будет равна

Если воспользоваться законом Ома для участка электрической цепи, то полезную мощность можно определить следующим выражением:

Потери мощности на внутреннем сопротивлении источника

Для любой замкнутой цепи должен сохраняться баланс мощностей

Так как электрическая мощность измеряется в ваттах, то единицей измерения электрической энергии является

Коэффициент полезного действия электрической цепи п определяется отношением полезной мощности (мощности потребителя) ко всей затраченной мощности (мощности источника)

Закон Джоуля — Ленца

В проводах линии передачи электрической энергии, обмоток якорей и полюсов электрических машин, электробытовых приборов и других потребителей происходит преобразование электрической энергии в тепловую.

Ток , протекая по проводнику с сопротивлением R, нагревает этот проводник. За время в этом проводнике выделяется тепло, количество которого определяется количеством электрической энергии, затраченной в этом проводнике, т. е.

где — количество тепла, выделенного в проводнике, Вт*с.

Приведенная зависимость (2.24) является математическим выражением закона Джоуля — Ленца.

Таким образом, закон Джоуля — Ленца устанавливает зависимость между количеством тепла и электрической энергией: количество тепла, выделенное током в проводнике, пропорционально квадрату тока, сопротивлению проводника и времени прохождения тока по проводнику.

. Количество тепла Q измеряется иногда внесистемной единицей — калорией (количество тепла, необходимое для нагревания 1 г воды на 1 °C). Причем 1 кал = 4,187 Дж, следовательно, 1 Вт*с= 1 Дж = 0,24 кал.

Для определения количества тепла Q в калориях пользуются выражением

Коэффициент 0,24 называют электротермическим эквивалентом, который устанавливает зависимость между электрической и тепловой энергией.

к Например, количество тепла, выделенное в проводнике с сопротивлением А= 24 Ом, по которому проходит ток 7=5 А в течение 2 часов составляет:

Преобразование электрической энергии в тепловую широко используется в разнообразных электронагревательных приборах. Однако преобразование электрической энергии в тепловую вызывает и непроизводительные расходы энергии в электрических машинах, трансформаторах и других элементах электрической цепи и снижает их КПД.

Режимы работы электрических цепей

В электрической цепи различают активные и пассивные элементы (участки). Активными считаются элементы, в которых преобразование энергии сопровождается возникновением ЭДС (аккумуляторы, генераторы). Пассивными считаются элементы, в которых ЭДС не возникает.

Параметры, характеризующие работу электрической цепи (рис. 2.5) при различных режимах, определяются следующими выражениями.

Ток в замкнутой цепи

Напряжение на клеммах источника .

Падение напряжения на сопротивлении источника

Полезная мощность (мощность потребителя)

Исследуем изменение этих величин при изменении сопротивления R от бесконечности (режим холостого хода) до нуля (режик короткого замыкания).

1. в режиме холостого хода (ключ К разомкнут)

2. В режиме короткого замыкания

Таким образом, полезная мощность Р при холостом ходе и коротком замыкании равна нулю. Следовательно, при каком-то значении сопротивления R послезная мощность P имеет максимальную величину.

Для определения этого значения определим первую производную полезной мощности по току и приравняем ее к нулю, т.е.

Следовательно, максимальная можщность будетпри токе

Максимальная полезная мощность выделяется при

Полезная мощность максимальна, когда сопротивление потребителя R станет равным внутреннему сопротивлению источника . Это и есть условие максимальной отдачи мощности источником (2.26)

При максимальной отдаче мощности ток в цепи равен , в коэффициент полезного действия.

К 100% КПД цепи приближается в режиме, близком к холостому ходу.

Максимальной отдачи мощности ддобиваются в маломощной аппаратуре: звуковоспроизводящей, радио, магнитофонах и др.

В мощных энергетических установках добиваются максимального КПД.

‘Зависимость напряжений и полезной мощности от нагрузки (тока ) показана на рис. 2.7. Режим короткого замыкания в

электрических установках нежелателен, так как он приводит к большому току (больше номинального), т. е. резкому увеличению выделения епла и выходу из строя аппаратуры. Нормальным (рабочим) называется режим работы цепи, при котором ток, напряжение и мощность не превышают номинальных значений — значений, на которые источник и приемники энергии рассчитаны заводом-изготовителем.

Пример задачи с решением 2.1

К источнику электрической энергии с ЭДС Е= 30 В и внутренним сопротивлением =1 Ом подключен резистор R, сопротивление которого можно изменять (рис. 2.5). Определить ток цепи , Напряжение на клеммах источника U, мошность потребителя Р, мощность источника и КПД цепи при следующих значениях сопротивлений резистора

1. При сопротивлении резистора

2. При сопротивлении резистора — максимальная отдача мощности)

3. При сопротивлении резистора

Пример задачи с решением 2.2

При замкнутом ключе К (рис. 2.8) показания вольтметра 6 В, а амперметра 1,5 А. Если ключ А’разомкнут, то вольтметр покажет 6,6 В. Определить сопротивление потребителя R и внутреннее сопротивление источника . Сохранен ли баланс мощностей и каков КПД цепи при замкнутом ключе

При разомкнутом ключе К вольтметр показывает величину ЭДС источника , а при замкнутом — напряжение на клеммах источника и потребителя .

Тогда сопротивление потребителя

а внутреннее сопротивление источника

Баланс мощностей в работающей цели: , т.е. или 9,9 = 9,9, т.е. баланс мощностей сохранен.

КПД цепи

Пример задачи с решением 2.3

Электрический чайник, рассчитанный на напряжение В и ток , ежедневно работает 7 минут. Какое количество тепла ежедневно выделяет его на1реватель и столько стоит потребляемая чайником энергия за 1 месяц (30 дней), если 1 кВт*ч энергии стоит 63 копейки?

Ежедневно энергия, потребляемая чайником, составляет

За 1 месяц чайник потребляет энергии

Количество тепла, выделяемое ежедневно, равно

Электрические цепи

Электрическая цепь служит для генерирования, преобразования, передачи и распределения электромагнитной энергии и информации. Свое назначение электрическая цепь выполняет при наличии тока и напряжения. Если напряжение, приложенное к цепи, является постоянным и сопротивление цепи меньше бесконечности, в цепи устанавливается постоянный ток.

Реальная простейшая электрическая цепь содержит: источник и приемник электрической энергии, ключ и соединительные провода (рис. 1.1).

Обычно в расчетах реальные элементы заменяют идеальным источником ЭДС с последовательно включенным с ним сопротивлением (схема 1), пытаясь таким образом учесть внутреннее сопротивление прибора.

Связь напряжения и тока на элементе (на любом элементе) называется его вольтамперной характеристикой (ВАХ). Напряжение и ток резистивного элемента связаны законом Ома:

где U — напряжение, — ток, R — сопротивление резистивного элемента, G — проводимость, величина, обратная сопротивлению (G = 1/R).

• В электрических цепях происходит преобразование одного вида энергии в другой (например, энергия электрического тока преобразуется в тепловую). Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью. Количественной характеристикой этого процесса является мощность Р, определяемая как:

Мощность тепловых потерь на резистивном элементе (Вт):

Законы Кирхгофа установлены экспериментально Густавом Робертом Кирхгофом (1824-1887) в 1845 году.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

где N — число ветвей подсоединенных к узлу. Принято считать, что токи, втекающие в узел имеют знак «-», вытекающие токи берутся со знаком «+».

Второй закон Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС и напряжений на пассивных элементах равна нулю. где N — число элементов, входящих в контур. Со знаком «+» берутся слагаемые, соответствующие элементам, на которых падение напряжения или ЭДС и напряжения источников токов совпадают с направлением обхода контура. Направление обхода контура выбирается произвольно.

Правила преобразований

Последовательное соединение резистивных элементов. Через последовательно соединенные элементы (схема 1.2) протекает только один ток, эквивалентное сопротивление при этом будет равно:

Для схемы 1.2:

При параллельном соединении резистивных элементов эквивалентное сопротивление будет равно:

Преобразование из треугольника в звезду и обратно (схема 1.3):

Из треугольника в звезду:

Правило распределения (разброса) тока в двух параллельных ветвях. В параллельных ветвях используется для определения токов пассивных ветвей. Применение правила разброса покажем для цепи на схеме 1.4.

Если известен ток, втекающий в общий узел, то токи каждой из ветвей вычисляются согласно приведенным ниже формулам:

Примеры расчета простых цепей

Пример задачи 1.1.

В схеме 1.5 определить эквивалентное сопротивление, если

Решение:

Сопротивления соединены параллельно. После преобразования:

Затем соединим сопротивления последовательно:

Пример задачи 1.2.

В схеме 1.6 определить эквивалентное сопротивление, если

Решение:

Сопротивления соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:

После преобразования схема достаточно быстро упрощается (схема 1.7).

Сопротивления соединим последовательно

Сопротивления складываем параллельно

Сопротивления складываем последовательно и получаем окончательный результат:

Метод контурных токов

Данный метод является следствием законов Кирхгофа. Метод контурных токов (МКТ) позволяет значительно упростить расчет электрических цепей за счет уменьшения порядка системы уравнений. В методе вводятся фиктивные контурные токи, протекающие в независимых контурах.

1. Вводятся контурные токи где к — количество независимых контуров. Число контурных токов определяется как .

2. Для каждого из контурных токов записываются контурные уравнения, имеющие следующий вид:

где контурный ток А-го контура; — собственное сопротивление

А’-го контура (сумма всех сопротивлений, входящих в контур); — сопротивления, входящие одновременно в соседние контуры к и т; 1тт -контурный ток для контура — сумма источников ЭДС, входящий в контур к.

Перед слагаемым берется знак «+», если на соответствующем сопротивлении направления токов совпадают, знак «-» в противоположном случае. Знак перед источником напряжением источника ЭДС «+», если направление тока и напряжения совпадает, знак «-», если не совпадают.

3. Решаются контурные уравнения, находятся контурные токи.

4. Токи ветвей определяются, как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих в соответствующих ветвях.

Пример задачи 1.4.

Для цепи постоянного тока на схеме 1.9 определить токи ветвей по методу контурных токов.

Решение:

Определим число фиктивных контурных токов:

Три контурных тока обозначим как:

Составим систему уравнений:

Решая систему уравнений, находим контурные токи

Тогда искомые токи ветвей: 1 и 5

Метод межузлового напряжения

Этот метод применятся, когда в цепи лишь два узла. Рассмотрим метод на примере двухконтурной схемы.

Пример задачи 1.5.

Дана схема 1.10 с двумя узлами, определим межузловое напряжение .

Решение:

Записываем I закон Кирхгофа:

Тогда токи ветвей будут следующими:

Подставляем найденные выражения для токов в I закон Кирхгофа:

тогда

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора применяется в цепях, когда необходимо определить ток в какой-нибудь одной ветви.

Согласно МЭГ цепь, относительно ветви с искомым током, представляется активным двухполюсником (эквивалентным генератором) с источником ЭДС или тока. Определяются параметры эквивалентного генератора: в пассивном двухполюснике. Искомый ток определяется по формуле Тевенена-Гельмгольца:

Пример задачи 1.6.

Определим ток /2 в схеме 1.10 по МЭГ.

Решение:

Определим обойдя контур против часовой стрелки по второму закону Кирхгофа: .

Теперь определим внутреннее сопротивление генератора относительно зажимов «аЬ»

Внутреннее сопротивление генератора будет равно ,. Ток ветви определяем по формуле:

Примеры расчета сложных цепей различными методами

Пример задачи 1.7.

В схеме 1.11 определить токи всех ветвей методом уравнений Кирхгофа.

Решение:

Расставим направление токов в ветвях заданной схемы и выберем направления обхода контура.

В схеме количество узлов и число ветвей . Значит по 1-му закону Кирхгофа необходимо составить уравнения, для любых трех узлов составляем уравнения (втекающие в узел токи возьмем со знаком «-», вытекающие со знаком «+»):

По 2 закону Кирхгофа составим В нашей схеме 4 независимых контура, значит по 2 закону Кирхгофа необходимо составить 4 уравнения:

Пример задачи 1.8.

В схеме 1.11 сделать преобразование до двух контуров.

Решение:

Сопротивления соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:

Тогда

Сопротивления соединены последовательно, сложим их и получим сопротивление

Сопротивления соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:

Сопротивления соединены последовательно, сложим их в одно сопротивления и соединены тоже последовательно, сложим их в одно . Получили схему с двумя контурами.

Однофазные цепи переменного тока

Основные понятия

Если значения тока, напряжения или ЭДС изменяются со временем, то они называются переменными. Каждое из этих значений в любой момент времени называется мгновенным. Для гармонического (синусоидального, переменного) тока и напряжения закон Ома выполняется для средних, мгновенных и действующих значений:

Здесь — мгновенные значения напряжения и тока, — амплитуды напряжения и тока, — начальная фаза напряжения и тока, — угловая частота колебаний.

Действующее значение синусоидального тока (напряжения) равно значению постоянного тока (напряжения), при котором на резистивном элементе за время равное периоду выделяется такое же количество тепловой энергии, что и при переменном токе (напряжении). Таким образом, действующее значение характеризует тепловое действие переменного тока.

При токе мощность тепловых потерь на резистивном элементе следующим образом:

и выделяемая за период энергия

Постоянным током за это же время выделяется энергия:

Приравнивая уравнения эти два уравнения, получаем действующее значение тока:

Аналогично можно доказать что действующее значение напряжения

Учитывая, что синусоидальные функции тока и напряжения можем записать с использованием действующих значений следующим образом:

Представление синусоидальных величин комплексными числами

Синусоидальные величины — ток, напряжение и ЭДС могут быть представлены в виде комплексных чисел.

Если радиус длиной вращать против часовой стрелки с постоянной угловой частотой , то его проекция на ось ординат будет соответствовать синусоидальной функции . Изобразим синусоидальную функцию в виде вращающегося радиус-вектора (рис.2.1)

Перенесем радиус-вектор из декартовой системы координат на плоскость комплексных чисел (рис.2.2).

Длина этого вектора равна действующему значению синусоидальной величины:

’

называется комплексом действующего значения функции. Здесь мнимая единица, — модуль, — аргумент комплексного числа.

Существует 3 формы записи комплексного значения синусоидальной функции:

• 1. Показательная форма:
• 2. Тригонометрическая форма:
• 3. Алгебраическая форма:

Все три формы записи комплексного числа являются равнозначными.

где — мнимая составляющая вращающегося радиус-вектора.

При решении задач возникает необходимость перехода от алгебраической к показательной форме, и наоборот.

Преобразование показательной формы в алгебраическую’.

, где — действительная часть комплексного числа, — мнимая часть комплексного числа.

Преобразование алгебраической формы в показательную’.

где — модуль, — аргумент, причем 180° учитывается при а

Пример 2.1

(представление гармонической функции комплексным числом):

Пример 2.2 (перевод из показательной формы в алгебраическую):

Пример 2.3 (перевод из алгебраической в показательную форму):

Пример 2.4 (переход от комплексной амплитуды к гармонической функции):

Арифметические операции с комплексными числами

1. Сложение и вычитание (выполняется в алгебраической форме) Если число представлено в показательной форме, то его надо перевести в алгебраическую форму

При выполнении сложения (вычитания) складываются отдельно действительные и мнимые части комплексных чисел.

Пример 2.5 (сложение):

2. Умножение (выполняется в показательной форме)

Если число представлено в алгебраической форме, то его надо перевести в показательную форму

Умножение в алгебраической форме выполняется по правилам умножения многочленов, с учетом того, что .

Пример 2.6 (умножение):

3. Деление (выполняется в показательной форме)

Если число представлено в алгебраической форме, то его надо перевести в показательную форму

Пример 2.7 (деление):

4. Возведение в степень (выполняется в показательной форме)

Основные законы в комплексной форме

Запись закона Ома в комплексной форме выполняется для комплексных амплитуд или комплексов действующих значений

где — сопротивление приемника, — комплексное сопротивление приемника, размерность Ом.

Комплексное сопротивление резистивного элемента: , следовательно

На комплексной плоскости вектор напряжения резистивного элемента совпадает по направлению с вектором своего тока (рис. 2.3).

Комплексное сопротивление индуктивного элемента:

— реактивное сопротивление индуктивного элемента, Ом.

Если у индуктивного элемента имеется активное сопротивление (т.е. учитывается сопротивление катушки постоянному току) тогда:

На комплексной плоскости вектор напряжения индуктивного элемента опережает по направлению вектор своего тока на 90° (рис. 2.4).

Комплексное сопротивление емкостного элемента:

реактивное сопротивление индуктивного элемента, Ом.

На комплексной плоскости вектор напряжения емкостного элемента отстает по направлению вектор своего тока на 90° (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Вектора напряжения и тока емкостного элемента

Законы Кирхгофа записываются в комплексной форме, если в цепь включены источники синусоидальных токов или ЭДС одинаковой частоты.

I закон Кирхгофа: Для каждого из узлов комплексной схемы замещения алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов (комплексов действующих значений) равна нулю.

Математическая запись закона:

здесь А — число ветвей, сходящихся в узле.

II закон Кирхгофа: Для любого контура комплексной схемы замещения алгебраическая сумма комплексов падения напряжения на пассивных элементах равна алгебраической сумме комплексов ЭДС и напряжений источников тока.

Математическая запись закона:

здесь n -число пассивных элементов контура, сходящихся в узле; -число ЭДС контура.

Пример задачи 2.8.

В схеме 2.1 рассчитать комплексные сопротивления элементов (круговая частота = 314 рад/с), =20Ом, =40 Ом, = 64 мГн, = 128 мГн, = 159 мкФ .

Решение:

В схеме определим комплексные сопротивления элементов:

Упростим схему, за счет сложения последовательно соединенных сопротивлений.

Теперь можно сложить параллельно соединенные сопротивления

Сопротивления соединены последовательно:

Пример задачи 2.9.

В схеме 2.2 известно , В. Определить токи ветвей.

Решение:

Определим эквивалентное сопротивление. Сопротивления соединены параллельно, a соединены последовательно:

Находим входной ток по закону Ома:

Ток определим по правилу разброса (правилу параллельных ветвей):

Ток определим по I закону Кирхгофа:

Резонанс

Резонанс — это такой режим работы электрической цепи, включающей индуктивные и емкостные элементы, при котором входной ток совпадает по фазе с входным напряжением.

Различают резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений наблюдается в цепях при последовательном включении емкостных и индуктивных элементов (рис. 2.6).

Пусть ток и напряжение задаются гармоническими источниками, т.е.

Комплексная схема замещения — это схема замещения, на которой указаны комплексные амплитуды (комплексы действующих значений) источников энергии и комплексные сопротивления приемников. На рис. 2.7 представлена комплексная схема замещения схемы рис. 2.6.

Комплексы входного напряжения и тока входное сопротивление цепи (рис. 2.7)

Здесь — модуль входного сопротивления, — фазовый сдвиг. По определению в режиме резонанса , откуда получаем

Входное комплексное сопротивление цепи является чисто активным. Уравнение выражает условие резонанса напряжений.

Определим входное сопротивление как последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов (рис.2.7)

Используя условие резонанса напряжений: получаем, что Отсюда резонансная частота определяется как . Векторная диаграмма при показана на рис. 2.8.

Резонанс токов возникает в цепях при параллельном соединении емкостных и индуктивных элементов, например, в цепи, представленной на рис. 2.9.

Токи в ветвях находятся по закону Ома:

где эквивалентные комплексные проводимости ветвей.

Входной ток цепи определяется по I закону Кирхгофа:

Общее определение резонанса не изменяется, т.е. входной ток должен совпадать по фазе с входным напряжением.

Определим комплекс входной проводимости цепи:

здесь — активная проводимость цепи, — реактивная проводимость цепи.

Условием резонанса токов в этом случае будет равенство нулю мнимой части полученного выражения, т.е. либо

При этом резонансная частота определяется по формуле:

Таким образом, резонанс токов возможно получить изменением частоты, емкости или индуктивности, также как и резонанс напряжений.

Так как реактивная проводимость в режиме резонанса токов равна нулю, то входная проводимость цепи будет минимальна, следовательно, входной ток будет минимальным. Векторная диаграмма для рассматриваемого контура при представлена на рис. 2.10.

х.э. мощность однофазной цепи

Если зажимы пассивного двухполюсника (рис.2.11) подключить к источнику переменного напряжения и тока

Пусть , то мгновенное значение мощности

Мощность колеблется с угловой частотой в пределах от 0 до

Активная мощность и обозначается буквой Р:

Реактивная мощность равна максимальной скорости поступления энергии в магнитное поле:

Полная мощность 5 — это произведение действующих значений напряжения U и тока I:

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности c

Пример задачи 2.10.

Для комплексных изображений , определить активную Р, реактивную и полную мощности S.

Тогда комплекс полной мощности цепи запишется в виде:

где — сопряженный комплекс тока.

Для мощностей можно построить треугольник мощностей рис. 2.12.

Из него следуют соотношения:

Для цепи синусоидального тока, так же как и для цепи постоянного тока, можно составить баланс мощностей: сумма всех активных мощностей приемников равна сумме активных мощностей источников:

аналогично и для реактивных мощностей:

Если в схеме имеется несколько источников ЭДС и источников тока, то вырабатываемая полная мощность определяется в виде

Относительная погрешность расчетов:

Пример задачи 2.11.

Для схемы 2.3 определить полную, активную и реактивную мощности, если

Расчет ведем в комплексной форме ‘B. Определим комплекс входного сопротивления цепи:

Комплекс действующего значения тока найдем по закону Ома:

Активная мощность:

Реактивная мощность:

Тогда полная мощность:

Трехфазные цепи

Многофазной системой называется совокупность цепей, включающих источники ЭДС, работающие на одинаковой частоте, фазы которых смещены на одинаковый угол.

Каждую из цепей, образующих систему, называют фазой. Частный случай многофазной цепи — это трехфазная цепь. Число источников в трехфазной цепи равно трем.

Многофазная цепь является симметричной по питанию, если источники ЭДС имеют одинаковые действующие значения напряжений.

По сравнению с обычными электрическими цепями, трехфазные цепи имеют ряд преимуществ.

1. Экономичность. Ниже мы покажем, что так называемые обратные провода цепи можно объединить в один провод, за счет этого сокращается количество проводников.

2. Возможность получения вращающегося магнитного поля. С использованием этого свойства строятся асинхронные электрические двигатели.

Для получения трехфазного напряжения в постоянное магнитное поле помещают три катушки индуктивности (обмотки генератора), оси которых расположены под углом 120° относительно друг друга. Под воздействием приложенной механической энергии катушки (они называются ротором генератора) вращаются. Изменяется магнитный поток, связанный с витками катушек, и, согласно закону электромагнитной индукции, на зажимах катушек появляется напряжение.

Постоянное магнитное поле образуют магниты, они называются статором. Отметим, что в реальных генераторах вращающейся частью является магнит, за счет этого проще снимать напряжение с обмоток.

Расположение катушек с относительным углом 120° обеспечивает одинаковый фазовый сдвиг напряжения источников, который также равен 120°. Изменение напряжения в фазах определяется выражениями:

Графики изменения фазного напряжения образуют так называемую волновую диаграмму, которая приведена на рис. 3.1.

Очередность, в которой фазные напряжения достигают максимальных значений, называется порядком чередования фаз. В рассматриваемой системе порядок чередования АВС. Это прямой порядок чередования. Обратный порядок — АСВ.

Комплексные амплитуды фазных ЭДС могут быть записаны как:

Используя эти уравнения, можем построить векторную диаграмму напряжений источников питания имеющих одинаковые амплитуды (рис. 3.2).

На диаграмме виден порядок чередования фаз и относительный сдвиг фазных ЭДС. Также можем видеть, что комплексная амплитуда любого из источников может быть получена при повороте на угол ±120° амплитуды любого другого источника. Выполнение поворота соответствует умножению комплексной амплитуды на фазный оператор а, определяемый следующими формулами:

С использованием фазного оператора значения комплексных амплитуд записываются как:

Отметим, что векторная сумма фазных ЭДС равна нулю

Это свойство будет использовано в дальнейшем.

Вспомним, что трехфазная цепь образуется вращением в магнитном поле трех катушек индуктивности. Учитывая это, изобразим электрическую схему цепи (рис. 3.3).

На рисунке введены следующие обозначения:

А, В, С — «начала» фаз питания,

Х`, У’, Z’ — «концы» фаз нагрузки.

А-А` В-В` С-С’ — прямые (линейные) провода, т.е. провода, ведущие от источника к потребителю,

Х-Х` У-У’, Z-Z’ — обратные провода. Это провода, ведущие от потребителя к источнику.

Обычно, обратные провода соединяют в один провод, за счет этого достигается экономия проводников. Полученный в результате соединения проводник называют нулевым проводом.

Комплексная схема замещения трехфазной цепи показана на рис. 3.4, но это, конечно, частный случай. Цепи, встречающиеся в задачах электротехники и на практике, могут иметь более сложную конфигурацию.

На схеме указаны линейные токи . Это токи, протекающие в линейных проводах. При данной конфигурации цепи эти же токи протекают в фазах нагрузки. Для выбранной цепи линейные токи равны фазным токам. — фазные напряжения, — линейные напряжения, — ток нулевого повода.

Симметричная трехфазная цепь

Симметричной называется трехфазная цепь, у которой сопротивления фаз нагрузки являются одинаковыми: Из закона

• Ома следует, что в этом случае линейные токи равны между собой по модулю

Используя I закон Кирхгофа определим ток нулевого провода:

Здесь использовано приведенное выше соотношение Равенство нулю тока означает, что при выполне-

нии расчетов в симметричной трехфазной цепи нулевой провод можно добавлять или убирать в случаях, когда это необходимо.

• Из II закона Кирхгофа, записанного для симметричной цепи, следует что . Эти равенства легко можно получить при наличии нулевого провода.

Определим теперь линейные напряжения цепи:

Из полученных уравнений вытекает известная и широко используемая связь между линейными и фазными напряжениями для симметричной цепи:

Ниже приведена векторная диаграмма для цепи, помещенной на рис. 3.5.

Пример задачи 3.1.

Дана цепь, приведенная на рис. 3.6, где известны значения фазных ЭДС и величины сопротивлений нагрузки . Определить токи всех ветвей для данной схемы.

Решение:

Сопротивления нагрузки цепи соединены «треугольником». Преобразуем их в «звезду»: Z. Вводим нулевой провод, это возможно выполнить, потому что цепь симметричная.

Полученная в результате преобразований схема показана ниже.

Произвольно выбираем одну из фаз и выполняем для нее расчет токов на основе законов Ома и Кирхгофа.

Токи в выбранной фазе находятся следующим образом:

Токи в остальных фазах определяются умножением найденных величин на оператор а.

Для определения токов треугольника находим линейные напряжения

Теперь токи треугольника могут быть вычислены на основе закона Ома

Пример задачи 3.2.

Дана симметричная цепь (рис. 3.7), где известны значения фазных ЭДС , В, , В и величины сопротивлений нагрузки . Рассчитать в комплексной форме токи в ветвях и напряжения на элементах цепи. Расчет рекомендуется проводить на одну фазу. Построить векторную диаграмму.

Решение:

Расчет симметричной части приемника будем вести на одну фазу А, для этого преобразуем схему.

Для расчета подготовим данные:

1. переведем ЭДС в показательную форму

2. индуктивное сопротивление

3. емкостное сопротивление

Комплексная схема замещения исходной цепи будет:

Полное комплексное сопротивление цепи

Тогда ток (в этой цепи найдем по закону Ома:

С помощью фазового оператора определим токи в фазах В и С:

Рассчитаем напряжения фазы А на элементах цепи:

1. напряжение на резистивном элементе

2. напряжение на индуктивном элементе

3. напряжение на емкостном элементе

4. напряжение фазы А на приемнике

С помощью фазового оператора рассчитаем напряжения в фазе В:

С помощью фазового оператора рассчитаем напряжения в фазе С:

Векторная диаграмма для симметричного режима будет следующей:

Расчет электрических цепей постоянного тока. Основные определения и законы

Электрическим током называется упорядоченное направленное движение электрических зарядов.

Сила тока (i) численно равна заряду (),проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени.

Если сила тока не изменяется с течением времени, то такой ток называется постоянным.

Сила тока в таком случае обозначается I:

За положительное направление силы тока принимается направление движения положительных зарядов.

Закон ома

На участке проводника длиной ограниченном сечениями «а» и «в», величина силы тока I, направленная от сечения с большим потенциалом к сечению с меньшим потенциалом . прямо пропорциональна разносит потенциалов и обратно пропорциональна сопротивлению (R)этого участка:

где R — сопротивление проводника, Ом. — разность потенциалов, которая называется напряжением, В.

В сопротивлениях направление напряжения совпадает с направлением тока

Сопротивление однородного проводника постоянного сечения определяется по формуле:

где р — удельное сопротивление материала проводника Ом м, I -длина проводника, м; s — площадь поперечного сечения, .

Часто при электротехнических расчётах пользуются понятием проводимости (д),которая определяется величиной, обратной сопротивлению:

Проводимость измеряется в сименсах [см].

С использованием проводимости закон Ома запишется:

Согласно закону Джоуля-Ленца,при протекании электрического тока (I) по сопротивлению (R) в последнем за время (t) выделяется энергия в виде тепла (А):

Мощность (Р).выделяющаяся в сопротивлении (R):

Мощность электрического тока измеряется в Ваттах [Вт], работа в Джоулях [Дж].

Законы кирхгофа

Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

Этот закон является следствием того факта, что в узлах электрической цепи не происходит накапливания зарядов. Для того, чтобы написать уравнение по первому закону Кирхгофа для какого-либо узла, например рис. 1.1,необходимо выбрать направление токов в ветвях, сходящихся в этом узле. Токи, направленные к узлу, записываются в уравнении со знаком «+», а направленные от узла со знаком «-».

Для узла, показанного на рис. 1.1, по первому закону Кирхгофа уравнение выглядит:

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в ветвях замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил (ЭДС) источников этого контура.

В общем виде для произвольного контура уравнение по второму закону Кирхгофа:

Для того чтобы записать уравнение по второму закону Кирхгофа для выбранного контура, например рис. 1.2, необходимо задаться направлениями токов в ветвях этого контура, а также выбрать направление обхода этого контура.

После этого, в левой части уравнения, составляемого по второму закону Кирхгофа, со знаком «+» записываются произведения токов, направление которых совпадает с направлением обхода контура, на сопротивление тех же ветвей, т е падения напряжения

, а со знаком «-» падения напряжения, не совпадающие с направлением обхода контура. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в этот контур, причем ЭДС, совпадающие с направлением обхода, входят в уравнение со знаком «+», а направленные против выбранного направления обхода контура — со знаком «-».

Для контура, приведённого на рис. 1.2, уравнение по 2-му закону Кирхгофа запишется следующим образом

Рассмотренные три закона — закон Ома и законы Кирхгофа -являются основными законами, на основе которых построены все методы расчёта линейных электрических цепей

Эквивалентные схемы источников электрической энергии

Реальные источники электрической энергии обладают вполне определённой зависимостью между напряжением и силой тока-вольт-амперными характеристиками.

Вольт-амперная характеристика является основной характеристикой любого источника электрической энергии и в общем случае представляет собой некоторую кривую в координатах U-I (рис. 1-3)

Однако, довольно часто, вольт-амперная характеристика источника практически прямолинейна, т.е, имеет вид рис. 1.4 (линия 1).

Такая характеристика пересекает координатные оси в двух точках и её уравнение имеет вид:

где — внутреннее сопротивление источника.

Если источник энергии работает в режиме, при котором его сила тока равна нулю (такой режим называется режимом холостого хода), то напряжение на его зажимах будет численно равно ЭДС .

Режим, при котором напряжение на зажимах источника равно нулю, называется режимом короткого замыкания. Из уравнения (1.13) следует, что в этом случае, сила тока источника приобретает максимальное значение и равна:

Используя понятие проводимости (внутренняя проводимость источника), уравнение (1.13) можно представить в виде

В соответствии с уравнениями (1.13) и (1.15) можно составить эквивалентные схемы реального источника энергии, используя понятия источника ЭДС и источника тока.

Величина напряжения идеального источника ЭДС не зависит от силы тока, т.е. его вольт-амперная характеристика представляет собой прямую линию, проходящую параллельно оси тока (линия 2, рис. 1.4) Схема замещения реального источника энергии, согласно уравнению (1.3), имеет вид, приведенный на рис. 1.5.

В соответствии с уравнениями (1.15) можно составить другую схему замещения реального источника, показанную на рис 1 6. В этой схеме применяется идеализированный источник тока, сила тока которого не зависит от напряжения.

Вольт-амперная характеристика источника тока представляет собой линию, параллельную оси напряжения (линия 3. рис. 1.4) Для того, чтобы вольт-амперные характеристики источников энергии, собранных по схемам (рис. 1.5 и рис. 1.6),были одинаковы, параметры этих источников должны удовлетворять условиям

При соблюдении этих условий источники энергии (рис 1.5 и рис. 1.6) будут эквивалентны в расчётном смысле относительно внешней цепи.

Мощность, отдаваемая источником ЭДС равна:

Мощность источника тока определяется по формуле:

Поэтому мощности, выделяемые источником тока и источником ЭДС при работе источников электрической энергии, собранных по схемам (рис. 1.5 и рис. 16), в одном и том же режиме, не будут одинаковы.

Расчёт простейших электрических цепей

При решении многих задач, в которых известны сопротивления всех резисторов и ЭДС всех источников, а также их схема соединения, целесообразно для определения токов во всех элементах производить упрощение схемы соединений. Упрощение заключается в замене заданной схемы на эквивалентную путём уменьшения количества входящих в неё элементов.

Последовательным называется такое соединение, когда конец предыдущего элемента соединяется с началом последующего и сила тока во всех последовательно соединённых элементах одна и та же (рис. 1.7).

Входящие в электрическую цепь резисторы , можно заменить на один , причём полученная цепь будет эквива-

лентна предыдущей, если сопротивление определяется по формуле:

То есть общее сопротивление последовательно соединённых резисторов равно сумме сопротивлений отдельных элементов

Параллельным соединением резисторов называется соединение, при котором начала всех резисторов, соединены в одном узле, а концы — в другом. Схема такого соединения приведена на рис. 1.8.

Параллельное соединение «n» резисторов также может быть заменено одним эквивалентным, при условии, что величина эквивалентного сопротивления определяется по формуле:

или, переходя к проводимостям элементов, получим:

То есть общая проводимость параллельно соединённых резисторов равна сумме проводимостей каждой из ветвей электрической цепи.

Большое практическое значение имеет случай параллельного соединения двух резисторов с сопротивлением . Эквивалентное сопротивление такого соединения определяется по формуле:

Расчёт смешанного соединения резисторов

В электрических схемах наиболее часто приходится иметь дело со смешанным соединением резисторов, т.е. когда два параллельно соединённых резистора последовательно соединяются с третьим Схема такого соединения приведена на рис 1.9

Для определения общего сопротивления этого соединения сначала находим общее сопротивление параллельно соединённых резисторов (согласно формуле 1.21):

а так как оно последовательно соединено с резистором (рис 1.10),то общее сопротивление всей схемы

Если известно напряжение на входе схемы и требуется найти токи в ветвях то, зная общее сопротивление, по закону Ома находим ток (рис. 1.11):

Возвращаясь от схемы (рис. 1.11) к схеме (рис. 1.10), отмечаем, что общее сопротивление эквивалентно двум последовательным резисторам а, следовательно:

Зная ток , ясно напряжение между точками «а» и «в»

а, переходя от схемы (рис. 1.10) к исходной (рис. 1.9), нетрудно найти токи

Проверка правильности выполненного расчёта может быть произведена на основании уравнений, записанных по первому и второму закону Кирхгофа:

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот

Решение некоторых задач значительно упрощается, если использовать эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду или наоборот — звезды сопротивлений в треугольник.

Часть электрической цепи, состоящая из трёх сопротивлений и образующая замкнутый контур, называется соединением треугольником (рис. 1.12).

Три сопротивления, сходящиеся в одной точке, называются соединёнными звездой (рис. 1.13).

Как звезда, так и треугольник включаются в электрическую цепь тремя точками (1, 2, 3) и могут замещать друг друга (на рис.

1.12 и 1.13 показано пунктиром).

Эквивалентность преобразования звезды в треугольник и наоборот предполагает, что токи в узлах 1, 2, 3 и напряжения между ними до и после преобразования должны остаться неизменными, те.

Эти условия выполняются, если использовать известные формулы преобразования:

Если треугольник симметричный, т е. . то сопротивления

где — сопротивление луча симметричной звезды, — сопротивление стороны симметричного треугольника.

Задача с решением 1

Определить токи в сопротивлениях схемы (рис 1.14) и показания вольтметра

Напряжение на входе U = 240 В

Непосредственно определить токи в ветвях схемы невозможно, так как неизвестно распределение напряжения на её отдельных участках. Поэтому путём постепенного упрощения схемы (с учётом того, что сопротивление вольтметра) найдём эквивалентное сопротивление схемы.

Сопротивления соединены последовательно следовательно, согласно (118), их можно заменить на эквивалентное

Вместо исходной схемы (рис. 1.14) получаем эквивалентную (рис. 1.15)

В полученной схеме (рис. 1.15) сопротивления включены параллельно, следовательно, согласно (формуле 1.19 или, в данном случае, формуле 1.21) их эквивалентное сопротивление определяется, как

а схема (рис. 1 15) может быть заменена на схему (рис 1.16).

Анализируя получающиеся схемы аналогичным образом, определяем эквивалентное сопротивление исходной схемы:

соединены последовательно

соединены параллельно

— соединены последовательно, поэтому

Ток источника электрической энергии, потребляемый схемой определяем по закону Ома:

Последовательно осуществляя переход от конечной схемы (рис. 1.19) к первоначальной схеме (рис. 1.14),определяем токи во всех сопротивлениях.

Так, например, анализируя схемы рис. 1.19 и рис 1.18, приходим к выводу, что токи ,поскольку сопротивления и — соединены последовательно.

Сопротивление согласно рис. 1.17 представляет два параллельно соединённых

Поэтому, определим напряжение

Токи в параллельных ветвях :

Сопротивление (рис. 1.17) — эквивалентное двум последовательно соединённым (рис 1.16),следовательно

Из рис. 1.16 и рис. 1.15 следует, что — эквивалентное сопротивление параллельно соединённых Поэтому

Из рис 1.15 и рис. 1.14: — последовательное соединение и Следовательно.

Показания вольтметра определим из решения уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для любого контура, включающего вольтметр.

Например, для контура 1-2-3-V:

В качестве проверки правильности решения задачи составим уравнение для контура, включающего источник питания U:

Показания вольтметра в обоих случаях одинаковые, следовательно, задача решена верно.

Задача с решением 2

В схеме неуравновешенного моста (рис. 1 20) определить токи во всех ветвях схемы, если

В этой цепи можно различить два треугольника (АВД и ВСД) и две звезды .

Для решения этой цепи по законам Кирхгофа пришлось бы составлять и решать систему из шести уравнений с шестью неизвестными. В то же время решение значительно упрощается, если треугольник АВД заменить эквивалентной звездой (пунктир на рис 1.20).

При этом получится цепь со смешанным соединением сопротивлений, которая легко решается с помощью закона Ома (рис. 1.21)

Сопротивления эквивалентной звезды согласно формуле 1.22, равны

Сопротивление соединены последовательно, поэтому

Аналогично Сопротивления соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление

Ток цепи

Напряжение

Токи

Для определения токов необходимо вернуться к исходной схеме (рис 1.20) и по второму закону Кирхгофа записать уравнение для контура ВСД:

Откуда

По первому закону Кирхгофа, для узла:

Эти страницы вам могут пригодиться:

Примеры решения задач по электротехнике (ТОЭ)

Задача 1

Для трех заданных схем электрических цепей (рис. 1.1—Г.З) показать распределение тока и напряжения, за-писать уравнения по законам Кирхгофа и баланса мощностей, обосновать виды цепей по методам их анализа.

Решение:

1. Элементы электрической цепи. Все рассматриваемые цепи содержат два вида устройств: во-первых, источники энергии — аккумуляторы, генераторы (активные элементы) и, во-вторых, потребители энергии — сопротивления (пассивные элементы). Кроме того, в двух цепях (рис. 1.1 и 1.2) включены вспомогательные устройства — ключи К, из которых один (рис. 1.1) работает на включение, а другой (рис. 1.2) — на размыкание. При анализе цепей будем считать оба ключа замкнутыми.

Источники энергии изображены различно — в соответствии с принятыми обозначениями аккумулятора (рис. 1.1) и генератора постоянного тока. (рис. 1.2). Кроме указанных конкретных реальных источников приведено изображение произвольного источника ЭДС (рис. 1.3), используемое в схемах замещения (см. доп. вопрос 5 к этой задаче).

2. Участки электрической цепи. Показанные на рис. 1.1 и 1.2 цепи содержат два принципиально различных участка: внутренний—источник энергии

и внешний — вся остальная цепь, т. е. потребители или приемники энергии. Такое деление на участки («внутренний» и «внешний») применимо только к цепям с одним источником энергии.

Однако используется и другое (более широкое) представление об участке цепи (без добавления «внутренний»

Рис. 1.1. Неразветвленная цепь с Рис. 1.2. Разветвленная цепь с дву-одним источником и несколькими мя узлами и тремя ветвями потребителями

или «внешний»), которым обозначают любую часть цепи. Так, сопротивления (рис. 1.1) совместно образуют участок ВЖ, сопротивления (рис. 1.2)—участок ВАБ и т.д.

3. Распределение тока. Первый закон Кирхгофа. Ток во всякой электрической цепи и в любом ее участке характеризуется значением и направлением.

В цепи рис. 1.1 существует один путь для тока: от вывода «+» источника по направлению движения часовой стрелки. На этом пути ток не изменяется, поэтому он обозначен одинаково ветвями J на всех участках цепи. Такая цепь называется неразветвленной— ток «не разветвляется» (не делится на части).

В цепи рис. 1.2 создаваемый ЭДС Е ток (в неразветвленной части цепи БГВА) разделяется в узловой точке А на две части , так как имеются два пути для тока — через сопротивления Известно (первый закон Кирхгофа):

Такая цепь называется разветвленной. Она характеризуется числом узлов (точек разделения тока) и числом ветвей (участков с одним значением тока). Данная цепь (рис. 1.2) имеет два узла (точки А и Б) и три ветви с токами .

На практике встречаются цепи и с большим числом узлов и ветвей.

Третья заданная цепь (рис. 1.3) также является разветвленной, но в отличие от предыдущей (рис. 1.2) содержит несколько источников энергии, включенных в разные ветви. В такой цепи не представляется возможным заранее (до расчета) установить направления токов. Действительно, ЭДС задает токам направление по часовой стрелке, а ЭДС — обратное.

Разветвленные цепи с несколькими источниками питания, включенными в разные ветви, часто называют сложными. В таких цепях направления токов ветвей вначале (до расчета значений токов) выбирают произвольно, что и сделано на рис. 1.3. Затем (после анализа цепи) направления токов уточняются.

Заметим, что в сложной цепи задают только направления токов, так как число токов (различных по значению) известно. Оно равно числу ветвей. Например, в рассматриваемой цепи—три ветви и соответственно три тока: . Эти токи выбраны одинаково направленными (к узлу А), поэтому по первому закону Кирхгофа имеем

Очевидно, что все токи не могут притекать к узлу. Хотя бы один из них должен отходить от узла. Поэтому направления токов, выбранные на рис. 1.3 произвольно, будут скорректированы после расчета цепи.

4. Виды цепей и методы их анализа. Расчет неразветвленной цепи (первый вид) можно выполнить, используя закон Ома. Так, в нашем случае (рис. 1.1) при заданной ЭДС и сопротивлениях цепи определяем вначале ток:

а затем падения напряжений на сопротивлениях:

Второй вид цепи (разветвленная с одним источником энергии) сводится при расчете к первому (к неразветвленной цепи) путем упрощения схемы, выполняемого заменой сопротивлений, соединенных последовательно и парал-

лельно, эквивалентными. Например, цепь рис. 1.2 после замены в ней параллельно соединенных одним эквивалентным сопротивлением

окажется неразветвленной, что позволяет для тока h записать уравнение по закону Ома, аналогичное (1.3), а именно:

Сложные цепи (третий вид) отличаются тем, что их схемы нельзя упростить и свести к одноконтурным путем замены последовательно и параллельно соединенных сопротивлений эквивалентными. В этом легко убедиться на примере цепи (рис. 1.3), в которой вовсе отсутствуют названные соединения сопротивлений.

Такие цепи обычно анализируют без преобразования схемы. Методы их анализа рассмотрены в гл. 4. Один из них — метод уравнений Кирхгофа—кратко пояснен в этом параграфе (п. 5).

Итак, метод расчета цепи зависит от вида ее электрической схемы, с анализа которой и следует начинать решение задачи. В самом общем виде можно выделить три типа цепей (с точки зрения метода их анализа): не разветвленную, разветвленную с одним источником и разветвленную с несколькими источниками, включенными в разные ветви. Названные виды цепей рассматриваются в гл. 2-4.

5. Второй закон Кирхгофа. Распределение напряжения. Прежде всего вспомним правило знаков при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. Электродвижущая сила записывается со знаком плюс, если выбранное направление обхода контура совпадает с ее направлением. Падение напряжения на сопротивлении записывается со знаком плюс, если направление тока в рассматриваемом сопротивлении совпадает с направлением обхода контура.

В соответствии с этими правилами для контура ЖАБВГДЖ (рис. 1.1) при его обходе по направлению движения часовой стрелки имеем

где — падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника энергии.

Уравнение (1.6), составленное на основании второго закона Кирхгофа, совпадает с полученным выше уравнением (1.3), записанным по закону Ома, и характеризует распределение напряжений в цепи (рис. 1.1).

Чтобы применить второй закон Кирхгофа к сложной цепи (рис. 1.3), нужно прежде всего выделить отдельные замкнутые контуры, например ВГАБВ и БАЖДБ, и затем выбрать направление обхода этих контуров, например по часовой стрелке.

При этом.для первого из выбранных контуров алгебраическая сумма действует по направлению обхода контура, а — встречно ему.

Для этого же контура алгебраическая сумма напряжений (падений напряжений на сопротивлениях) , так как ток совпадает с направлением обхода, а ток имеет противоположное направление.

По второму закону Кирхгофа алгебраические суммы ЭДС и напряжений равны, поэтому имеем

Для второго выбранного контура уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид

Рассматривая (1.2), (1.7) и (1.8) как систему уравнений, можно определить три неизвестные величины, например токи (при заданных ЭДС и сопротивлениях). Такой метод расчета сложных цепей рассмотрен в гл. 4.

6. Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что мощность, развиваемая источником, равна сумме мощностей потребителей, т. е. имеет место баланс мощностей. Составим его для двух цепей (рис. 1.1 и 1.3).

В первой из них действует один источник энергии, развивающий мощность . Часть этой мощности

теряется внутри источника, а остальная поступает во внешнюю цепь и распределяется в сопротивлениях соответственно.

При этом имеем условие баланса мощностей

В другой (сложной) цепи —три источника энергии. Их общая мощность

распределяется только в сопротивлениях (внутренние сопротивления источников по условию задачи не учитываются). Поэтому

выражает условие баланса мощностей в данной цепи.

Задача 2

Генератор постоянного тока с ЭДС E — 230 В и внутренним сопротивлением = 0,2 Ом питает производственный объект, на котором установлены электрические двигатели и электрические печи. Число работающих потребителей энергии различно в разные часы и смены. В таких условиях ток в цепи генератора изменяется в широких пределах.

Составить схему замещения цепи, определить предельные режимы генератора, построить зависимости тока, мощностей источника и приемника и КПД генератора от отношения сопротивления нагрузки к внутреннему сопротивлению .

Решение:

Г. Источник ЭДС. В этой задаче, как и во всех предыдущих, используется источник энергии, характеризующийся ЭДС и внутренним сопротивлением. Такой источник энергии называется источником ЭДС. Его электрическая схема (рис. 1.5, показана пунктиром) является схемой замещения заданного генератора и может быть присоединена вместо него к точкам А и Б (рис. 1.5).

Как было показано (§ 1.1), ЭДС источника обеспечивает ток в цепи и энергию в потребителях, а внутреннее сопротивление характеризует потери энергии в самом источнике. Чтобы обеспечить малые потери энергии в источнике, его внутреннее сопротивление выбирают много меньшим, чем сопротивление внещнего участка цепи.

Этому условию удовлетворяет большинство источников энергии, используемых на практике (аккумуляторы, генераторы и др.).

В практических условиях часто представляется возможным пренебречь сравнительно малым внутренним сопротивлением источника. Такие источники (без внутреннего сопротивления) являются идеальными источниками ЭДС. В практических условиях их иногда называют источниками заданного напряжения.

Итак, источник ЭДС практически можно считать источником заданного напряжения.

2. Составление электрической схемы. В предыдущем параграфе (доп. вопрос 5) было показано, что электрические схемы являются схемами замещения реальных цепей. При этом сопротивления цепи могут быть рассмотрены как эквиваленты каких-то потребителей.

Однако в этой задаче (в отличие от предыдущей) изменяются режим работы потребителей и ток в цепи источника энергии..Как составить схему замещения в таком случае?

Реальный объект можно заменить на схеме переменным сопротивлением R (рис. 1.5), обеспечивающим изменение тока I в цепи в тех же пределах, что и в реальных условиях.

При заданных ЭДС Е и внутреннем сопротивлении генератора /?Пт напряжение на выводах А и Б (рис. 1.5) зависит только от тока. Поэтому достаточно установить переменным сопротивлением Я (рис. 1.5) значение тока, соответствующее реальным условиям, чтобы получить значения напряжения U и мощности , одинаковые для эквивалентной схемы’ и производственного объекта.

Полученная схема рис. 1.5, так же как и приведенная на рис. 1.1,— неразветвленная с одним источником энергии. Метод расчета такой цепи рассматривался в § 1.1, им и воспользуемся.

3. Режимы цепи при переменной нагрузке.

В цепи с изменяющимся в широких пределах сопротивлением внешнего участка можно установить два предельных режима: холостой ход, когда (цепь разомкнута), ток и напряжение короткое замыкание при , возникающее в большинстве случаев при авариях, например при случайном замыкании выводов А и Б.

В режиме короткого замыкания ток в цепи и мощность, развиваемая источником , достигают максимальных значений.

Так, при заданных параметрах цепи = 230/0,2 = = 1150 =230 • 1150 — 26,45 кВт. Напряжение на выводах цепи =0, и мощность потребителя .= Поэтому вся мощность источника рассеивается на его внутреннем-сопротивлении и в соединительных проводах, имеющих, хотя и малое, • сопротивление. В результате могут перегреться провода или выйти из строя генератор.

Оба режима, очевидно, являются крайними случаями нагрузки источника. Для практических целей интересно также исследовать промежуточные режимы цепи, зависящие от соотношения сопротивлений . Рассмотрим эти режимы для отношения , изменяющегося в пределах от 0 до 10, что соответствует в наших условиях (при =0,2 Ом) изменению Р от 0 до 2 Ом.

4. Определение зависимости 7. В рассматриваемой цепи ток

По этому уравнению на рис. 1.6 построен график тока по точкам, вычисленным для нескольких значений отношения или R (табл. 1.1).

5. Определение зависимости . Поскольку мощность, развиваемая источником, пропорциональна току , то кривая тока, построен-

ная в другом масштабе по оси ординат, изображает график мощности (правая ордината рис. 1.6).

6. Определение, зависимости . По значениям тока I и сопротивления R (табл. 1.1) вычисляем мощность потребителя (табл. 1.2) и строим кривую

Оказывается, что режим наибольшей мощности во внешней цепи (рис. 1.6) получается при (теоретически это положение доказано в доп. вопросе 3 к этой задаче).

7. Определение КПД:

Вычислим КПД для характерных режимов:

Из полученных результатов следует два вывода.

Во-первых, с увеличением отношения возрастает КПД, который достигает максимального значения (100 %) теоретически в режиме холостого хода. При этом, однако, никакой полезной работы не производится, так как и мощность потребителя, и мощность источника равны нулю.

Во-вторых, при КПД составляет только 50 %; хотя источник и отдает во внешнюю цепь наибольшую мощность, такая же мощность теряется во внутреннем сопротивлении.

Задача 3

Источник тока с собственной (внутренней) проводимостью (рис. 1.7) присоединен к переменному сопротивлению R, значение которого изменяется от нуля до бесконечности (обрывается цепь). Определить напряжение источника (i^)J П(?м=/- и о тока, развиваемую им мощность и мощность внешней цепи для трех режимов нагрузки: I Источник тока холостого хода короткого замыкания и номинального с источником тока , а также составить схему эквивалентного источника ЭДС и найти ес параметры.

Решение:

1. Источник тока. В некоторых областях техники (электронике, радиотехнике, приборостроении) применяются источники энергии с большими внутренними сопротивлениями . Цепи с этими источниками нередко работают в режиме, при котором сопротивление нагрузки источника

При таком условии и заданной ЭДС Е ток источника практически не зависит от сопротивления внешнего участка . Это требование абсолютно реализуется для любых нагрузок при условии, что т.е. в идеальном случае. Такие источники энергии в теории цепей называют источниками тока.

Очевидно, что для идеального источника тока, т.е. такого, который развивает строго неизменный ток при любых нагрузках, невозможен режим холостого хода, так как при этом и сопротивление нагрузки

Таким образом, идеализированный источник энергии, у которого бесконечно внутреннее сопротивление, обеспечивает одинаковый ток в любой нагрузке и является идеальным источником тока.

Идеальный источник тока обозначается на схемах кружочком с двойной стрелкой внутри (рис. 1.7), показывающей направление тока. Введением двойной стрелки подчеркивается, что внутреннее сопротивление равно бесконечности (разрыв).

Всякий реальный источник имеет внутренние потери энергии, характеризуемые его внутренним сопротивлением. В источнике напряжения, как известно (§ 1.2), внутреннее сопротивление включается последовательно с его ЭДС. Аналогичное включение для источника тока означало бы последовательное соединение бесконечного сопротивления идеального источника и конечного внутреннего сопротивления потерь, что не имеет смысла. Поэтому в реальную схему источника тока вводят параллельную его выводам ветвь (рис. 1.7) внутреннего сопротивления или внутренней проводимости

Внутренняя проводимость (рис. 1.7) учитывает все причины изменения внешнего тока 1 при нагрузке источника тока. Напряжение на источнике тока определяется как произведение тока источника и общего сопротивления внешнего участка цепи.

Итак, источник электрической энергии, характеризующийся током J и внутренней проводимостью , называется. источником тока.

2. Режимы цепи при переменной нагрузке. При холостом ходе сопротивление внешнего участка

(обрыв ветви с сопротивлением R). В этих условиях ток во внутренней проводимости источника

напряжение на его выводах А и Б (рис. 1.7)

мощность, развиваемая источником,

При другом предельном режиме (коротком замыкании) сопротивление внешнего участка цепи ее ток , так как во внутренней проводимости ток отсутствует . При этом напряжение источника ; его мощность

Очевидно, что и мощность в нагрузке равна нулю. Таким образом, источник тока в отличие от источника ЭДС развивает в режиме холостого хода максимальную мощность, а в режиме короткого замыкания — минимальную (равную нулю).

При заданной (по условию задачи) номинальной нагрузке, определяемой сопротивлением Ом или проводимостью См, общая проводимость участка АБ

По закону Ома напряжение источника

Ток во внешнем участке цепи.

Мощность источника в номинальном (рабочем) режиме

значительно меньше, чем в режиме холостого хода.

3. Эквивалентная схема с источником ЭДС. Доказано, что источник тока с параметрами 7

и и источник ЭДС с параметрами Е и эквивалентны при условиях

Используя эти формулы, получаем при наших данных параметры эквивалентного источника ЭДС:

В результате цепь рис. 1.7 может быть представлена эквивалентной схемой рис. 1.8

В целях проверки вычислений определим ток I и напряжение U в эквивалентной схеме рис. 1.8 для номинального режима :

Задача 4

Цепь рис. 1.9, питаемая от источника напряжением = 20 В, имеет переменное сопротивление регулируемое от 0 до 500 Ом. При = 0 токи ветвей =40 мА. Для контроля напряжений и токов включены

вольтметры и амперметры (их собственным потреблением энергии можно пренебречь).

Требуется: а) выбрать резисторы по значению сопротивления (при допустимой погрешности ±10%), а также по допустимой мощности рассеивания; б) выбрать реостат — переменное сопротивление в) составить схему соединений (монтажную схему), используя заданное (рис. 1.10) расположение элементов и приборов (соединительные провода, показанные на рис. 1.10, не учитывать).

Решение:

1. Выбор резисторов. Любой резистор характеризуется двумя основными параметрами — сопротивлением и допустимой мощностью рассеивания. Важны.м качественным показателем является также точность значения сопротивления резистора, задаваемая предельным допустимым отклонением (в процентах) от номинального значения.

Для указанной (в условии задачи) допустимой погрешности значения сопротивления ±10% промышленность изготовляет резисторы с номинальными значениями сопротивлений, Ом: 1,0; 1,2; 1,8; 2,2; 2,7; 3,3; 3,9; 4,7; 5,6; 6,8; 8,2 и т.д. с увеличением в 10, 100, 1000 и т. д. раз.

Для определения номинальных значений сопротивлений (рис. 1.9) воспользуемся законом Ома. Действительно, в заданном режиме ( = 0) падение напряжения на участке АВ цепи отсутствует (сопротивление амперметра и соединительных проводов принято считать равным нулю) и соответственно напряжение на резисторах (=20 В.

Токи в резисторах для рассматриваемого режима также известны (заданы по условию задачи).

Соответственно при наших данных имеем

Так как промышленность не изготовляет резисторы (по приведенному выше ряду) на 2 кОм и 0,5 кОм, то полученные значения реализуются несколькими резисторами («составное» сопротивление) (см. доп. вопрос I к этой задаче).

Имея значения сопротивлений, находим мощности рассеивания:

Однако резисторы изготовляются не на любые значения мощности, а только на определенные: 0,25, 0,5; 1,0 Вт и др. Как же в таком случае поступить?

Чтобы избежать превышения температуры резистора, следует выбрать ближайшее большее значение номинальной мощности по сравнению с расчетной. Соответственно принимаем: для —0,25 Вт, а для —1 Вт (см. также доп. вопрос 1 к этой задаче).

2. Выбор реостата. Значение его сопротивления задано 0—500 Ом. Остается рассчитать мощность рассеивания и, очевидно, ее наибольшее значение (чтобы обеспечить безопасную работу реостата). Для этого заменим параллельно соединенные сопротивления эквивалентным Ом и преобразуем исходную схему (рис. 1.9) в эквивалентную (рис. 1.11), в которой измерительные приборы исключены, так как не влияют на искомую мощность.

В полученной схеме (рис. 1.11) наибольшая мощность рассеивания в реостате достигается при сопротивлении (см. § 1.3) и составляет половину мощности всей цепи, состоящей из двух равных сопротивлений .

Так как мощность всей цепи , то максимальная мощность в реостате

Полученная наибольшая мощность имеет место только при одном значении =400 Ом, а при всех других его значениях =0,25 Вт и запас тепловой надежности возрастает.

3. Сборка электрической цепи. Сборка (монтаж) электрической цепи выполняется либо по принципиальной схеме (при экспериментальной работе, в учебных лабораториях и др), либо по монтажной схеме (в производственных условиях).

При сборке цепи по принципиальной схеме (что обычно вызывает затруднения у обучающихся) приходится мысленно представлять «геометрию» цепи (образование узлов, ветвей) и токопрохождение в ней. Убедимся в этом на примере сборки цепи рис. 1.9, имея расположение ее элементов и приборов (рис. 1.10).

Вначале выполним соединения, обеспечивающие основное прохождение тока, т. е. соберем цепь токов (рис. 1.9), а затем подключим вспомогательные параллельные ветви (вольтметры ).

Неразветвленный участок цепи АВ (рис. 1.9) реализуется просто: присоединением трех проводов А-1, 2-4, 3-5 (рис. 1.10), образующих путь для тока Ц от вывода «->-» источника через ключ К и реостат

Для получения переменного сопротивления реостат можно включить двумя способами: либо без провода 6-7 (показан пунктиром), либо с ним. При первом варианте включения иногда наблюдаются обрывы цепи во время перемещения ползунка П реостата (вследствие плохого прилегания ползунка к диску), при втором варианте этот недостаток исключается. Поэтому чаще применяют включение с дополнительным проводом 6-7.

Разветвленный участок цепи ВБ (рис. 1.9) можно выполнить (смонтировать) несколькими способами, зависящими отварианта соединения выводов 6,7,9,11 (рис. Г.10), объединяемых между собой для получения узловой точки В (рис. 1.9). Один вариант их соединения приведенна рис. 1.10, а, а другой —на рис. 1.10,6. Можно предложить и третий вариант.

Все они одинаково удовлетворяют принципиальной схеме, так как сопротивления соединительных проводов не учитываются (принимаются равными нулю), что, кстати, дает право рассматриваемые выводы обозначить одной и той же буквой В на схеме (рис. 1.10), соответствующей данному узлу на принципиальной схеме (рис. 1.9).

Однако по затратам труда и меди (длине проводов) варианты соединений не равноценны и на практике выбирают наиболее экономичный.

Соединения 8-12 и 10-14 (рис. 1.10) очевидны по принципиальной схеме (рис. 1.9). Чтобы закончить сборку основной токовой цепи, образуем узловую точку Б (рис. 1.9), которую аналогично узловой точке В можно также смонтировать по-разному. На рис. 1.10 показан один из вариантов ее выполнения, который может вызвать сомнения: почему, например, длинный провод Б-13 (от вывода «—» источника питания) не заменен более коротким Б-19 или4еще лучше 17-19? Указанная замена действительно экономит провода, но лишает возможности отключить вольтметры , присоединяемые (проводами, показанными на рис. 1.10 пунктиром) после сборки основной цепи.

Лекции по электротехнике

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник