Построение диаграммы для синусоидальной цепи

ТОЭ_1 / Расчёт цепей синусоидального тока

В электрической цепи однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить: 1) полное сопротивление электрической цепи и его характер; 2) действующие значения токов в ветвях; 3) показания вольтметра и ваттметра; 4) построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений для всей цепи. Дано E = 130 В; f = 50 Гц; R₁ = 9 Ом; L₁ = 15,9 мГн; C₂ = 318 мкФ; L₂ = 9,4 мГн; R₃ = 8 Ом; C₃ = 500 мкФ; Схема 1.5.

Решение

Рисунок 1. Исходная схема цепи Выбираем произвольные направления токов в ветвях. Заменяем измерительные приборы их внутренними сопротивлениями:

Рисунок 2. Расчётная схема цепи

Сопротивления реактивных элементов:

Характер входного сопротивления активно-индуктивный, на это указывает наличие действительной части и положительная мнимая часть сопротивления.

Комплекс действующего значения входного напряжения:

E=E•(cosφ+jsinφ)=130•(cos0 o +jsin0 o )=130+0j В;

Действующие комплексные токи в цепи:

Падения напряжения на элементах:

Показания вольтметра (измеряющего действующее значение напряжения):

Показания ваттметра (измеряющего активную мощность):

I * — сопряженный ток.Например,если I=a+jb,то I * =a-jb;

Рисунок 3. Топографическая диаграмма напряжений

Источник

2. Временная диаграмма

Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).

3. Графоаналитический способ

Рис. 2.2

Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.

Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.

Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.

В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.

Рис. 2.3

Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:

Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):

Рис. 2.4

Из равенств (2.4 – 2.5) получаем

; .

4. Аналитический метод с использованием комплексных чисел

Рис. 2.5

Синусоидальный ток i(t) = I_m sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Í_m на комплексной плоскости (рис. 2.5)

где амплитуда тока I_m – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Подробнее этот метод будет рассмотрен ниже.

2.2. Действующее значение переменного тока и напряжения

Для сравнения действий постоянного и переменного токов вводят понятие действующее значение переменного тока.

Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором за время равное одному периоду в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе.

Определим количество энергии, выделяемой за период в проводнике с сопротивлением R для каждого из токов и приравняем их.

Для любой из синусоидальных величин получаем

; .

Условились, что все измерительные приборы показывают действующие значения. Например, 220 В – действующее значение, тогда .

2.3. Элементы электрической цепи синусоидального тока

Вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле, которое характеризуется вектором магнитной индукции В и магнитным потоком Ф:

.

Если поле образуют несколько (w) проводников с одинаковым током, то используют понятие потокосцепления ψ

Отношение потокосцепления к току, который его создает называют индуктивностью катушки

При изменении во времени потокосцепления согласно закону Фарадея возникает ЭДС самоиндукции

С учетом соотношения (2.8) для eL получаем

Эта ЭДС всегда препятствует изменению тока (закон Ленца). Поэтому, чтобы через проводники все время тек ток, необходимо к проводникам прикладывать компенсирующее напряжение

Сопоставляя уравнения (2.9) и (2.10) получаем

Это соотношение является аналогом закона Ома для индуктивности. Конструктивно индуктивность выполняется в виде катушки с проводом.

Условное обозначение индуктивности

Катушка с проводом кроме свойства создавать магнитное поле обладает активным сопротивлением R.

Условное обозначение реальной индуктивности.

Единицей измерения индуктивности является Генри (Гн). Часто используют дробные единицы

1 мкГн = 10 –6 Гн; 1 мкГн = 10 –3 Гн.

Все проводники с электрическим зарядом создают электрическое поле. Характеристикой этого поля является разность потенциалов (напряжение). Электрическую емкость определяют отношением заряда проводника к напряжению

получаем формулу связи тока с напряжением

Для удобства ее интегрируют и получают

Это соотношение является аналогом закона Ома для емкости.

Конструктивно емкость выполняется в виде двух проводников разделенных слоем диэлектрика. Форма проводников может быть плоской, трубчатой, шарообразной и др.

Единицей измерения емкости является фарада:

1Ф = 1Кл / 1В = 1Кулон / 1Вольт.

Оказалось, что фарада является большой единицей, например, емкость земного шара равна ≈ 0,7 Ф. Поэтому чаще всего используют дробные значения

1 пФ = 10 –12 Ф, (пФ – пикофарада); 1 нФ = 10 –9 Ф, (нФ – нанофарада); 1 мкФ = 10 –6 Ф, (мкФ – микрофарада).

Условным обозначением емкости является символ

Источник

Правила построения векторных диаграмм

Как было выше сказано, совокупность векторов напряжений, токов и ЭДС одной частоты для конкретной электрической цепи называют векторной диаграммой. Векторная диаграмма дает наглядное представление о действующих значениях, начальных фазах и углах сдвига фаз указанных величин. При вращении векторов с одной угловой скоростью w= 2pf их взаимное положение не меняется с течением времени и зависит только от углов сдвига фаз. Это обстоятельство позволяет строить векторные диаграммы для сложных цепей, основываясь на элементарных векторных диаграммах для отдельных R,L,C-элементов, изображенных на рис. 1.7.

Ниже приведены правила построения векторных диаграмм для исследуемых цепей однофазного и трехфазного синусоидального тока.

1). Перед построением конкретной векторной диаграммы необходимо вычертить и проанализировать схему замещения, эквивалентную принципиальной электроизмерительной схеме рассматриваемой цепи. (Для каждой лабораторной работе в разделе 3 представлена своя схема замещения). На схеме замещения условно изображают каждый элемент R, L, C данной цепи или параметры этого элемента: активное – R, индуктивное – X_L и емкостное – X_C сопротивления, наносят буквенные обозначения всех токов и напряжений и показывают стрелками их направления для отдельных участков цепи.

GВнимание!Стрелки, показывающие направления токов и напряжений на схеме замещения не путать с векторами тех же величин на векторной диаграмме.

2). Векторные диаграммы напряжений U_k и токов I_j (где k и j – соответственно, текущие индексы векторов напряжений и токов) необходимо чертить в достаточно крупных масштабах, выбрав их самостоятельно, отдельно для напряжений m_U и токов m_I, то есть число вольт в 1 см для напряжений и число ампер в 1 см для токов:

; (1.5)

, (1.6)

Выбор масштаба производится понаибольшей измеренной или вычисленной величине напряжения и тока, которая в виде соответствующего вектора должна иметь длину в пределах 8 ¸ 12 см на листе тетради или 10 ¸ 15 см на листе бумаги формата А4.

Пусть наибольшая величина напряжения в опыте составляет U_max=160 В, а тока I_max=1,2 А. Если наибольшие величины напряжения и тока разделить на установленные выше пределы вектора 8 ¸ 10 см, то из (1.4), (1.5) получим пределы предполагаемых масштабов для напряжения:

Определенные таким образом пределы масштабов для m_U и m_I усредняют, выбирая масштабы из основного ряда чисел: 1; 2; 2,5; 4; 5или масштабы, кратные этим числам, умноженным на 10 в положительной или отрицательной степени натурального ряда (1,2,3…), то есть из следующего общего ряда чисел:

0,01	0,02	0,025	0,04	0,05
0,1	0,2	0,25	0,4	0,5
2,5

(В данном примере общий приведен ряд чисел от 0,01 до 500).

В нашем примере выбранные масштабы для напряжений и токов составляют
m_U = 20 В/см и m_I = 0,1 А/см.

При этом вектор напряжения U_max=160 В будет иметь длину

а длина вектора тока I_max=1,2 А:

Длины остальных векторов определяют аналогично, путем деления соответствующей величины напряжения U_k или тока I_j на выбранный масштаб напряжения или тока:

; (1.7)

(1.8)

3). Направления векторов должны быть указаны стрелками. Каждый вектор напряжения или тока должен иметь соответствующее буквенное обозначение и индекс, такие же, как на эквивалентной схеме замещения.

При выполнении векторных диаграмм для трехфазных систем векторы токов и напряжений должны иметь обозначения фаз, например: I_A, I_CA, U_B, U_BC и т.д. Совпадающие по фазе векторы чертятся рядом расположенными на расстоянии примерно 0,5÷1 мм. Для трехфазных симметричных систем векторы одной фазы должны быть сдвинуты относительно векторов двух других фаз на угол ±120 0 . Для вычерчивания векторов под нужными углами пользуются транспортиром или откладывают на бумаге в клетку определенное число клеток (сантиметров), как показано на рис. 1.7 (общееправило: четыре клетки (или см.) от центра – вниз и из этой нижней точки по 7 клеток (см.) – влево и вправо).

GВнимание!При неверном сдвиге векторов, отличном от ±120 0 в трехфазной симметричной системе, векторная диаграмма будет построенанеправильно и еепотребуется вычертить заново.

Обозначения векторов непосредственно на векторной диаграмме или на схеме замещения могут не иметь точек вверху букв. В этом случае будут обозначены не векторы, а сами величины (длины) векторов токов или напряжений.

4). Первым вектором на векторной диаграмме чертится в выбранном масштабе вектор той величины (напряжения или тока ), которая присутствует на схеме замещения в сравнительно меньшем числе. Этот вектор называется опорным или базовым. Базовый вектор чертится по стандартным направлениям, или горизонтально вправо (чаще всего) или вертикально вверх.

5). Далее наносятся в выбранных масштабах векторы остальных токов и напряжений для отдельных участков (элементов) цепи. При этом пользуются элементарными векторными диаграммами для активного R, индуктивного X_L и емкостного X_C сопротивлений, как показано на рис. 1.8

6). После следует найти результирующие векторы тока и напряжения , пользуясь правилами геометрического сложения этих величин, как показано на рис. Приложении 4.

Для трехфазных цепей целесообразно строить результирующие векторы в виде непосредственной геометрической разности двух векторов (Приложение 4).

7). В заключение, на векторной диаграмме следует отложить фазовый угол j между результирующими векторами тока и напряжения. На этом векторная диаграмма для данной цепи считается построенной.

Рис. 1.7. Правила построения трех векторов на осях А, В, С,
сдвинутых относительно друг друга на 120 0

Рис. 1.8. Эквивалентные схемы замещения и элементарные векторные диаграммы
для отдельных R, L, C-элементов

а) – для активного сопротивления (резистора) R; б) – для индуктивности L;
в) – для конденсатора С.

Источник