Последовательная цепь переменного тока формулы

Начнем нашу лекцию с рассмотрения цепи переменного тока, состоящей из последовательно соединенного резистора R и катушки индуктивности L.

При этом напряжение приложенное к схеме определяется по следующей формуле:

В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать:

Тогда напряжение на сопротивлении и катушке индуктивности равно:

Отсюда напряжение, приложенное к последовательной цепи LR определяется по следующей формуле:

Поэтому ток протекающий в такой цепи равен:

Подставив ток в формулу для напряжения, в результате получим:

Из выражений выше, хорошо видно, что первое слагаемое это напряжение на сопротивлении, то есть:

Из этого выражения можно легко сделать вывод о том, что напряжение и ток в резисторе совпадают по фазе.

Посмотрим, что происходит с напряжением на индуктивности:

Таким образом напряжение на катушке опережает ток на угол:

Как мы уже знаем, реактивное сопротивление катушки индуктивности равно:

Индуктивное сопротивление катушки зависит от частоты. При постоянном токе, она равна нулю, а поэтому и сопротивление тоже. Сдвиг фаз в последовательной RL-цепи можно вычислить по формуле:

Отсюда, формула полного сопротивления RL-цепи, выглядит так:

Тогда амплитудное значение тока определим так:

Рассмотрим последовательную RC-цепь, состоящую из двух компонентов, а именно — последовательно соединенных резистора и конденсатора.

Напряжение приложенное к схеме в этом случае определяется по формуле:

Из второго закона Кирхгофа можно записать это же напряжение как сумму падений напряжений на резисторе и емкости.

Тогда протекающий ток в схеме равен

Подставив этот промежуточный результат в выражение выше, и осуществив интегрирование, получим:

При этом напряжение на резисторе и конденсаторе будет равно:

Как видно из последней формулы напряжение на емкости отстает от тока на угол:

Реактивное емкостное сопротивление конденсатора находим по формуле:

Как видим с снижением частоты емкостное сопротивление возрастает. При постоянном токе оно будет стремиться к бесконечности, так как частота тока будет равна нулю.

Сдвиг фаз, полное сопротивление, амплитудное значение тока в последовательной RC – цепи переменного тока можно вычислить по формулам ниже:

Рассмотрим более сложный случай, состоящий из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

Напряжение на зажимах схемы будет:

Выполнив подстановку, можно записать так:

Подставим в эту формулу ток протекающий в цепи, получим

В финале увидим такую длинную формулу:

Отсюда легко можно увидеть сдвиг фаз каждого компонента. У сопротивления он отсутствует, то есть ток и напряжение полностью совпадают по фазе, у индуктивности напряжение опережает ток на угол 3,14/2, а у конденсатора, наоборот, отстает на этот угол.

Сдвиг фаз, полное сопротивление и амплитудное значение тока RLС-цепи можно вычислить по формулам ниже:

При построении ВД RLC-цепи возможны три варианта:

Источник

2.4. Цепь переменного тока с последовательным соединением

Рассмотрим цепь, изображенную на рис.2.7. К этой цепи, состоящей из последовательно соединенных активного, индуктивного и емкостного элементов, подводится переменное напряжение U заданной частоты f. Рассчитаем эту цепь.

2.4.1. Последовательность расчета:

находим полное сопротивление (импеданс) участка цепи, содержащего последовательно соединенные элементы R, L, C

(2.15)

находим разность фаз тока и напряжения

(2.16) Из формулы (2.15) следует, что можно моделировать cопротивление цепи в виде треугольника, у которого катеты равны R и (Х_L-Х_С), а гипотенуза равна полному сопротивлению Z.

«Треугольник сопротивлений»:

Угол между катетом R и гипотенузой Z соответствует разности фаз φ.

tgφ = (2.17)

Из формулы (2.16) следуют частные случаи: разность фаз тока и напряжения:

на активном элементе φ_R = 0;

на идеальном индуктивном элементе φ_L= 90 0 ;

на емкостном элементе φ_C= -90 0 .

3) находим ток в цепи, используя закон Ома : I=

4) находим напряжения на отдельных элементах, также применяя закон Ома:

U_R =I; U_L=I ; U_C=I.

Примечание: Реальный индуктивный элемент является частным случаем рассмотренной выше цепи (последовательное соединение R и L, Х_С=0)

В цепях переменного тока закон Ома выражается совокупностью соотношений:

I = (а)

(б)

Соотношение (б) определяет разность фаз U и I.

2.4.2. Второй закон Кирхгофа в цепи переменного тока

Применительно к цепи переменного тока, рассмотренной в п. 2.4.1. второй закон Кирхгофа формулируется так:

Векторная сумма напряжений на отдельных элементах цепи равна напряжению на входе цепи U.

_{= ++} (2.19)

При практическом применении второго закона Кирхгофа необходимо построение векторных диаграмм (рис.2.8). В качестве опорного вектора удобно выбрать вектор тока , который одинаков для всех элементов этой цепи. Указывать масштаб тока в данном случае необязательно, т.к. в дальнейшем действия с этим вектором не производятся.

_L1

а) первый способ б) второй способ

Из построения диаграммы и выражения для разности фаз следует, что возможны случаи : φ > 0 ; φ 0 (U_L > U_C). В этом случае нагрузка называется активно-индуктивной, или говорят, что цепь носит активно-индуктивный характер.

Источник