Найти частотные характеристики цепи

1.3. Частотные характеристики электрических цепей

Если в состав цепи входят реактивные элементы( L, C ), то из-за зависимости их сопротивлений от частоты гармонического сигнала параметры цепи становятся частотно-зависимыми. Зависимости параметров цепи от частоты гармонического воздействия называют частотными характеристиками, т.е. для каждого параметра цепи есть своя комплексная частотная характеристика (КЧХ). Названия частотным характеристикам дают в соответствии с названием параметра. Частотная характеристика цепи или комплексная функции цепи есть зависимость от частоты отношения комплексных амплитуд отклика и воздействия. Она может быть записана в показательной и алгебраической форме:

где — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) (или модуль комплексной функции -H(j)) — есть зависимость от частоты отношения амплитуд выходного и входного гармонических колебаний ;

()=arctg[Jm[H(j)] — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) (или аргумент комплексной функции – arg(H(j)) — есть зависимость от частоты разности фаз выходного и входного сигналов т.е. ()=₂-_1.

Re[ H(j)]. Im[H(j)] – реальная и мнимая части комплексной функции.

1.4. Расчет частотных характеристик

В основу расчета частотных характеристик положен метод комплексных амплитуд (МКА). Для простых цепей частотную характеристику находят, используя законы Ома и Кирхгофа. Для сложных функций при расчете частотных характеристик используют методы: эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и др. Порядок применения метода МКА следующий:

Гармонические токи и напряжения (x(t)=X_mcos(ωt-φ_x)) всех ветвей схемы заменить их комплексными амплитудами (X_m=X_me — jφ x ), а от исходной схемы цепи составленной из элементов (R,L,C), перейти к комплексной схеме замещения с комплексными сопротивлениями (Z_R=R,Z_C=1/(jωC),Z_L=jωL).

Составить уравнения электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений с использованием законов Ома и Кирхгофа или используя другие методы.

Решить систему составленных уравнений относительно комплексных амплитуд интересующих токов или напряжений (Ý_m=Y_me — jφ x ).

Для нахождения комплексной частотной характеристики (КЧХ) записать отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия.

Если необходимо, то перейти от комплексных амплитуд интересующих токов и напряжений к гармоническим функциям времени (y(t)=Y_mcos(ωt-φ_y)).

Для цепи второго порядка КЧХ в общем случае можно записать в виде

. (1.11)

Выделим в числителе и знаменателе действительную и мнимую части, приведем подобные члены, и запишем в показательной форме

Отсюда получим выражения для расчета амплитудно-частотных (АЧХ) и фазо-частотных (ФЧХ) характеристик

(1.13)

1.5. Построение графиков частотных характеристик

При графическом изображении частотных характеристик электрической цепи обычно строят отдельные графики АЧХ и ФЧХ цепи. Графики функции, заданной формулой Н(ω) строятся по точкам, в определенном диапазоне частот, в котором проявляются основные свойства электрической цепи, которые затем соединяются плавной линией.

Для оценки частотного диапазона, в котором необходимо построить графики частотных характеристик цепи, определим особые точки операторной передаточной функции. Для этого заменим в формуле (1.11) =p, получим операторный коэффициент передачи по напряжению

. ()

Особыми точками (нулями и полюсами) K_u(p) являются значения аргумента (нули), при которых M(p)=0, и значения аргумента (полюсы), при которых N(p)=0, где i=1,2.. порядковый номер особой точки. Для наглядности их изображают в комплексной плоскости, комплексной частоты р=+j. Нули изображают кружочками, а полюсы крестиками.

За частотный диапазон можно принять интервал между и

; ,

где — расстояние от начала координат до ближайшей особой точки, которое определяется ее модулем, т.е. =min<||,||>; — расстояние до самой удаленной особой точки, т.е. =max<||,||>, где модуль комплексной частоты определяют по формуле |p|=.

Выбор масштаба построения графиков. При построении графиков частотных характеристик применяют различные масштабы по осям (вертикальной – ось ординат и горизонтальной – ось абсцисс): абсолютный (линейный) масштаб по осям применяют, если диапазон изменения величины не более одной декады, и логарифмический, если диапазон изменения величины составляет две и более декады. На практике часто используется полулогарифмический масштаб, когда по горизонтальной оси берется логарифмический масштаб, а по вертикальной – линейный.

В тех случаях, когда предполагаемая частотная характеристика располагается в широком диапазоне частот, то ее график строят в логарифмическом масштабе по оси частот. Сначала проводят расчет точек на частотах f→0, f→∞, а далее, на частотах в логарифмическом масштабе f =lg(f/f₀), гдеf=1,2, 3 и т.д. – нормированная частота в логарифмическом масштабе; f₀ – частота излома (частота среза) характеристики, выбранная за единицу; f/f₀=f_н — нормированная частота в абсолютном масштабе. Величина f₀ может быть принята любой. В простейшем случае за f₀ можно принять 1Гц, или 1кГц. Однако если анализируется цепь первого порядка, то за f₀ принимают f₀=(2) -1 (₀=1/), где  — постоянная времени цепи.

Если цепь имеет несколько постоянных времени, то ее ассимптотическая логарифмическая характеристика, состоит из нескольких прямых и имеет несколько точек излома, каждой из которых соответствует своя постоянная времени ₁=1/₁; ₂=1/₂ и т. д. Выбрав одну из них за опорную, можно построить график в масштабе  или lg.

При построении логарифмических частотных характеристик, более подробно, в каждой декаде следует брать по 3 –точки (0, 2, 5). Если необходимо, то проводят уточнение вблизи точек экстремумов — минимума или максимума, взяв по 10 точек вблизи них.

Особенности построения графиков ФЧХ.

Формула ФЧХ (уравнение ФЧХ) выражает зависимость аргумента (фазового угла) комплексной функции Кu(jω) от частоты:

где φ _числ(ω) — аргумент числителя Н(jω), φ _знам(ω) — аргумент знаменателя Н(jω).

При записи формул для φ _числ(ω) и φ _знам(ω) следует учитывать, что фазовый угол произвольного комплексного числа Z=А(ω)+jВ(ω) вычисляется по различным формулам в зависимости от положения комплексного числа на комплексной плоскости (см. табл. 1.1).

Область расположения числа Z=А+jВ на комплексной плоскости.

Источник

2.3 Определение частотных характеристик цепи (ачх и фчх) с помощью выражений комплексной функции цепи (кфц)

Изначально воспользуемся общей методикой определения АЧХ и ФЧХ функции:

Рис.2.4 Последовательное соединение RC ‑ цепи

Определение комплексной функции цепи (КФЦ):

Так как в лабораторной работе№4 исследуются передаточные характеристики, то будем определять КФЦ коэффициента передачи по напряжению.

Согласно определению (выражение (2.1)) коэффициент передачи – это отношение выходного напряжения ко входному:

(2.9а)

По закону Ома входное напряжение определяется:

В свою очередь, также по закону Ома, напряжение на выходе определяется напряжением на емкости, которое определяется следующим образом:

Тогда коэффициент передачи по напряжению будет иметь вид:

Приведем знаменатель к стандартному виду, т.е. избавимся от «многоэтажного» выражения.

(2.9)

Выражение (2.9) является передаточной комплексной функцией цепи

Определение выражения АЧХ:

Согласно определению и выражению (2.5) АЧХ функции – это модуль функции или отношение модулей числителя и знаменателя для комплексных выражений. Тогда из выражения (2.9) выделим модуль:

,

Таким образом, АЧХ коэффициента передачи имеет вид (2.10):

, (2.10)

где R,C – параметры цепи, ω – круговая частота входного воздействия: .

Определение выражения ФЧХ:

Исходя из общего определения и математической записи (2.7) ФЧХ исследуемой цепи, определим для исследуемой схемы фазо-частотную характеристику (ФЧХ). Для этого необходимо найти главный аргумент КФЦ. В соответствии с теорией комплексных выражений, аргумент выражения равен разности аргументов числителя и знаменателя. Запишем сказанное математически:

,

Таким образом, ФЧХ коэффициента передачи имеет вид (2.11):

. (2.11)

Для того, чтобы графически изобразить АЧХ и ФЧХ передаточной функции (или по-другому, коэффициента передачи), необходимо вместо параметров цепи подставить номиналы элементов, а вместо круговой частоты подставить соответствующие значения, при разных значениях циклической частоты, например, 0, 200Гц, 1кГц, 1.25кГц, 2,5кГц, 5кГц, 10кГц, 20 кГц.

2.4 Определение характера частотных характеристик цепи (ачх и фчх) на основе схемы без вывода выражений ачх и фчх

Следует отметить, что целью лабораторной работы является исследование частотных характеристик в цепях первого порядка (в составе схемы не более одной реактивности). В таких цепях невозможны экстремумы функций частотных характеристик, т.е. характер функции монотонный, а, значит, предполагаемый характер частотных характеристик может быть изображен на основе анализа схемы на крайних частотах диапазона    и   .

Исследуем схему на рис.2.4 на крайних частотах:

1) Построение АЧХ по схеме [3]:

Так как в схеме один реактивный элемент, ЧХ цепи будут монотонными функциями частоты и для их изображения достаточно знать значения ЧХ на крайних частотах диапазона    и   

Рис.2.5 — Схемы замещения исследуемой цепи

на крайних частотах диапазона

По полученным результатам построим АЧХ исследуемой цепи (рис.2.6):

Рис. 2.6- АЧХ передаточной функции исследуемой цепи

2) Построение ФЧХ коэффициента передачи:

Для построения ФЧХ непосредственно на основе схемы необходимо сохранить характер реактивного сопротивления. Поэтому эквивалентные схемы изобразим не для  = 0, а для   0, не для    a для   

0 

Рис. 2.7 Схема замещения участка цепи для определения ФЧХ

В соответствии с определением коэффициента передачи по напряжению _.

Следовательно, = .

Для удобства положим = 0, тогда =

Построим векторные диаграммы для схемы рисунка 2.7а и б, соответственно:

Рис. 2.8 Векторные диаграммы напряжений на граничных частотах

Исходя из рис.2.8а, разность фаз между входным и выходным напряжениями составило 0 0 , т.е.(0) = 0 o . Согласно рис.2.8 вектор. напряжения выхода отстает от вектора входного напряжения на 90 0 , а значит, ( = -90 0 . По полученным данным построим ФЧХ коэффициента передачи:

Источник