Методы расчета электрических цепей в переходных процессах

Классический метод расчета переходных процессов

Классическим называют метод расчета переходных процессов, в котором решение дифференциального уравнения представляет собой сумму принужденной и свободной составляющей.

Порядок решения задач классическим методом:

Для цепи после коммутации составить систему дифференциальных уравнений по IиIIзаконам Кирхгофа.

Определить независимые начальные условия (u_C иi_L) из расчета режима цепи до коммутации с применением законов коммутации.

Записать искомые величины в виде суммы принужденных и свободных составляющих.

Найти принужденные составляющие, рассчитав установившийся режим цепи после коммутации.

Составить характеристическое уравнение и вычислить его корни.

В зависимости от вида корней характеристического уравнения записать свободные составляющие и искомые решения в общем виде.

Для определения постоянных интегрирования записать искомые величины, их производные и систему дифференциальных уравнений для момента t=0.

Подставить вычисленные постоянные интегрирования в искомые решения.

Построить графики изменения токов и напряжений во время переходного процесса.

Переходные процессы вRl-цепях постоянного тока

Пусть катушка индуктивности включается на постоянное напряжение (рис. 45). Определить законы изменения тока и падений напряжений на индуктивности и резисторе во время переходного процесса.

ПоIIзакону Кирхгофа для послекоммутационной схемы:.;;.

Ток переходного процесса будем искать в виде суммы принужденной и свободной составляющих. Для нахождения принужденной составляющей тока необходимо рассчитать установившийся режим после коммутации. , т.к. в установившемся режиме при протекании постоянного тока индуктивность ведет себя как идеальный провод, падения напряжения на ней не происходит.

Характеристическое уравнение: ; его корень.

Свободную составляющую тока будем искать в виде: , гдеА– постоянный коэффициент, определяющийся из начальных условий.

.

По первому закону коммутации: , т.к. до коммутации цель была отключена от источника ЭДС. Отсюда;. Тогда ток через индуктивность во время переходного процесса будет изменяться по закону:(рис. 46).

Обозначим— постоянная времени, которая определяет скорость изменения тока или напряжения во время переходного процесса. Для данной электрической цепи. Единицы измерения постоянной времени:

.

Доказано, что за время переходный процесс полностью затухает, в цепи наступает установившийся режим.

Падение напряжения на резисторе: (см. рис. 46).

Падение напряжения на индуктивности:

(см. рис. 46).

Примечание. При построении графиков функций вида следует иметь ввиду следующие соотношения:

Источник

3.4. Расчет переходных процессов в электрических цепях

До сих пор рассматривались электрические цепи при установившихся, или стационарных режимах. Однако при переходе от одного установившегося режима к другому в цепи могут возникать переходные процессы. Переходные процессы возникают при всех изменениях режима электрической цепи: подключении и отключении цепи, при изменении нагрузки, при возникновении аварийных режимов (коротком замыкании, обрыве проводов) и т.п. Любые изменения в электрической цепи можно представить в виде тех или иных переключений, называемых в общем случае коммутацией. Процессы, возникающие в электрической цепи при переходе из одного установившегося режима к другому, называются переходными процессами.

Во время переходных процессов токи в цепи и напряжения на ее участках определяются не только источниками энергии, но и индуктивными, а также емкостными элементами цепи, которые обладают способностью накапливать или отдавать соответственно энергию магнитного или электрического поля. В момент коммутации, когда начинается переходной процесс, происходит перераспределение энергии между индуктивными и емкостными элементами цепи, а также между ними и внешними источниками энергии, подключенными к цепи, причем часть энергии при этом безвозвратно преобразуется в другие виды энергии, например в тепловую в активном сопротивлении.

По окончании переходного процесса устанавливается новый установившийся режим, который определяется только внешними источниками энергии. При отключении внешних источников энергии переходный процесс может возникать в цепи только за счет энергии электромагнитного и электрического полей, накопленной до начала переходного режима в индуктивных и емкостных элементах цепи.

В общем случае в электрической цепи переходные процессы могут возникать только тогда, когда в цепи имеются индуктивные и емкостные элементы. Это связано с тем, что индуктивные и емкостные элементы являются инерционными, так как изменение в них энергии магнитного и электрического полей не может происходить мгновенно и, следовательно, не могут мгновенно протекать процессы в момент коммутации. В самом деле, если бы изменение энергии в индуктивных и емкостных элементах проходило мгновенно, т. е. скачком, то при мощность, равная скорости изменения энергии,обращалась бы в бесконечность, что невозможно, ибо электрических цепей бесконечно большой мощности не существует. Таким образом, переходные процессы не могут протекать мгновенно, так как невозможны мгновенные изменения энергии, накопленной в индуктивных и ёмкостных элементах цепи. Теоретически переходные процессы заканчиваются за время. Практически же переходные процессы являются быстропротекающими и их длительность часто составляет десятые, сотые, тысячные и даже миллионные доли секунды (реже единицы секунд).

Так как энергия магнитного и электрического полей, индуктивными и ёмкостными элементами цепи, описывается выражениями

то ток в индуктивности и напряжение на ёмкости не могут изменяться мгновенно. Однако в электрической цепи с индуктивными и емкостными элементами возможны скачки напряжений на индуктивностях и токов на ёмкостях.

В электрических цепях с резистивными элементами энергия электромагнитного поля не запасается, вследствие чего в них переходные процессы не возникают, т.е. в таких цепях мгновенно, скачком, устанавливаются стационарные режимы.

Следует отметить, что в действительности любой элемент электрической цепи обладает каким-то сопротивлением , индуктивностьюи ёмкостью, т.е. в реальных электротехнических устройствах существуют и тепловые потери, обусловленные прохождением тока и наличием, и магнитные, и электрические поля.

Задача исследования переходных процессов заключается в том, чтобы найти закономерности отклонений токов в ветвях и напряжений на участках цепи от их установившихся значений. Имеется ряд методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. К основным методам анализа переходных процессов относятся:

3. Суперпозиционные методы, основанные на использовании интеграла Дюамеля или интеграла Фурье.

Источник