Метод расчета электрических цепей с одним источником

3. Анализ электрических цепей постоянного тока с одним источником энергии

3.1. Расчет электрических цепей постоянного тока с одним источником методом свертывания

В соответствии с методом свертывания, отдельные участки схемы упрощают и постепенным преобразованием приводят схему к одному эквивалентному (входному) сопротивлению, включенному к зажимам источника. Схема упрощается с помощью замены группы последовательно или параллельно соединенных сопротивлений одним, эквивалентным по сопротивлению. Определяют ток в упрощенной схеме, затем возвращаются к исходной схеме и определяют в ней токи.Рассмотрим схему на рис. 3.1. Пусть известны величины сопротивлений R1, R2, R3, R4, R5, R6, ЭДС Е. Необходимо определить токи в ветвях схемы. .

Рис. 3.1 Рис. 3.2 Сопротивления R4 и R5 соединены последовательно, а сопротивление R6 — параллельно с ними, поэтому их эквивалентное сопротивление

После проведенных преобразований схема принимает вид, показанный на рис. 3.2, а эквивалентное сопротивление всей цепи

Ток I1 в неразветвленной части схемы определяется по формуле:

Найдем токи I2 и I3 в схеме на рис. 3.2 по формулам:

I3 = I1 — I2 — формула получается из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа:

Переходим к исходной схеме на рис. 3.1 и определим токи в ней по формулам:

I6 = I3 — I4 (в соответствии с первым законом Кирхгофа I3 — I4 — I6 =0).

4. Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками энергии

4.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

На рис. 4.1 изображена схема разветвленной электрической цепи. Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи.В схеме имеются четыре узла, можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа. Укажем произвольно направления токов. Запишем уравнения:: (4.1)

Сложим эти уравнения. Получим тождество 0 = 0. Система уравнений (4.1) является зависимой.Если в схеме имеется n узлов, количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно n — 1.Для схемы на рис. 4.1 число независимых уравнений равно трем.

(4.2)

Недостающее количество уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в другие контуры.Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров. Запишем три уравнения по второму закону Кирхгофа.

(4.3)

Решив совместно системы уравнений (4.2) и (4.3), определим токи в схеме.Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному нами.

4.2. Метод контурных токов

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Имеется возможность уменьшить количество совместно решаемых уравнений системы. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. На рис. 4.2 в качестве примера изображена двухконтурная схема, в которой I11 и I22 — контурные токи.

Рис. 4.2 Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно.

Источник

1.1.2.3 Методы расчета электрических цепей с одним источником электрической энергии

Основной задачей расчета электрических цепей является определение токов, напряжений, мощностей в ветвях электрической цепи по заданным величинам сопротивлений ветвей и значений ЭДС. Такая задача носит название задачи анализа электрических цепей и имеет однозначное решение.

Для участка цепи, не содержащего источник энергии (рис. 1.1.7), связь между током и напряжением определяется законом Ома

Для участка цепи, содержащего источник энергии (например, рис. 1.1.8), закон Ома запишется в виде выражения

Неразветвленная электрическая цепь характеризуется тем, что на всех ее участках протекает один и тот же ток, а разветвленная — содержит одну или несколько узловых точек, при этом на отдельных участках цепи протекают разные токи.

Расчет цепей с одним источником электрической энергии можно проводить с помощью метода эквивалентных преобразований.

Электрическая цепь с последовательным соединением n сопротивлений заменяется при этом цепью с одним эквивалентным сопротивлением

Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях распределяются пропорционально этим сопротивлениям:

Электрическую цепь с параллельным соединением n сопротивлений заменяют цепью с эквивалентным сопротивлением R_эк, которое определяется из выражения

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений эквивалентное сопротивление будет равно

,

Эквивалентное сопротивление участка цепи, состоящего из n одинаковых параллельно соединенных сопротивлений определяется как

В некоторых случаях оказывается целесообразным преобразование сопротивлений, соединенных треугольником, эквивалентной звездой (рис. 1.1.9). При этом сопротивления лучей эквивалентной звезды определяются по формулам

В частном случае равенства сопротивлений треугольника

.

1.1.2.4 Методы расчета электрических цепей с двумя и более источниками питания

1.1.2.4.1 Метод непосредственного использования законов Кирхгофа

Основной задачей анализа электрических цепей, как правило, является определение токов, напряжений и мощностей ветвей цепи по заданным параметрам элементов цепи. Возможна постановка задачи в виде определения других параметров при заданных токах в ветвях.

Первый закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся в узле, равна нулю

где k— количество ветвей, присоединенных к узлу. Токам, направленным от узла, присваивается знак плюс, а направленным к нему — минус.

Второй закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в этом же контуре

.

В каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним.

Алгоритм расчета по законам Кирхгофа:

а) определяется общее количество уравнений и количество уравнений по

первому и второму законам Кирхгофа;

б) произвольно выбираются направления токов в ветвях;

в) выбираются независимые контуры и направление их обхода;

г) составляются уравнения по первому и второму законам Кирхгофа;

д) решается система уравнений;

е) проводится анализ результатов (истинное направление тока противопо-

ложно выбранному, если в результате расчета получилось отрицательное

ж) составляется баланс мощностей для проверки правильности расчета.

1.1.2.4.2 Метод контурных токов

В методе контурных токов условно считается , что в каждом независимом контуре электрической цепи существует свой контурный ток. Для этих независимых контуров составляются уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. После нахождения контурных токов реальные токи определяются в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этим ветвям.

Алгоритм расчета по методу контурных токов:

а) определяется количество уравнений, равное количеству независимых контуров;

б) произвольно выбираются направления контурных токов;

в) составляются уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов;

г) решается система уравнений и определяются контурные токи;

д) определяются токи в ветвях;

е) проводится анализ результатов расчета, составляется баланс мощностей.

1.1.2.4.3 Метод узлового напряжения

Данный метод целесообразно использовать для расчета цепей, содержащих несколько параллельных ветвей, присоединенных к двум узлам.

Пусть между двумя узлами (например, а и в) включено m ветвей. Тогда напряжение между узлами U_aв определяется в соответствии с выражением (положительное направление напряжения U_aв — к узлу “в”)

При отсутствии источников тока

Знак слагаемого числителя определяется следующим образом: если ЭДС источника питания направлена к узлу “а”, слагаемое берется со знаком “+”, если — к узлу “в”, то слагаемое берется со знаком “-”.

Токи в ветвях электрической цепи находятся по закону Ома для активного или пассивного участков цепи, с использованием найденного численного значения напряжения между узлами.

Алгоритм расчета по методу узлового напряжения:

а) определяется узловое напряжение U_ав ;

б) определяются токи в ветвях по закону Ома;

в) проводится анализ результатов.

1.1.2.4.4 Метод эквивалентного активного двухполюсника (эквивалентного генератора)

Метод эквивалентного генератора применяется для анализа электрических цепей, когда требуется определить ток в одной ветви. Метод основан на теореме об эквивалентном генераторе или активном двухполюснике, которая гласит: любая сложная цепь ,содержащая источники ЭДС, по отношению к исследуемой ветви может быть заменена эквивалентным генератором с ЭДС Е_э и внутренним сопротивлением R_э .

ЭДС эквивалентного генератора и его внутреннее сопротивление могут быть определены либо расчетным, либо экспериментальным путем. В последнем случае для определения Е_э и R_э достаточно провести опыт холостого хода и короткого замыкания. При этом Е_э = U_xx на зажимах разомкнутой исследуемой цепи ,R_э = U_xx/I_кз , где I_кз — ток при коротком замыкании ветви тогда искомый ток в исследуемой ветви без источника с сопротивлением R может быть определен по закону Ома.

Алгоритм расчета по методу эквивалентного генератора:

а) определяется Е_э = U_xx , при этом исследуемая ветвь условно размыкается;

б) определяется R_э — эквивалентное сопротивление сложной цепи по отно-

шению к исследуемой ветви. При этом источники ЭДС в ветвях закорачиваются, а ветви с источником тока размыкаются;

в) определяется ток в исследуемой ветви по закону Ома;

г )проводится анализ результатов.

Взаимосвязь между всеми видами мощности в электрической цепи

(баланс мощностей) определяется из уравнения

,

где — алгебраическая сумма мощностей источников энергии, знак “+” берется если направление тока совпадает с направлением ЭДС, а “-” если противоположен; — сумма мощностей потребителей.

Баланс мощностей определяется законом сохранения энергии и является методом проверки правильности определения токов в цепи при любом методе расчета.

Источник