Конденсатор последовательно с резистором в цепи постоянного тока

5.5 Переходные процессы в цепи с последовательно включенными резисторами и конденсатором

5.5.1. Разряд конденсатора на резистор

Рассмотрим переходный процесс при коротком замыкании в цепи с конденсатором и резистором (рис. 5.8), если предварительно конденсатор был заряжен до напряжения

Рис. 5.8

Установившийся ток через конденсатор и установившееся напряжение на конденсаторе равны нулю. Для построения характеристического уравнения запишем по второму закону Кирхгофа уравнение для вновь образованного контура

При расчете переходных процессов в цепях с конденсатором часто удобнее отыскать сначала не ток, а напряжение на конденсаторе u_C , а затем учитывая, что , найти ток через конденсатор. Поэтому запишем уравнение по второму закону Кирхгофа в виде:

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Общее решение для свободной составляющей напряжения:

где: А = U₀ – постоянная интегрирования; p = — 1 / (RC) – корень характеристического уравнения; τ = RC – постоянная времени цепи.

С учетом нулевого значения установившегося напряжения получим напряжение на конденсаторе:

.

Рис. 5.9

Кривые изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи во времени имеют вид экспонент (рис. 5.9).

С энергетической точки зрения переходный процесс характеризуется переходом энергии электрического поля конденсатора в тепловую энергию в резисторе. Следует отметить; что сопротивление резистора влияет не на количество выделенной теплоты, а на начальное значение тока и длительность разряда. В самом деле

.

5.5.2. Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение (заряд конденсатора)

Из схемы, приведенной на рис. 5.10, следует, что установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе u_Cу = U, а свободная составляющая, очевидно, равна

Рис. 5.10

Полагаем, что до замыкания ключа конденсатор не был заряжен (Uс(0_—) = 0). На основании законов коммутации u_C(0_—) = u_C(0₊) = 0, при t = 0; следовательно:

u_C(0) = u_Cу(0) + u_Cсв(0) или 0 = U + A, откуда А = -U.

Тогда переходное напряжение на конденсаторе

.

Зависимости напряжений и токов от времени показаны на рис. 5.10. Из них видно, что напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону от нуля до напряжения источника, а ток уменьшается от начального значения до нуля также по экспоненте. Длительность их изменения определяется постоянной времени τ = RC. Здесь как и в п. 5.5.1 время переходного процесса принимается равным t ≈ (3 ÷ 5)τ.

5.5.3. Включение цепи с резистором и конденсатором на синусоидальное напряжение

Рис. 5.11

Пусть напряжение источника изменяется по закону

Установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе (см. рис. 5.11) равна:

где: — полное сопротивление цепи; X_C = 1 / (ωC) – емкостное сопротивление; φ = -arctg(X_C / R) – угол сдвига фаз между установившимся током в цепи и приложенным синусоидальным напряжением.

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе

Переходное напряжение на конденсаторе

.

Рис. 5.12

Полагая, что u_C(0_—) = 0, для постоянной интегрирования получим

.

Окончательно напряжение на конденсаторе можно записать в виде

.

.

Зависимости переходного напряжения на конденсаторе от времени при различных значениях разностей ψ — φ показаны на рис. 5.12. Их анализ позволяет сделать следующие выводы.

Если в момент включения мгновенное значение установившегося напряжение на конденсаторе равно нулю (ψ – φ – π / 2 = 0), то и свободная составляющая напряжения равна нулю. В цепи сразу устанавливается режим (рис. 5.12 а).

Если в момент включения мгновенное значение установившегося напряжение на конденсаторе имеет наибольшее значение (ψ – φ – π / 2 = π / 2), то переходное напряжение достигает максимального значения приблизительно через половину периода и может приблизиться к удвоенной амплитуде установившегося напряжения, но не превысит его (рис. 5.12 в).

Источник

Что такое RC-цепь, как работает и рассчитывается

RC или резисторно-конденсаторная цепь — это состоящая из резисторов и конденсаторов электрическая цепь. Простейшая RC-цепь — это цепь первого порядка. В ее составе один резистор и один конденсатор. Порядок зависит от числа реактивных элементов — конденсаторов или индуктивностей и определяет порядок решаемых при расчете дифференциальных уравнений. Могут использоваться как интегрирующие и дифференцирующие цепи или фильтры.

Частотная характеристика RC-цепи первого порядка

При наличии в схеме реактивного элемента (конденсатора), сопротивление переменному току которого зависит от частоты, RC-цепь может служить в качестве фильтра нижних или высоких частот в цепи переменного тока. Подобная схема является делителем напряжения, сопротивление одного из плеч которого (конденсатора) зависит от частоты приложенного переменного напряжения при неизменности сопротивления другого плеча (резистора).

Сопротивление резистора от частоты не зависит и равно R, сопротивление конденсатора равно (по модулю)

Может использоваться последовательная или параллельная RC-цепь. При последовательном соединении R и C модуль полного (комплексного) сопротивления (импеданса) схемы можно рассчитать по формуле:

Тогда коэффициент передачи фильтра K_п определяется как отношение сопротивления элемента, к которому подключена нагрузка, к полному сопротивлению.

Для фильтра нижних частот (ФНЧ), нагрузка подключена к конденсатору:

Соответственно, для фильтра верхних частот (ФВЧ), нагрузка подключена к резистору:

Из формул следует, что частотная характеристика простейшей RC-цепи определяется произведением RC, которое носит специальное название постоянной времени и имеет размерность времени (измеряется в секундах).

Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) рассчитываются для нулевого выходного сопротивления источника сигнала и бесконечного высокого сопротивления нагрузки, т. е. идеального случая. Ниже на рисунке представлены частотные характеристики RC-цепей, используемых в качестве фильтров НЧ и ВЧ.

Одна из характеристик фильтра — частота среза RC-цепи, на которой сигнал ослабевает на 3 дБ, или до уровня 0.707 от уровня входного сигнала. Она равна:

Фильтр низкой частоты подавляет частоты выше F_ср и пропускает частоты ниже F_ср, а фильтр высокой частоты подавляет частоты ниже F_ср и пропускает частоты выше F_ср.

При включении последовательно двух или более RC-цепей можно добиться получения АЧХ с иными характеристиками полосовых и заграждающих фильтров, фазосдвигающих цепей в цепях обратной связи RC-генераторов. Расчет АЧХ подобных цепей удобно производить с помощью онлайн-калькуляторов.

Интегрирующий вариант RC-цепи

Интегрирующая цепь с конденсатором на выходе может служить в качестве интегратора, с выходным сигналом пропорциональным интегралу по времени входного сигнала. Интегрирующая резистивно-конденсаторная RC-цепь должна иметь постоянную времени τ = RC достаточно высокую. Конденсатор на выходе накапливает (интегрирует) входной сигнал, поддерживая уровень мало меняющимся в отсутствие сигнала. Подобные интегрирующие цепи широко применяются для накопления сигнала.

Ниже на рисунке отображена интегрирующая резистивно-конденсаторная цепочка и график ее работы.

Дифференцирующий вариант цепи

Дифференцирующая электрическая RC-цепь, в которой на выходе резистор, может служить в качестве дифференциатора, т. е. устройства, выходной сигнал которого пропорционален первой производной по времени сигнала на входе (устройство дифференцирует входной сигнал). Для этого постоянная времени τ = RC должна быть очень малой. Конденсатор на входе схемы будет реагировать на изменения входного сигнала, а не на его уровень.

При постоянстве сигнала на входе сигнал на выходе дифференцирующего устройства равен 0, поскольку конденсатор заряжается до напряжения сигнала, а на резисторе (выходе схемы) напряжение отсутствует. При возрастании сигнала на входе сигнал на выходе дифференцирующей RC-цепочки положительный, при уменьшении сигнала на входе сигнал на выходе отрицательный.

Переходные процессы в RC-цепи

В электрических устройствах при воздействиях типа переключения коммутационной аппаратуры (ключей, выключателей), включении или отключении источников питания, обрывах и коротких замыканиях, и пр., возникают переходные процессы — цепь переводится из одного стационарного состояния в другое стационарное.

В цепи первого порядка изменения происходят по экспоненте и, хотя теоретически длятся бесконечно долго, на практике принято считать, что переходной процесс в любой RC-цепи первого порядка длится порядка 3-5 постоянных времени.

Параллельная RC-цепь

Параллельная RC-цепь — это цепь, в которой конденсатор подключен параллельно резистору. При постоянном токе сопротивление цепи равно сопротивлению резистора. Если используется цепь переменного тока, то импеданс уменьшается и вычисляется по формуле:

При подключении цепи к источнику тока (или источнику напряжения с высоким выходным сопротивлением) конденсатор срезает переменную составляющую напряжения, оставляя на резисторе постоянную составляющую.

Подобная параллельная подавляющая RC-цепь встроена в простейший детекторный приемник, где параллельно сопротивлению нагрузки (головным телефонам) подключен конденсатор, подавляющий высокие частоты (несущую частоту принимаемой радиостанции).

Другой пример — конденсатор фильтра выпрямителя, также срезающий пульсации напряжения.

Параллельная RC-цепь при подключении к другой цепи может рассматриваться как разветвленная. Расчет таких цепей усложняется и производится на основе законов Кирхгофа.

Интересным примером разветвленной цепи является мост Вина, на основе своей АЧХ обладающий квазирезонансными свойствами и работающий как полосовой фильтр. На частоте

коэффициент пропускания максимален и составляет 1/3. Принцип работы моста Вина используется в схемах RC-генераторов высокой и низкой частоты.

RC-цепи применяются там, где есть необходимость выделить постоянную или переменную составляющую, фронт сигнала, сделать задержку сигнала и т. п. Они широко используются в качестве времязадающих элементов.

Видео по теме

Источник