1.4. Способы соединения сопротивлений и расчет эквивалентного сопротивления электрической цепи
Сопротивления в электрических цепях могут быть соединены последовательно, параллельно, по смешанной схеме и по схемам «звезда», «треугольник». Расчет сложной схемы упрощается, если сопротивления в этой схеме заменяются одним эквивалентным сопротивлением Rэкв, и вся схема представляется в виде схемы на рис. 1.3, где R=Rэкв, а расчет токов и напряжений производится с помощью законов Ома и Кирхгофа.
Электрическая цепь с последовательным соединением элементов
Рис. 1.4
Рис. 1.5
Последовательным называют такое соединение элементов цепи, при котором во всех включенных в цепь элементах возникает один и тот же ток I (рис. 1.4).
На основании второго закона Кирхгофа (1.5) общее напряжение U всей цепи равно сумме напряжений на отдельных участках:
Таким образом, при последовательном соединении элементов цепи общее эквивалентное сопротивление цепи равно арифметической сумме сопротивлений отдельных участков. Следовательно, цепь с любым числом последовательно включенных сопротивлений можно заменить простой цепью с одним эквивалентным сопротивлением Rэкв (рис. 1.5). После этого расчет цепи сводится к определению тока I всей цепи по закону Ома
,
и по вышеприведенным формулам рассчитывают падение напряжений U1, U2, U3 на соответствующих участках электрической цепи (рис. 1.4).
Недостаток последовательного включения элементов заключается в том, что при выходе из строя хотя бы одного элемента, прекращается работа всех остальных элементов цепи.
Электрическая цепь с параллельным соединением элементов
Параллельным называют такое соединение, при котором все включенные в цепь потребители электрической энергии, находятся под одним и тем же напряжением (рис. 1.6).
В этом случае они присоединены к двум узлам цепи а и b, и на основании первого закона Кирхгофа (1.3) можно записать, что общий ток I всей цепи равен алгебраической сумме токов отдельных ветвей:
I = I1 + I2 + I3, т.е. 
,
.
В том случае, когда параллельно включены два сопротивления R1 и R2, они заменяются одним эквивалентным сопротивлением
.
Из соотношения (1.6), следует, что эквивалентная проводимость цепи равна арифметической сумме проводимостей отдельных ветвей:
По мере роста числа параллельно включенных потребителей проводимость цепи gэкв возрастает, и наоборот, общее сопротивление Rэкв уменьшается.
Напряжения в электрической цепи с параллельно соединенными сопротивлениями (рис. 1.6)
,
т.е. ток в цепи распределяется между параллельными ветвями обратно пропорционально их сопротивлениям.
По параллельно включенной схеме работают в номинальном режиме потребители любой мощности, рассчитанные на одно и то же напряжение. Причем включение или отключение одного или нескольких потребителей не отражается на работе остальных. Поэтому эта схема является основной схемой подключения потребителей к источнику электрической энергии.
Электрическая цепь со смешанным соединением элементов
Смешанным называется такое соединение, при котором в цепи имеются группы параллельно и последовательно включенных сопротивлений.
Для цепи, представленной на рис. 1.7, расчет эквивалентного сопротивления начинается с конца схемы. Для упрощения расчетов примем, что все сопротивления в этой схеме являются одинаковыми: R1=R2=R3=R4=R5=R. Сопротивления R4 и R5 включены параллельно, тогда сопротивление участка цепи cd равно:
.
В этом случае исходную схему (рис. 1.7) можно представить в следующем виде (рис. 1.8):
На схеме (рис. 1.8) сопротивление R3 и Rcd соединены последовательно, и тогда сопротивление участка цепи ad равно:
.
Тогда схему (рис. 1.8) можно представить в сокращенном варианте (рис. 1.9):
На схеме (рис. 1.9) сопротивление R2 и Rad соединены параллельно, тогда сопротивление участка цепи аb равно
.
Схему (рис. 1.9) можно представить в упрощенном варианте (рис. 1.10), где сопротивления R1 и Rab включены последовательно.
Тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы (рис. 1.7) будет равно:
.
Рис. 1.10
Рис. 1.11
В результате преобразований исходная схема (рис. 1.7) представлена в виде схемы (рис. 1.11) с одним сопротивлением Rэкв. Расчет токов и напряжений для всех элементов схемы можно произвести по законам Ома и Кирхгофа.
Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»
В электротехнических и электронных устройствах элементы цепи соединяются по мостовой схеме (рис. 1.12). Сопротивления R12, R13, R24, R34 включены в плечи моста, в диагональ 1–4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3–4 называется измерительной диагональю моста.
Рис. 1.12
Рис. 1.13
В мостовой схеме сопротивления R13, R12, R23 и R24, R34, R23 соединены по схеме «треугольник». Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R24 R34 R23 звездой R2 R3 R4 (рис. 1.13). Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи. Для этого величины сопротивлений звезды должны рассчитываться по следующим соотношениям:
; 
; 
.
Для замены схемы «звезда» эквивалентным треугольником необходимо рассчитать сопротивления треугольника:
; 
; 
.
После проведенных преобразований (рис. 1.13) можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы (рис. 1.12)
.
Источник
Эквивалентное сопротивление
Если электрическая цепь содержит несколько резисторов, то для подсчёта её основных параметров (силы тока, напряжения, мощности) удобно все резистивные устройства заменить на одно эквивалентное сопротивление цепи. Только для него должно выполняться следующее требование: его сопротивление должно быть равным суммарному значению сопротивлений всех элементов, то есть показания амперметра и вольтметра в обычной схеме и в преобразованной не должны измениться. Такой подход к решению задач называется методом свёртывания цепи.
Внимание! Расчёт эквивалентного (общего или суммарного) сопротивления в случае последовательного или параллельного подключения выполняется по разным формулам.
Последовательное соединение элементов
В случае последовательного подключения все приборы соединяются последовательно друг с другом, а собранная цепь не имеет разветвлений.
При таком подключении сила тока, проходящая через каждый резистор, будет одинаковая, а общее падение напряжения складывается из суммарных падений напряжения на каждом из приборов.
Последовательное подключение приборов
Чтобы определить суммарное значение в этом случае, воспользуемся законом Ома, который записывается следующим образом:
Из вышестоящего выражения получаем значение R:
Поскольку при последовательном соединении:
формула для расчёта эквивалентного сопротивления (Rобщ или Rэкв) из (1) – (3) будет иметь вид:
- Rэкв = (U1 + U2 + …+ UN)/I,
- Rэкв = R1 + R2 + … + RN (4).
Таким образом, если имеется N последовательно соединённых одинаковых элементов, то их можно заменить на одно устройство, у которого:
Параллельное соединение
При таком подключении входы от всех устройств соединены в одной точке, выходы – в другой точке. Эти точки в физике и электротехнике называются узлами. На электрических схемах узлы представляют собой места разветвления проводников и обозначаются точками.
Расчет эквивалентного сопротивления также выполняем с помощью закона Ома.
В этом случае общее значение силы тока складывается из суммы сил токов, протекающих по каждой ветви, а величина падения напряжения для каждого устройства и общее напряжение одинаковые.
Если имеются N резистивных устройств, подключенных таким образом, то:
Из выражений (1), (6) и (7) имеем:
- Rобщ = U/(I1 + I2 + …+ IN),
- 1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2 +…+ 1/RN (8).
Если имеется N одинаковых резисторов, имеющих подключение данного типа, то формула (8) преобразуется следующим образом:
Если соединены несколько катушек индуктивности, то их суммарное индуктивное сопротивление рассчитывается так же, как и для резисторов.
Расчёт при смешанном соединении устройств
В случае смешанного подключения присутствуют участки с последовательным и параллельным подключениями элементов.
При решении задачи используют метод сворачивания цепи (метод эквивалентных преобразований). Его используют для вычисления параметров в том случае, если есть один источник энергии.
Предположим, задана следующая задача. Электрическая схема (см. рис. ниже) состоит из 7 резисторов. Рассчитайте токи на всех резисторах, если имеются следующие исходные данные:
Из закона Ома имеем:
где R – суммарное сопротивление всех приборов.
Его будем находить, воспользовавшись методом сворачивания цепи.
Элементы R2 и R3 подключены параллельно, поэтому их можно заменить на R2,3, величину которого можно рассчитать по формуле:
R4, R5 и R6 также включены параллельно, и их можно заменить на R4,5,6, которое вычисляется следующим образом:
Таким образом, схему, изображённую на картинке выше, можно заменить на эквивалентную, в которой вместо резисторов R2, R3 и R4, R5, R6 используются R2,3 и R4,5,6.
Согласно картинке выше, в результате преобразований получаем последовательное соединение резисторов R1, R2,3, R4,5,6 и R7.
Rобщ может быть найдено по формуле:
Подставляем числовые значения и рассчитываем R для определённых участков:
- R2.3 = 2Ом·3Ом / (2Ом + 3Ом) = 1,2Ом,
- 1/R4,5,6 = 1/6Ом + 1/9Ом + 1/18Ом = 1/3Ом,
- R4,5,6 = 3Ом,
- Rэкв = 1Ом + 1,2Ом + 3Ом + 2,8Ом= 8Ом.
Теперь, после того, как нашли Rэкв, можно вычислять значение I:
После того, как мы получили величину общего тока, можно вычислить силу тока, протекающую на каждом участке.
Поскольку R1, R2,3, R4,5,6 и R7 соединены последовательно, то:
На участке R2,3 напряжение находим по формуле:
Поскольку R2 и R3 подключены параллельно, то U2,3 = U2 = U3, следовательно:
- I2 = U2 / R2,
- I2 = 4,8В / 2Ом = 2,4А,
- I3 = U3 / R3,
- I3 = 4,8В / 3Ом = 1,6А.
Проверяем правильность решения:
На участке R4,5,б напряжение также находим, исходя из закона Ома:
Так как R4, R5, Rб подключены параллельно друг к другу, то:
Вычисляем I4, I5, I6:
- I4 = U4 / R4,
- I4 = 12В / 6Ом = 2А,
- I5 = U5 / R5,
- I5 = 12В / 9Ом » 1,3А,
- I6 = U6 / R6,
- I5 = 12В / 18Ом » 0,7А.
Проверяем правильность решения:
Чтобы автоматизировать выполнение расчётов эквивалентных значений для различных участков цепи, можно воспользоваться сервисами сети Интернет, которые предлагают на их сайтах выполнить онлайн вычисления нужных электрических характеристик. Сервис обычно имеет встроенную специальную программу – калькулятор, которая помогает быстро выполнить расчет сопротивления цепи любой сложности.
Таким образом, использование метода эквивалентных преобразований при расчёте смешанных соединений различных устройств позволяет упростить и ускорить выполнение вычислений основных электрических параметров.
Видео
Источник