Цепь переменного тока с емкостью
Если в цепь постоянного тока включить конденсатор (идеальный – без потерь), то в течение короткого времени после включения по цепи потечет зарядный ток. После того как конденсатор зарядится до напряжения, соответствующего напряжению источника, кратковременный ток в цепи прекратится. Следовательно, для постоянного тока конденсатор представляет собой разрыв цепи или бесконечно большое сопротивление.
Если же конденсатор включить в цепь переменного тока, то он будет заряжаться попеременно то в одном, то в другом направлении.
При этом в цепи будет проходить переменный ток. Рассмотрим это явление подробнее.
В момент включения напряжение на конденсаторе равно нулю. Если включить конденсатор к переменному напряжению сети, то в течение первой четверти периода, когда напряжение сети будет возрастать (рисунок 1), конденсатор будет заряжаться.
Рисунок 1. Графики и векторная диаграмма для цепи переменного тока, содержащей емкость
По мере накопления зарядов на обкладках конденсатора напряжение конденсатора увеличивается. Когда напряжение сети к концу первой четверти периода достигнет максимума, заряд конденсатора прекращается и ток в цепи становится равным нулю.
Ток в цепи конденсатора можно определить по формуле:
где q – количество электричества, протекающее по цепи.
Из электростатики известно:
где C – емкость конденсатора; u – напряжение сети; uC – напряжение на обкладках конденсатора.
Окончательно для тока имеем:
Из последнего выражения видно, что, когда 
максимально (положения а, в, д), i также максимально. Когда 
(положения б, г на рисунке 1), то i также равно нулю.
Во вторую четверть периода напряжение сети будет уменьшаться, и конденсатор начнет разряжаться. Ток в цепи меняет свое направление на обратное. В следующую половину периода напряжение сети меняет свое направление и наступает перезаряд конденсатора и затем снова его разряд. Из рисунка 1 видно, что ток в цепи с емкостью в своих изменениях опережает по фазе на 90° 
напряжение на обкладках конденсатора.
Сравнивая векторные диаграммы цепей с индуктивностью и емкостью, мы видим, что индуктивность и емкость на фазу тока влияют прямо противоположно.
Поскольку мы отметили выше, что скорость изменения тока пропорциональна угловой частоте ω, из формулы
получаем аналогично, что скорость изменения напряжения также пропорциональна угловой частоте ω и для действующего значения тока имеем
Обозначая 
, где xC называется емкостным сопротивлением, или реактивным сопротивлением емкости. Итак мы получили формулу емкостного сопротивления при включении емкости в цепи переменного тока. Отсюда, на основании выражения закона Ома, мы можем получить ток для цепи переменного тока, содержащей емкость:
Напряжение на обкладках конденсатора
Та часть напряжения сети, которая имеется на конденсаторе, называется емкостным падением напряжения, или реактивной слагающей напряжения, и обозначается UC.
Емкостное сопротивление xC, так же как индуктивное сопротивление xL, зависит от частоты переменного тока.
Но если с увеличением частоты индуктивное сопротивление увеличивается, то емкостное сопротивление, наоборот, будет уменьшаться.
Пример 1. Определить емкостное реактивное сопротивление конденсатора емкостью 5 мкФ при разных частотах сетевого напряжения. Расчет емкостного сопротивления произведем при частоте 50 и 40 Гц:
Применим формулу средней или активной мощности для рассматриваемой цепи:
Так как в цепи с емкостью ток опережает напряжение на 90°, то
Поэтому активная мощность также равна нулю, то есть в такой цепи, как и в цепи с индуктивностью, расхода мощности нет.
На рисунке 2 показана кривая мгновенной мощности в цепи с емкостью. Из чертежа видно, что в первую четверть периода цепь с емкостью забирает из сети энергию, которая запасается в электрическом поле конденсатора.
Рисунок 2. Кривая мгновенной мощности в цепи с емкостью
Энергию, запасаемую конденсатором к моменту прохождения напряжения на нем через максимум, можно определить по формуле:
В следующую четверть периода конденсатор разряжается на сеть, отдавая ей ранее запасенную в нем энергию.
За вторую половину периода явление колебаний энергии повторяется. Таким образом, в цепи с емкостью происходит лишь обмен энергией между сетью и конденсатором без потерь.
Источник: Кузнецов М. И., «Основы электротехники» — 9-е издание, исправленное — Москва: Высшая школа, 1964 — 560 с.
Источник
§53. Емкость в цепи переменного тока
Ток и напряжение. В цепи постоянного тока емкость (идеальный конденсатор) имеет сопротивление бесконечно большое, так как после окончания процесса заряда такой конденсатор не пропускает электрический ток. Однако при подключении емкости к источнику переменного тока (рис. 191,а) происходит непрерывный процесс его заряда и разряда, при этом через емкость проходит переменный ток.
Ток i при включении в цепь переменного тока емкости определяется количеством электричества q, проходящим по этой цепи в единицу времени. Следовательно,
где ?q — изменение количества электричества (заряда q) за время ?t.
Количество электричества q, накопленное в конденсаторе при изменении напряжения и, также непрерывно изменяется. Поэтому, учитывая формулу (69), будем иметь:
где ?u — изменение напряжения и за время ?t.
Из рис. 191,б видно, что скорость изменения напряжения ?u/?t будет наибольшей в моменты времени, когда угол ?t равен 0; 180 и 360°. Следовательно, в эти моменты времени ток i имеет максимальное значение. В моменты же времени, когда угол ?t равен 90° и 270°, скорость изменения напряжения ?u/?t = 0 и поэтому i = 0.
В течение первой четверти периода происходит заряд емкости и в цепи течет ток заряда, который считаем положительным. При этом по мере заряда емкости и увеличения разности потенциалов на электродах ток i уменьшается. При ?t = 90° емкость полностью заряжается, разность потенциалов на электродах становится равной напряжению и источника и ток i = 0.
Во второй четверти периода емкость начнет разряжаться и ток i изменяет свое направление (становится отрицательным). При
Рис. 191. Схема включения в цепь переменного тока емкости (а), кривые тока i напряжения u (б) и векторная диаграмма (в)
?t =180°, когда u = 0, ток i разряда достигает максимального значения. В этот момент изменяется полярность напряжения и источника и начинается процесс перезаряда емкости при противоположном (отрицательном) направлении тока i. При со/ = 270° заряд прекращается, ток i становится равным нулю и начинается разряд при первоначальном (положительном) направлении тока.
Таким образом, емкость в течение одного периода изменения напряжения и дважды заряжается и дважды разряжается. Следовательно, в цепи (см. рис. 191, а) непрерывно протекает переменный ток i. Из рис. 191,б видно, что при включении в цепь переменного тока емкости ток i опережает по фазе напряжение и на угол 90° или же что напряжение и отстает по фазе от тока i на угол 90° (рис. 191,в).
Емкостное сопротивление. Сопротивление, которое оказывает емкость переменному току, называют емкостным. Оно обозначается Xс и измеряется в омах. Физически емкостное сопротивление обусловлено действием э. д. с. ес, возникающей в конденсаторе С. Эта э. д. с. направлена против приложенного напряжения u, так как заряженный конденсатор можно рассматривать как источник с некоторой э. д. с. ес, действующей между его пластинами. Поэтому э. д. с. ес препятствует изменению тока под действием напряжения u, т. е. оказывает прохождению переменного тока определенное сопротивление.
Из формулы (70) следует, что чем больше емкость С и скорость изменения напряжения ?u/?t, т. е. частота его изменения f (значение ?), тем больше ток i в цепи с емкостью и тем меньше емкостное сопротивление:
Закон Ома для цепи с емкостью:
Электрическая мощность. Рассмотрим, как изменяется электрическая мощность в цепи переменного тока с емкостью. Ее можно получить графическим путем, перемножая ординаты кривых тока и напряжения при различных углах ?t. Кривая мгновенной мощности (см. рис. 179,б) представляет собой синусоиду, которая изменяется с двойной частотой 2? по сравнению с частотой изменения тока i и напряжения u. Следовательно, в этой цепи тоже имеет место непрерывный колебательный процесс обмена энергией между источником и емкостью. В первую и третью четверти периода мощность положительна, т. е. конденсатор получает энергию W от источника и накапливает ее в своем электрическом поле. Во вторую и четвертую четверть периода конденсатор отдает накопленную энергию источнику (мощность отрицательна); при этом протекание тока по цепи поддерживается э. д. с. ес. В целом за период в емкостное сопротивление не поступает электрическая энергия (среднее значение мощности за период равно нулю). Поэтому емкостное сопротивление, так же как и индуктивное, относят к группе реактивных сопротивлений.
Для характеристики процесса обмена энергией между источником и емкостью введено понятие реактивной мощности емкости:
где Uс — напряжение, приложенное к конденсатору (действующее значение) .
Эту мощность можно выразить также в виде
Следует отметить, что в реальных конденсаторах имеют место потери мощности, вследствие чего они потребляют от источника некоторую электрическую энергию. Потери мощности вызваны тем, что в диэлектрике, разделяющем пластины конденсатора, под действием переменного электрического поля возникают токи смещения, нагревающие диэлектрик. Чем больше напряжение и частота его изменения, тем больше потери мощности в конденсаторах от токов смещения. Однако эти потери имеют значение только в конденсаторах, применяемых в высокочастотных установках. При стандартной частоте 50 Гц потери в конденсаторах настолько малы, что их обычно не учитывают.
Источник