Формулы для расчета однофазных цепей

Расчет цепей переменного тока

Расчет электрических цепей переменного синусоидального тока производится в комплексной форме. При этом величины синусоидальных ЭДС и токов представляются в виде комплексных амплитуд или комплексных действующих значений, а все элементы в схеме – в виде комплексных сопротивлений.

Например, если ЭДС источника равна , то комплексная амплитуда запишется в виде— в показательной форме записи, или— в алгебраической форме. Комплексное действующее значение синусоидальной ЭДС:— в показательной форме записи, или— в алгебраической форме.

Комплексные сопротивления элементов электрической цепи переменного тока:

— для идеального сопротивления,

— для идеальной индуктивности,

— для идеальной емкости.

Далее расчет электрической цепи переменного тока можно вести любым методом, известным из раздела – «электрические цепи постоянного тока». При этом используется математический аппарат, разработанный для операций с комплексными числами.

Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:

— показательная форма,

— алгебраическая форма,

где и— действительная и мнимая часть комплексного значения синусоидальной величины. Переход от алгебраической формы к показательной осуществляется по формулам:

;.

Переход от показательной формы к тригонометрической осуществляется по формуле Эйлера:

.

Сложение и вычитание комплексных величин производится в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной.

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин, сокращенно их называют комплексными значениями.

Расчет однофазных цепей

Расчет однофазных цепей переменного тока при наличии одного источника синусоидальной ЭДС производится методом эквивалентных преобразований. Рассмотрим пример расчета однофазной цепи приведенной на рис.

Рис. 2.4. Схема электрической цепи к примеру расчета

Пример расчета однофазной цепи

По заданным значениям активных и реактивных сопротивлений и напряжению источника определить токи во всех ветвях схемы и падения напряжения на ее участках. Определить комплекс полной мощности, активную и реактивную мощность. Расчет произвести комплексным методом. Выполнить проверку правильности расчета с использованием баланса активных мощностей схемы. Построить векторную диаграмму. Построить мгновенные значения синусоидальных токов ветвей. Исходные данные для расчета приведены в таблице.

Источник

Методы расчета электрических цепей

Постановка задачи: в известной схеме цепи с заданными параметрами необходимо рассчитать токи, напряжения, мощности на отдельных участках. Для этого можно использовать следующие методы:

непосредственного применения законов Кирхгофа;

Будем рассматривать первых два метода.

Метод преобразования цепи. Суть метода: если несколько последовательно или (и) параллельно включенных сопротивлений заменить одним, то распределение токов в электрической цепи не изменится.

а) Последовательное соединение резисторов. Сопротивления включены таким образом, что начало следующего сопротивления подключается к концу предыдущего (рис. 6).

Ток во всех последовательно соединенных элементах одинаков.

Заменим все последовательно соединенные резисторы одним эквивалентным(рис. 7.).

;

;

т.е. при последовательном соединении резисторов эквивалентное сопротивление участка цепи равно сумме всех последовательно включенных сопротивлений.

б) Параллельное соединение резисторов. При этом соединении соединяются вместе одноименные зажимы резисторов (рис. 8).

Все элементы присоединяются к одной паре узлов. Поэтому ко всем элементам приложено одно и тоже напряжениеU.

По Iзакону Кирхгофа:.

По закону Ома . Тогда.

Для эквивалентной схемы (см рис. 7): ; .

Величина , обратная сопротивлению, называется проводимостьюG.

;= Сименс (См).

Частный случай: параллельно соединены два резистора (рис. 9).

в) Взаимное преобразование звезды (рис.10а) и треугольник сопротивлений (рис. 10б).

— преобразование звезды сопротивлений в треугольник:

— преобразование «треугольника» сопротивлений в «звезду»:

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Порядок расчета:

Определить число ветвей (т.е. токов) и узлов в схеме.

Произвольно выбрать условно-положительные направления токов. Общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов.

Определить, сколько уравнений должно быть составлено по Iзакону Кирхгофа, а сколько — поIIзакону Кирхгофа.

Составить уравнения для узлов поIзакону Кирхгофа и длянезависимых контуров (отличающихся друг от друга хотя бы на одну ветвь) — поIIзакону Кирхгофа.

Решить система уравнений относительно токов. Если в результате ток получился отрицательным, то его действительное направление противоположно выбранному.

Проверить правильность решения задачи, составив уравнение баланса мощности и смоделировав электрическую цепь средствами моделирующего пакета ElectronicsWorkbench.

Примечание: если есть возможность, то перед составлением системы уравнений по законам Кирхгофа, следует преобразовать «треугольник» сопротивлений в соответствующую «звезду».

Пример расчет электрических цепей постоянного тока

Расчет будем выполнять с применением законов Кирхгофа, предварительно преобразовав треугольник сопротивлений в звезду.

Пример. Определить токи в цепи рис. 11, еслиE₁=160 В,E₂=100 В,R₃=100 Ом,R₄=100 Ом,R₅=150 Ом,R₆=40 Ом.

Преобразуем треугольник сопротивлений R₄ R₅ R₆в звезду сопротивленийR₄₅ R₅₆ R₆₄, предварительно указав условные положительные направления токов в цепи (рис. 12).

Ом;

Ом;

Ом.

После преобразования электрическая цепь примет вид рис. 13 (в непреобразованной части электрической цепи направления токов не изменятся).

Вполученной электрической цепи 2 узла, 3 ветви, 2 независимых контура, следовательно, в цепи протекает три тока (по количеству ветвей) и необходимо составить систему трех уравнений, из которых поIзакону Кирхгофа – одно уравнение (на 1 меньше, чем узлов в схеме электрической цепи) и два уравнения – поIIзакону Кирхгофа:

Подставим в полученную систему уравнений известные значения ЭДС и сопротивлений:

Решая систему уравнений любым способом, определяем токи схемы электрической цепи рис. 13:

А;А;А.

Переходим к исходной схеме (см. рис. 11). По IIзакону Кирхгофа:

;

А.

;

А;

;

А.

Токииполучились отрицательными, следовательно, их действительное направление противоположно выбранному нами (рис. 14).

Правильность решения проверяем, составив уравнение баланса мощности. Мощность источников (учтем, что ЭДС источника E₂направленно встречно токуI₂, протекающему через него):

Вт.

Погрешность вычислений в пределах допустимого (меньше 5%).

Смоделируем электрическую цепь рис. 11 средствами моделирующего пакета ElectronicsWorkbench(рис. 15):

Рис. 15

При сравнении расчетных результатов и результатов моделирования, можно увидеть, что они отличаются (различия не превышают 5%), т.к. измерительные приборы имеют внутренние сопротивления, которые моделирующая система учитывает

Источник