Частотные характеристики элементов электрической цепи

5.3. Частотные характеристики

Поскольку сопротивления элементов цепей зависят от частоты, то параметры цепей оказываются частотно-зависимыми. Зависимости параметров цепей от частоты называют частотными характеристиками (ЧХ) или частотными функциями цепи.

Каждый параметр цепи имеет свою частотную характеристику ЧХ. Название ЧХ дают в соответствии с названием параметра. Например: ЧХ входного сопротивления, ЧХ коэффициента передачи напряжения.

ЧХ есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия. Как всякую комплексную функцию ее можно записать в одной из трех форм записи: показательной, алгебраической и тригонометрической (последняя, применяется редко).

.

H(ω)=Y_m/X_m — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) или ее называют модуль комплексной функции – mod[H(jω)] =.

АЧХ – есть зависимость от частоты отношения амплитуды гармонического сигнала на выходе к амплитуде гармонического сигнала на входе (без учета начальных фаз).

— фазо-частотная характеристика (ФЧХ) или ее называют аргументом комплексной функции – arg[H(jω)] = .

ФЧХ – есть зависимость от частоты сдвига по фазе между выходным и входным сигналами.

,,- реальная и мнимая составляющие ЧХ электрической цепи.

Для наглядности ЧХ цепей представляют в виде графиков. Графики строят двумя способами.

ЧХ можно представлять в виде двух графиков –АЧХ и ФЧХ.

При построении графиков АЧХ и ФЧХ пользуются следующими масштабами по осям: абсолютным или линейным и логарифмическим. На рис.5.6а приведен график в абсолютном линейном масштабе, на рис.5.6б в полулогарифмическом масштабе, а на рис.5.6в в логарифмическом масштабе.

ЧХ можно представить на одном графике. График комплексной функции, построенный в одной системе координат, называют годографом. Годограф – это геометрическое место точек, которые описывает конец вектора комплексной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до бесконечности.

Для построения годографа обычно используют алгебраическую форму записи частотной характеристики Н(jω) = Re[Н(jω)] + jJm[Н(jω)]. Далее для определенных частот ω_i рассчитывают значения Re[Н(jω)] = Н₁(ω_i) и Jm[Н(jω)] = Н₂(ω_i), и составляют таблицу данных, а затем, как обычно, наносят эти точки на плоскость и соединив их получают график годографа (рис.5.7).

Таблица данных для построения АФХ Таблица 1.1.

5.4. Примеры расчёта частотных характеристик цепей

Пример 1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.5.8) рассчитать ее частотные характеристики.

1. Z_вх(j), Z_вх(), _z(). 2. K(j), K(), _k().

Решение. 1) По определению Z_вх(j)=Ů_1m/.Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Z_вх()=[(R₁+R₂)²+(X₁+X₂)²] 1/2 ; _z()=arctg[(X₁+X₂)/(R₁+R₂)].

2) Используя определение К(j) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Пример 2. Для цепи изображенной на рис.5.9 рассчитать:

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения. Она соответствует схеме на рис.5.8.

Используя, определениеz_вх(j) и законы Ома и Кирхгофа получим его выражение

Определим АЧХ и ФЧХ для z_вх(j) и построим их графики (рис.5.10.), подсчитав значения при =0, =.

; Zвх(0) = . Zвх() = R.

_z()= -arctg ,_z(0)=-/2, _z()=0.

Используя, определение K_U(j) получим его выражение K_u(j)====.

Определим АЧХ и ФЧХ для Ku (j) и построим их графики (рис.5.11.), подсчитав значения при =0, =.

Вспомним, что z==где:тогда,

Ku(0)=1; Ku()=0.

Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0)=1) и подавляет сигналы высоких частот (Ku()=0) и называется фильтром низких частот (ФНЧ).

Граничная частота определяется из выражения . Рассчитаем ее для нашего примера:

, _грRC=1  . Построить годограф частотно-передаточной функции (годограф иногда называют АФЧХ).

При .

При

Учитывая, что реальная часть всегда положительна и уменьшается от 1 до 0, а мнимая часть всегда отрицательна, можно построить график годографа (рис. 5.12.).

Пример 3. Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.5.13), рассчитать ее частотные характеристики:

Решение. 1) Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления.

По определению Z_вх(j)=Ů_1m/.Входное сопротивление находимметодом последовательных эквивалентных преобразований. Этот метод состоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис.5.14.

2. найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По определения K_u(j)=Ů_2m/Ů_1m , а Ů_2m=Z₄İ₂ – находим по закону Ома.

Отсюда видно, что для расчета КЧХ необходимо найти İ₂. Находим İ₂ методом контурных токов. Для этого: определим число независимых контуров: N_k=в-у+1=3-2+1=2, каждому из них присвоим свой контурный ток İ₁, İ₂ и составим уравнения по методу контурных токов.

Z₁₁İ₁+Z₁₂İ₂=E₁₁

E₂₂— алгебраическая сумма источников ЭДС II-ого контура, во II контуре источников ЭДС нет, Ė₂₂=0.

Найдем İ ₂— ток второго контура (по методу Крамера), а затем и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Покажем другой способ нахождения КЧХ коэффициента передачи по напряжению. Найдем КЧХ, используя для расчета U_2m метод узловых потенциалов. Для этого:

преобразуем исходную схему к виду, показанному на рис.5.15, заменив источник эдс на источник тока;

потенциал узла 0 примем равным нулю, ₀=0;

Составив уравнения по методу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее, относительно ₂, по методу Крамера:

Y₁₁₁+ Y₁₂₂=I₁₁

_1, ₂ – потенциалы первого и второго узлов;

I_11, I₁₁ – токи источников токов сходящихся в первом и втором узлах.

Источник