Интегрирующие цепи. Переходная характеристика.
Интегрирующей называется цепь, сигнал на выходе который пропорционален интегралу от входного воздействия.
Простейшая интегрирующая цепь имеет вид:
Запишем для этой цепи второй закон Кирхгофа:
где UR — падение напряжения на емкости,
UC — падение напряжения на активном сопротивлении.
а выходное напряжение описывается соотношением:
Таким образом, выходное напряжение пропорционально интегралу от входного воздействия.
Основной параметр интегрирующей цепи – постоянная времени:
Рассмотрим переходные характеристики интегрирующей цепи.
Переходная характеристика – зависимость от времени выходного напряжения при скачкообразном изменении входного сигнала.
Для обеспечения интегрирования постоянная времени должна удовлетворять условию
Графики приведены для следующих соотношений:
Интегрирующие цепи. Амплитудно-частотная характеристика.
Рассмотрим частотные характеристики.
Амплитудно-частотная характеристика усилителя (АЧХ)- это зависимость модуля коэффициента передачи устройства от частоты входного сигнала .
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ)- зависимость угла сдвига фазы между входным и выходным напряжением от частоты.
Коэффициентом передачи называют отношение выходного сигнала к входному.
Определим коэффициент передачи для интегрирующей цепи.
Выходное напряжение описывается соотношением:
где = R* С – постоянная времени .
АЧХ и ФЧХ описываются соотношениями:
Часто АЧХ выражают в децибелах:
Рассмотрим упрощенное построение логарифмических АЧХ (ЛАЧХ) и ФЧХ (ЛФЧХ. Для этого выделяют три участка:
Пусть частота изменилась в десять раз, т.е. стала 10* , тогда изменение коэффициента передачи равно:
Наибольшая ошибка в 3 дБ при замене реальной ЛАЧХ на упрощенную имеет место при частоте ср = 1 / . Вне интервала, равного двум-трем октавам вправо и влево, точные и приближенные характеристики совпадают.
Упрощенная ЛФЧХ на частотах 0,1*ср и 10*ср имеет максимальное отклонение от реальной 5.7 . В диапазоне от 0,1*ср до 10*ср упрощенная ЛФЧХ представляет собой прямую, которая проходит с наклоном 45град/дек через точку с координатами 45 и ср .
Применение интегрирующей цепи:
Фильтр низких частот эффективно пропускает частотный спектр сигнала ниже некоторой частоты (частоты среза) и уменьшающий или подавляющий частоты сигнала выше этой частоты.
Источник
Радиотехнические цепи и сигналы. Лазаренко С.В / Презентации РТЦиС / семестр летний / часть1 / лек11
РОСТОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
СЕРВИСА И ТУРИЗМА ________________________________________________________________
ПРОХОЖДЕНИЕ ВИДЕОСИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНУЮ ЦЕПЬ
по дисциплине “Радиотехнические цепи и сигналы”
ПРОХОЖДЕНИЕ ВИДЕОСИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНУЮ ЦЕПЬ
1 Идеальная дифференцирующая цепь
2 Идеальная интегрирующая цепь
3 Простейшая реальная дифференцирующая цепь
4 Простейшая реальная интегрирующая цепь
В данной лекции реализуются следующие элементы квалификационной характеристики:
1 Студент должен знать временные и спектральные характеристики детерминированных сигналов.
2 Студент должен уметь использовать методы спектрального и корреляционного анализа детерминированных и случайных сигналов.
3 Студент должен владеть приемами измерения основных параметров и характеристик радиотехнических цепей и сигналов;
Электрическая цепь является дифференцирующей, если сигнал на ее выходе пропорционален производной по времени входного сигнала.
Сигнал на выходе интегрирующей цепи пропорционален интегралу по времени от входного сигнала.
Вначале рассмотрим свойства и характеристики идеальных дифференцирующей и интегрирующей цепей.
1 ИДЕАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩАЯ ЦЕПЬ
В соответствии с определением для этой цепи
, (1)
где 
— коэффициент пропорциональности, называемый постоянной времени цепи;
и 
— входной и выходной сигналы цепи соответственно.
Найдем частотные характеристики идеальной дифференцирующей цепи.
Пусть 
и 
— соответственно спектральные плотности сигналов 
и 
. Сигналы связаны со своими спектральными плотностями обратным преобразованием Фурье
. (2)
С учетом этого выражение (1) можно переписать в виде
. (3)
При выводе (3) учтено, что операция интегрирования является линейной, а от времени в квадратных скобках зависит только сомножитель 
.
Сравнивая (2) и (3), делаем вывод о том, что спектр выходного сигнала идеальной дифференцирующей цепи равен спектру входного, умноженному на 
:
. (4)
Таким образом, комплексный коэффициент передачи идеальной дифференцирующей цепи равен
. (5)
При этом выражение для АЧХ имеет вид
, (6)
. (7)
АЧХ и ФЧХ идеальной дифференцирующей цепи приведены на рисунке 1.
Анализ АЧХ, приведенной на рисунке 1, подтверждает физическую нереализуемость идеальной дифференцирующей цепи: коэффициент передачи такой цепи с ростом частоты должен неограниченно возрастать, что противоречит закону сохранения энергии.
Рассмотрим, какую форму будет иметь сигнал на выходе идеальной дифференцирующей цепи, если на ее вход подать сигнал в виде функции включения
. (8)
Из математики известно, что производная единичной функции включения есть 
— функция Дирака, т.е. в этом случае для идеальной дифференцирующей цепи
(9)
Определение и основные свойства функции включения и 
— функции были рассмотрены ранее (см. лекцию 4).
График выходного сигнала идеальной дифференцирующей цепи при подаче на ее вход функции включения приведен на рисунке 3б.
2. ИДЕАЛЬНАЯ ИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЦЕПЬ
, (10)
где 
— начальное условие (сигнал на выходе до начала интегрирования;
— постоянная времени цепи.
Для определения частотных характеристик идеальной интегрирующей цепи используем выражения (2) и (10).
. (11)
Сравнив (2) и (11), получим выражение для комплексного коэффициента передачи идеальной интегрирующей цепи
. (12)
При этом выражение для АЧХ будет иметь вид
, (13)
. (14)
АЧХ и ФЧХ идеальной интегрирующей цепи приведены на рисунке 2.
Также как и в предыдущем случае идеальная интегрирующая цепь физически нереализуема, поскольку она должна обладать бесконечно большим коэффициентом усиления на постоянном токе (при 
).
При подаче на вход идеальной интегрирующей цепи функции включения на выходе получается линейная функция времени. Действительно,
. (15)
На рис. 3в приведен график выходного сигнала sвыхии(t) идеальной интегрирующей цепи при подаче на ее вход функции включения (рисунок 3).
3 ПРОСТЕЙШАЯ РЕАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩАЯ ЦЕПЬ
Рассмотрим цепь (рисунок 4), представляющую собой простейший фильтр верхних частот.
Комплексный коэффициент передачи такой цепи определяется выражением (доказать самостоятельно):
,
где 
— постоянная времени цепи.
. (16)
Обратим внимание на то, что при 
выражение (16) приобретает вид:
. (17)
ФЧХ этой цепи описывается выражением
. (18)
При 
— это выражение приближенно равно
. (19)
АЧХ представленной цепи изображена на рисунке 5.
Сравнивая выражение (17) с (6), а (19) с (7) делаем вывод о том, что цепь, изображенная на рисунке 4 для диапазона частот
(20)
может служить в качестве дифференцирующей.
Задание на самоподготовку
Показать, что цепь, изображенная на рисунке 6 при условии (20), где 
, также может быть дифференцирующей.
Найдем выражение для выходного сигнала реальной дифференцирующей цепи при подаче на ее вход прямоугольного видеоимпульса длительностью 
.
Для анализа используем метод интеграла Дюамеля, представив входной сигнал в виде разности двух функций включения
.
В интервале времени 
выходной сигнал определится выражением
.
Т.к. 
, то 
. Кроме того, известно, что для данной цепи
.
Следовательно, выходной сигнал цепи равен
.
Для 
получаем
.
Поскольку 
и 
, то имеем
.
На рисунке 7 изображен выходной сигнал рассмотренной цепи при 
.
4 ПРОСТЕЙШАЯ РЕАЛЬНАЯ ИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЦЕПЬ
Рассмотреть по аналогии цепь (рисунок 8), представляющую собой простейший фильтр нижних частот.
Комплексный коэффициент передачи такой цепи определяется выражением (доказать самостоятельно):
,
где 
— постоянная времени цепи.
. (21)
Обратим внимание на то, что при 
выражение (21) приобретает вид:
. (22)
ФЧХ этой цепи описывается выражением
. (23)
При 
— это выражение приближенно равно
. (24)
АЧХ представленной цепи изображена на рисунке 9.
Найдем выражение для выходного сигнала реальной интегрирующей цепи при подаче на ее вход прямоугольного видеоимпульса длительностью 
.
Также как для дифференцирующей цепи для анализа используем метод интеграла Дюамеля, представив входной сигнал в виде разности двух функций включения
.
В интервале времени 
выходной сигнал определится выражением
.
Т.к. 
, то 
. Кроме того, известно, что для данной цепи
.
Следовательно, выходной сигнал цепи равен
.
Для 
получаем
.
Поскольку 
и 
, то имеем
.
На рисунке 10 изображен выходной сигнал рассмотренной цепи при 
.
Старший преподаватель кафедры Радиоэлектроника С. Лазаренко
Источник